【数学】世界に1つだけの三角形の組 −抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功 慶応大学［09/12］
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慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔（博士課程 3 年）と松村英樹（博士課程 2 年）は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が（相似を除いて）たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。
線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか？という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。
本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用することで、冒頭の定理の証明に成功しました。高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果と言えます。
本研究成果は学術論文「A unique pair of triangles」として、米国の整数論専門誌「Journalof Number Theory」に掲載されることが決まっています（すでに 2018 年 8 月 24 日に article in press として電子版が出版されました）。
１．本研究のポイント
・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
２．研究背景
線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な幾何学的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、『辺の長さが全て整数となる直角三角形はどのくらいあるか？』という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。同様に、『辺の長さが全て整数となる直角三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組がどのくらいあるか？』という問題なども、おそらく研究されていたと思われます。
これらの問題は、全て『種数 0 の代数曲線上の有理点集合の決定』（※1、2）という問題に言い換えることができ、有理一意化と呼ばれる手法により解けることが、少なくとも座標幾何学が誕生した 17 世紀には知られていました。ところが、Fermat 方程式 x^n+y^n = 1 のように、『種数 1 以上の代数曲線上の有理点集合の決定』に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られておりません。このような難問の解決に動機付けられて、20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。
https://research-er.jp/img/article/20180912/20180912145524.png
＜原論文情報＞
Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, A unique pair of triangles, Journal of NumberTheory, published online
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X18302269.
doi:10.1016/j.jnt.2018.07.007
https://research-er.jp/articles/view/73675
続く） >>328
だとすると何で慶應はそんなゴミをわざわざ報道発表したんだろ
俺はやっぱり慶應大学のスタッフ、特に指導教官の判断が変だと思う
学生側から「これは慶應大学のための良いPRになります！報道発表しましょう！」って
持ちかけるなんてあり得ないよなw
学生は穏便にドクターを取れればそれでいいわけだし >>334
事務方のほうだろ。パット見、慶應はいい研究するなあと思ったし
ここで挙げられた先行研究の存在と扱いの微妙さは理解されにくいだろう
仕事自体は礼節違反だけど捏造ではないんじゃないかな。
数学で捏造が成り立つのかという疑惑は置いといて >>309
>別に全部は吹っ飛ばないよ。吹っ飛ぶのは一部。
>別の証明はちゃんと価値がある。
>１．本研究のポイント
>・辺の長さが全て整数となる三角形は古代ギリシャ時代からの研究対象だったが、本研究では新たな定理の発見、証明に成功した。
>・定理の見た目が初等的であるにも関わらず、その証明には、20 世紀末に開発された比較的新しい数論幾何学の手法が用いられた。
>・高度に抽象化された現代数学において、このような身近な応用例が得られることは非常に珍しく、貴重な研究成果であると言える。
は全部ふっとんでるって話だぞ
なお、新しい証明にちゃんと価値があるのは、より簡単な証明である場合とか、関係ないと思われてた
定理を使った場合とかだけど、これは既知のツールを既知の方法で使っただけだから、、、 >>335
事務方が「うーん、この論文は大したことないな。
えーとよし！この論文は報道発表にしよう！」
みたいな目利きするわけないやろ
この論文を報道発表することを決定したのは研究者側の責任者や >>331
検索順位は不安定。例えば期間を指定（全部入るくらい広く）したら100までに出ない。
検索順位は商業がらみだしな。 論文には
>In this short note,
とある。short note に書ける内容をすごい研究だとは自分達でも思っていないだろう。 ディメンションが違うものを比較して等しいって、意味あんの？ >>249
そうか？
お金なんか要らないだろうと思われ研究費削られたり、何の意味があるのかと嫌み言われ、人員削減の対象になったりしそうだが。 >>342
三年の方は就職決まった後だろうから
職場でからかわれる程度かもしれないけど
二年の方はネット書き込みレベルの内容で論文投稿してたのが大々的にバレてしまって
ネットにもずっと残るわけで
採用担当としては躊躇せざるを得ないわな >>288
頭悪過ぎなやつが何故ここにいる？
一般人と数学者の間には好事家というのがいるんだよ
数学に興味がある連中ね
両端の存在しか念頭に置けないやつはバカだからねw
そう、おまえのことね 辺の長さが整数かそうじゃないかは、長さの単位しだいで変わるはずだが。 2004年時点では、定理に名前がなかったが、平川‐松村の定理と名付けた点が
我国、世界初の快挙。素晴らしい！ >>348
数学で長さの単位？
お前が思ってるそれ多分算数だから w >>351
ちゃんとした学術雑誌に掲載されるんだから問題ないよ
君も何か発見して証明して論文を書いて投稿してごらん
掲載されたら嫉妬の感情がなくなると思うよ 嫉妬ｗｗｗ
俺がオーサーだったら恥ずかしくて自殺してしまうｗ >>73
神と完全に一致する存在は１人(イエス)しかいないということ
他は偽
きっとキリスト教が喜ぶよ >>355
オーサーてｗ
そもそも何一つ論文書いたことすらないだろｗ
嫉妬丸出しは恥ずかしいよｗ 昔、学生時代にこういう三角形は存在しないのか考えたことがあったが、うまくいかなかった
(ちなみに大学は理工学部や医学部ではなく農学部だったからそこまで数学や物理を使わないので及ばなかったのかもしれない)
ヘロンの三角形の公式を使って証明できないのかな？
うまく証明できるなら大学入試にも出てきてもおかしくない >>359
存在することの証明はできそう。
ただ、それが整数界で1つしか存在しない証明っていうのは厳しそう…。 論文誌に2つだか3つだか論文が載りさえすれば、
それがどんな内容でも博士号を貰うために使えるそうですね。 学位の審査は誰がやったか記録が残る。もしも、あまりに酷い内容で
審査を通せば、その審査に携わった大学教員にポストに相応の能力があるのか問われることになる >>361
存在すること証明はIBMと慶応以外にも何人かは成功していると思う
ただ一個しか存在しないのは証明していながったはず
IBMのも一個しかないのは分かっている感じはする >>23
学問を文理で分けたがる奴は学問をただの一つも究めたことの無い雑魚 日本だと多くの学問未満のコミュニティがアカデミックで御座いと
大きな顔をしてる。それらは均等ではなく自然科学じゃない方面に偏って多い。
ほんとはそれらを「文系」と呼ぶのはおかしいが、呼んじゃってるんだよ。 「たった一組しか無い三角形」ってことは二個あるってこと？ これが物理法則や自然の構成に顕現してたら価値もありそうなんだけどな。 数学は実験とは無関係の論理のみの世界だから、
論理学であって、基本的に文字や記号を並べて
論述してそれを論理でもって証明するのであって
実験も無いし、将来事実が変化することもない
だから自然科学ではない。どちらかと言えば
文系に近い思索のみの学問であることが本質だ。
その研究対象は現実の現象と対応させる必要もない。
単に一般化するとか、内容が面白ければ、現実の
世の中にはそれが該当する例などなくても、
数学として定義をして論理に矛盾さえなければ
それを研究して論文を書いて仲間内で正しいとか
正しくないの判断をして認められて採択されれば
業績が1つ増す。他の分野への応用などを気に
する必要は特にないから、むしろ他の分野には
絶対に関係しないような対象や内容を研究する方が
回りから雑音が入ってこないので専念できるという
ものだろう。 >>371
まあでも生身の人間がやってることだからな。
時代背景や地域背景の影響をかなり強く受けてきた。
今後、学習した機械が数学をやれるようになるとしても、
当分の間は学習材料は人間が用意する情報だから影響は長引く。
人間社会との縁が希薄になるには相当長い時間が必要だろう。 機械は潤沢なデータから薄い情報を引き出す
限られたデータから多くの情報を引き出すのは人間が有利だね
数学は後者 資本集約と労働集約の違いでもある
時代は潤沢なデータと情報を求めている いまさらだが、
（定理）
同じ長さのひもを使って、直角三角形と二等辺三角形をつくる場合、辺の長さを377:352:135の比でひもを折り曲げて作った直角三角形と辺の長さ366:366:132で折り曲げて作った二等辺三角形だけが同じ面積となり、それ以外の比の組合せは存在しない
でＯＫ？
※有理数の比は必ず整数の比で表すことができるよね？
x,y,z,a,b,cは整数
x/a:y/b:z/c=x*a*b*c:y*a*b*c:z*a*b*c
よって、定理が正しければ、整数の組は１組だけ導かれるということでＯＫ？
無理数まで拡張できるかはどうなんだろう？
各辺に無理数を乗じても成り立つが。。。。 >>375
それであってると思います
同じ面積というのを利用できるシチュエーションを
思いつかないのが残念ですね >>375
なにかと思ったけど
下の式まちがってんじゃね？ >>375 今更の指摘だが、以下の《》を付けようよ。
定理というからには、そうしないと面倒だよ。
（定理）
同じ長さのひもを使って、直角三角形と二等辺三角形をつくる場合、辺の長さを377:352:135の比でひもを折り曲げて作った直角三角形と辺の長さ366:366:132で折り曲げて作った二等辺三角形だけが同じ面積となり、それ以外の《互いに素な整数》比の組合せは存在しない
でＯＫ おもしろい
それの３次元版が見つかれば、対応する素粒子があったりしないのかな
ニュートリノ振動をそれで説明するなど
しかしよく見つけたな ／ ＼
／ _ノ ヽ､_.＼
／ oﾟ⌒ ⌒ﾟo.＼ チンコって定期的に勃つNE！
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ゝ ｀ ⌒´ -く
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