【数学】世界に1つだけの三角形の組 −抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功 慶応大学［09/12］
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慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔（博士課程 3 年）と松村英樹（博士課程 2 年）は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が（相似を除いて）たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。
線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか？という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。
本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用することで、冒頭の定理の証明に成功しました。高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。
本研究成果は学術論文「A unique pair of triangles」として、米国の整数論専門誌「Journalof Number Theory」に掲載されることが決まっています（すでに 2018 年 8 月 24 日に article in press として電子版が出版されました）。
１．本研究のポイント
・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
２．研究背景
線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な幾何学的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、『辺の長さが全て整数となる直角三角形はどのくらいあるか？』という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。同様に、『辺の長さが全て整数となる直角三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組がどのくらいあるか？』という問題なども、おそらく研究されていたと思われます。
これらの問題は、全て『種数 0 の代数曲線上の有理点集合の決定』（※1、2）という問題に言い換えることができ、有理一意化と呼ばれる手法により解けることが、少なくとも座標幾何学が誕生した 17 世紀には知られていました。ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。
https://research-er.jp/img/article/20180912/20180912145524.png
＜原論文情報＞
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675
続く） そうだよな。ピタゴラス三角形が3-4-5で整数で完結するのは
割と奇跡的。特に神の力も感じないし この3角形の照明が後に科学技術のパラダイムシフトを生じることになった
だがまだ人類はその事に気づかないのであった… 案外と、超弦理論のブレークスルーになったりしてな。
ん？誰だこんな時間にピンポーンて。。。 >ホモロジカル
ここしかわからなかった
ホモはロジカルなのか すげーな
宇宙の果てでも三角形はこれしかないってことか どの枠組みかは>>1のとおりだが。
言ってる事は簡単で、周囲と面積を決めれば、一意的に三角形が定まるという事だろ。
一般の三角形や、実数の三角形は除外されてる事からして、
すぐに反例が見つかるとおもわれるが、誰がわかったら教えてくれ。 >>141
宇宙の有無にかかわらずこの定理は不動
非ユークリッド幾何学持ち出すのはなしな こういうの、いいなあ
数学ってこれだろう、と思うよ > たった 1 組しかない
当たり前だろ
面積は、1/2＊cosθだから
ひとつしかないに決まっているだろ 簡単に言えば。
ワゴムを伸ばさずに変形し、周の長さと、面積が変わらないようにして、三角形へ変形したとき、
各辺が整数ならば、(縮小・拡大を除き)一意的ということだろ。
最初のワゴムは1mでも100mでも好きにとっていい。 135・352・377 の直角三角形が特別と言われても、
数字に必然性が感じられなくて、インパクトが弱いな。
3・4・5 という単純な数字の組が直角三角形になるという事実には、
何か存在の本質に関連しそうな神秘性を感じるけど。
https://research-er.jp/img/article/20180912/20180912145524.png 151をかいてからおもったが、ワゴムを変形する際、面積は変化してしまうな。 二等辺三角形と直角三角形の組
って条件に、何の応用価値を見いだせるかだな。 閉じた紐の内側に紐がたるまないように
3カ所ピンをとめる
このピン位置の組は無限にとれるが
面積は常に一定
なんか不思議 世界にひとつだけの三角関係・・・ああなんて(*´ｪ`*) >>124
今のところ応用先が見当たらんしそもそも有名な話だがノーベル数学賞はない >直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組
条件が恣意的すぎ >>110
Ｘの３乗＋Ｙの３乗＝Ｚの３乗
Ｘ、Ｙ、Ｚが実数でもいいのなら、その組は当然いくらでも無限にある
全部を整数(自然数）に限定すると、例えばどういう組み合わせがあるでしょうか 各値の範囲を１〜１００００までに限定すると、全部で何組あるでしょうか
３乗を４乗や５乗に変えていったときにはどうでしょうか 成立する組の数に何か法則があるでしょうか
少なくとも３０年前までにその法則を証明できたのなら、すべての数学者とインテリが君を超天才認定しました >>110
物理との関連だと、整数じゃないと出来ない構造は山ほどある。
1gのもの、1.5gのものは計れても1.5個のものは数えられない。 >>162
そう、重さも違うんだよ。
だから上のように書いたけど気に入らなかったらミリメートルで読み替えてね。 二次元（平面上）では、その直角三角形は二通りあるよ。
平面上では裏返しには出来ないからね。 つまり
3：4：5
の三角形しかないと言うことか？ >>23
文系・理系と二極でしか語れないオツムが何を言ってもな >>61
これいいね。それ以外にないことを証明するのが大変そう >>42
「a、b、cの整数の長さの三辺を持つ直角三角形」と同じ外周及び面積を持つ三辺が整数である二等辺三角形が存在するのは
a＝377
b＝352
c＝135
のときと、それの相似形のときだけである、ということ。
上記の直角三角形以外のいかなる「三辺が整数である直角三角形」も、同じ外周及び面積を持つ三辺が整数である二等辺三角形は存在しない。 >>174よりわかりやすく説明できたら、そいつは俺より頭がいい。 a+b+(a^2+b^2)^(1/2)=c+2×(d^2+(c^2)/4)^(1/2)
a×b=c×d
a≠b ≠c ≠d
以上を満たす整数の組は一つ
ていうこと？ >>6
単なるスクリプトじゃね？
>>140みたいな反応もあるし。
それか受け狙い。 ｙ＊ｙ ＝ 3ｘ＊ｘ＊ｘ ＋ 2 の整数解（ｘ、ｙ）を全て求めよ。 それぞれの辺の長さを等倍したら無数に組が見つかるんじゃね
と思ったけど、面積が一致しないのか >>49
この宇宙の物理法則では、整数は非常に自己主張が激しくて
そこら中に顔を出して重要な役割を担っている。
もしも仮に整数が整数以外に比べて全く自己主張しないような
物理法則の宇宙があったとしたら、どんな世界だろうな。
そもそもそういう世界は自己矛盾をすることなく存在が可能かどうか。 整数って人間が計数のために導入した概念だから真に数学的に意味のあるものじゃないだろ。 こう言うスレって、バカがかきこんでる「当たり前」だの
「意味がない」だのってレスが面白いな この直角三角形は全て合成数だけど
互いに素なのは、なんか決まりがあるのかなぁ
377 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 + 13^2. 連続素数の平方和で表せる6番目の数である >>156
これは凄いミステリーｗｗw
草うえときますねｗｗｗｗｗ >>63
そうですね。
神秘的な定理を発見した人は、宝くじ以上の
確率で出会ったってこと思うと、発見よりも
偶然見つけてしまった可能性もあり得ますね。 >>183
簡単な定義から計数のために使える構造が産まれた点がすごいんだよ
その整数から演算に閉じるようにして有理数、極限を埋めるようにして実数、代数演算に閉じるようにして複素数が生まれた
複素数は電磁気や線型変換っていう「目に見える」現象の計数になってるんだけど
これでも「人間がつくった」もの？ 理学系の研究になった途端バカが沸きだしてマイ哲学を披露するの、さすが技術立国ニッポンて感じがするわ 三角形の比は、1:1:2になると消滅する。おいらが証明した。 ひとつしか無いという事は宇宙物理で何か重要な役割してる可能性あるな
二等辺三角形と直角三角形が関係する物理現象何かあるかな >>191
5chが日本の全てだと思うお前が心配だよ w 素数の分布とか数学にしか関係なさそうなものが
素粒子論に関係してたりして謎だよね >>168
ふ身内がお世話になってけれど思いやりない看護師氏からいないみたいね。
金取り主義だか細かいフォローは家族に任せます、的な。
糞まみれな患者に無理を強いる病院だから。
看護師モ、患者の命大事にしてね！。
親戚には、慶応だけはいくなあ！と広めてます。信濃町慶応は、かからないで下さい。
利用者かわ納得されてるならね。
寝ますおやすみ。 各辺が有理数の場合、各有理数の分母をそろえて
その分母分だけ拡大すれば、整数の場合に帰着
するので、各辺の有理数の比は今回の結果の
ものしかないことになる、と思います汗 >・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
えーと、、、
直角三角形のほうの一般解は辺の長さがn^2-m2,2nm,n^2+m^2で尽きるから、そっから周囲の長さと
面積をもとめて、二等辺三角形は辺の長さを未知数として周囲の長さとヘロンの公式から多項式作れ
ば高次の不定方程式出てくるわけだが、全然きれいでもなんでもない
ってか、面積からめたらすぐ不定方程式は高次になるんで「初等的」でもなんでもねーし、似たような
例はいくらでも作れるだろ >>183
> 整数って人間が計数のために導入した概念だから真に数学的に意味のあるものじゃないだろ。
実世界は連続的ではなくて離散的なのかも知れないよ
時間や空間が無限に細分化可能か否か
無限に分割可能なら実数が支配する世界
そうでなければ有理数(整数とその比)が支配する世界 >>203
プランク定数｢お前なかなか見込みあるな｣ >>203
その概念の方が重要で
物理法則とか自然定数が異なっていても
全く同じ結論に辿り着くから
宇宙人や異星人とファーストコンタクトしたら
素数を数え始めるところから
意思疎通を開始する可能性だってあるぞｗｗ 宇宙人Ａ［あいさつしたら、なんだか、素数を数えてるぞ」
宇宙人Ｂ［ほら、あれだよ。おちつこうとしてるのだよ。あがり症なんだねｗ」 素数列を先頭から送信したら、
任意のn番目の素数を表す一般式を受信するかも。
宇宙人「どうだ、当方の文明の数学は、これくらいだ。
もう互いの暗号通信では、素数列の使用は不可だな。」 直角三角形は２辺を決めたら決まるので、２辺の比を決めたら１つ決まる。
二等辺三角形も２辺の比を決めたら１つ決まる。
未知数は二つの有理数。
両方の面積と周長が等しい条件なので、条件式は二つ。
解があれば一つしかないのは自明な気もするが、考え違いしてるかな。 整数と、整数の分数では成り立つんだろうから、
実数では成り立たない例と、
整数でも、一般三角形では成り立たない例があるはずだ。
これでも成り立つならそもそも一般化されてるはずだからな。 一つはあるのは当たり前。複数個ないところが重点だろ。
今回の条件で、一つも無い三角形は考える意味がない。無いモノは三角形ですらない。 え、でも整数問題でしょ？
あるっていうのも証明難しいと思うけど >>1をよんだか?
周囲と面積が(相似をのぞいて)複数個ないってことだ。
3辺が整数の三角形が確実に存在する。
一個も存在しない三角形というのを考える必要、意味がない。
複数あるかもしれない三角形に限って考える問題だ。 ぬけてた 訂正
周囲と面積が一致する三角形が(相似形をのぞき)複数個ないってことだ。
これは自分の理解だが 三角形(3,4,5)は周囲が12で面積が6のはず。
これを例に。辺をK倍すると、周囲は12K、面積は6K^2。
三角形(a,b,c)の周囲が12Kで、面積が6K^2ならば、
最初の三角形を拡大したものに限るってことだろ。 周長を固定しておいて、面積が一致する二等辺三角形が必ず存在する、っていうのは結構難しそうだけどね >>23
まぁいきなり文系出すあたり、
ありきたりでオリジナリティゼロｗの釣りだね 小学校の時、わり算でみんな余りがあったのに
一人だけ割り切った天才がいたが、
彼ならもう一つの組をみつけるかもしれん。 3辺の長さの比が有理数である直角三角形と二等辺三角形の組み合わせのうち両者の周長が同じ物は無限に存在するが面積までが等しいものは1組しかないって事か >>208
>未知数は二つの有理数。
直角三角形と二等辺三角形のスケール比って自由度もあるはず。三つでは 「たった一つの組み合わせ」の割には見た目がそんなにインパクトないな。残念。 >>208 >>221
とある直角三角形が与えられて、辺長の和と面積が等しいような
相方の二等辺三角形を見つける、という問題であれば、条件式が二つ、
二等辺三角形の形と大きさという自由度が二つで、答えが一つの問題になってる。
直角三角形を三辺整数で与えるパターンは無限にあって、2条件を満たすだけなら
二等辺三角形は必ず見つかる。その見つかる二等辺三角形が
整数条件を満たすケースがいくつあるか？
予備知識なしだと、有限個の可能性は低くて0か無限個のような気がするな しかし、中学でこの手の議論を見ると厨二病を拗らせそうだな。
ほどほどにしとこう。そういう深い世界があるのを知ってるくらいでいい >>201
その方法で証明できたら論文に出来るからやってみれば?
趣味で数学の論文書く人は珍しくないという話だぞ >>208
変数が４つの辺（各2種）で
周長が固定されるから自由度が一つ減って
面積が固定されるから関係式が一つだと
ふつうに２つの組が残ると思うけど
なんか変なのかな？ >>208
直感的にはそれで解けそうなんだけど、実はそれでは解けないというのがこの問題がニュースになる理由だと思う >>226
>>201
>高次の不定方程式出てくるわけだが、全然きれいでもなんでもない
し種数1以上になって、
>>1
>ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題
>には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展し
>た現代数学の一分野が「数論幾何学」です。
で何とか解けるかもしれんが、
>>201
>面積からめたらすぐ不定方程式は高次になるんで「初等的」でもなんでもねーし、似たような例はいくらでも作れるだろ
って話な
フェルマー方程式みたいにきれいなんならともかく >>230
例えば、面積のかわりに外接円の直径が等しいとかな ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
