【算数】 子どもに聞かれて困る！算数の素朴なギモン 0にどんな数をかけても0になる理由とは？ [無断転載禁止]©2ch.net
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2017年03月12日
小杉 拓也 :東大卒算数・数学プロ講師、志進ゼミナール塾長
(写真)
算数の「どうして？」に、子どもがわかるよう、説明できますか？（写真：よっし / PIXTA）
小学校6年間で習う算数。大人にとっては簡単な内容のようにも思われがちです。しかし、実際に子どもに教えていると、時にギョッとさせるような鋭い質問を受けることがあります。
たとえば、「0にどんな数をかけても、なぜ0になるの？」という質問に対して、子どもが理解できるように説明することはできますか？
『小学校6年間の算数がマンガでざっと学べる』などの著書をもつプロ算数講師の小杉拓也氏に、「算数の素朴なギモン」について聞きました。
【ギモン1】0に数をかけても割っても0になる理由とは
0には、「空位を表す0」「計算対象としての、数の0」などの意味がありますが、「計算対象としての、数の0」が、インドにおいて発見されたというのはよく知られている話です。
実際、7世紀のインドの数学者ブラーマグプタは、「0にどんな数をかけても0になる」ことを著書で述べています。
「0にどんな数をかけても0になる」ことは小学校で習いますが、「0に数をかけると、なぜ0になるのか」不思議に思う子もいるようです。でも、その質問に答えられないお父さん、お母さんもいるのではないでしょうか。
その理由は簡単な例で説明できます。たとえば、1つ100円のリンゴを3つ買うと、合計金額は100×3＝300円となります。
次に、無料（1つ0円）のリンゴ3つの合計金額を求めてみましょう。リンゴがどれも0円なので、3つの合計金額も0円で、無料となります。「0×3＝0」ということです。
リンゴが3つの場合だけでなく、リンゴがいくつであっても同じことが成り立つので、「0にどんな数をかけても0になる」ことがわかります。
さらに、「0をどんな数で割っても0になる」理由もみておきましょう。
»次ページ 0を数で割ると0になる理由は？
http://toyokeizai.net/articles/-/161094?page=2
»次ページ 算数でいうところの「歩合」とは？
http://toyokeizai.net/articles/-/161094?page=3 >>894
無限は数値ではない、無限大は扱えても無限は数学で扱えない、
それは値としては限りや位置が不定という観念なので無限大と表現しなければいけない
０も例外なく無いという概念が不定の観念であるとはあまり知られていない。
数字である０値と、観念である「無」は別の概念である。
すなわち計れる計算ならば０値で割れば計算値をエラー（計算不能）とするのが基本だろう、
そうではない無限大を答えとするならば、それは有値に対する無値であって
極小値を想定した計算可能範囲を示すことにより０（極小）だから無限大と極限値の概念になり
限りが無いのではなく極限値には値がある。 >>19
大阪だとトラック一台分のリンゴが分配されるから、3人では済まない。
しかもその後寄付金が集まってもリンゴの代金には及ばない。
つまり等式は成立しない。 >>900
無限と無限大を区別する考え方はよくわからないな。
このスレでは何回も出てるけど、無限大を数値として取り扱えるようにする工夫にリーマン球面がある。ただし、それなりの犠牲はあって、生活に即してリンゴとミカンの個数や庭の面積を求めるにはあまり向かない。 0で割ると0になるというルールを付け加えてやると、フォンノイマン代数になる。 0は本来の数学にはない「値を持たない状態」という哲学的符号を無理やり数学に持ち込んだ形だから
0を中に含む数式は全て例外扱いの特例
形式上は他の数字の書式から推測できる形に似せているが
英語で言う不規則変化動詞みたいなもんだ 1. かけ算において0が吸収元なので、
2. しかも割り算はかけ算の逆演算だとされるから、
割り算0 / 0 = a
はかけ算a x 0 = 0のaを求めることになり、
1からしてこのaはどんな実数でも当てはまってしまうことになる。 付記： The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1 -16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi
http://okmr.yamatoblog.net/
Relations of 0 and infinity
Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh and Tsutomu Matsuura：
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…
再生核研究所声明359（2017.3.20） ゼロ除算とは何か ― 本質、意義 アリストテレス以来の問題：
ゼロ除算は、ある専門家の意見では、アリストテレスが考えたのが最初で、真空の比を考え、ゼロ除算は不可能であると考えたという。
ゼロ除算の新しい発見で、世に現れるゼロ除算を広く考えて来て、２００件以上の具体例を発見しています。
そこで、アリストテレスの関連で、物理法則を広く眺めると、いわゆる 密度分の 表現が沢山見られます。ゼロ除算の結果では、数学的に1/0=0/0=z/0=0 ですから、密度がゼロの場合、対応する物理量は ゼロであることになりますが、それらの結果は適当でしょうか？
素人的に見ると、合理的に見えるが多いのですが、他方，そのように解釈する、単なる解釈と考えられるような場合も多いようです。
そこで、問題提起です。密度ゼロの場合の物理現象とゼロ除算の結果の照合、関係を確立せよ。 ２０１６．１１．２０．１６：１０
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
再生核研究所より 微分学は、無限小になる量の比の極限として微分を定義する。
つまり分母分子を個別に考えれば0／0になって不定になるような
形であっても、その極限が一定の値になるのであれば、微分が
できるのだ。 Archimedes Principle in Completely Submerged Balloons: Revisited
Ajay Sharma：
file:///C:/Users/saito%20saburo/Desktop/research_papers_mechanics___electrodynamics_science_journal_3499.pdf
［PDF]Indeterminate Form in the Equations of Archimedes, Newton and Einstein
https://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers.../3222
このページを訳す
0. 0 . The reason is that in the case of Archimedes principle, equations became feasible in. 1935 after enunciation of the principle in 1685, when ... Although division by zero is not permitted, yet it smoothly follows from equations based upon.
https://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/3222
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12268548921.html
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12268577892.html R言語だと
> 0/0
[1] NaN
となる。NaNはNot a Numberというデータ型らしい。０でも不定でもない。非数。 池上のニュース総決算でフィンランドの教育のこと褒めてたけど、実は全然駄目らしい。
＊国内で大批判が起こっている
＊中学生で分数計算ができるのが２割以下
＊日常的な買い物の計算もできない子供が増加
http://jukuyobiko.blogspot.jp/2016/01/blog-post.html >>916
フィンランドの教育と日本の「ゆとり教育」以前の教育は似ているんだよ。
自由が乏しく全体主義的だしね。 【子どもに聞かれて困る！算数の素朴なギモン】
ゼータ関数の自明でない零点は、どうして、全部、実部が1/2なの？ まあ、数学に残された最後の「素朴な疑問」だな、それは。 無限大を数値として扱えるような値にωがあります。
これは整数でなく順序数といい、値的には無限大ですが
数列としての線上のある一点を示すものです。 何事も足し算が先だから
(例えば縦の人数と横の人数を、掛け算する場合。
・いちいち数えて足して確認しなけれ、ば掛け算に移れないから) 日本の数学限定だけど、「簡単のために」という表現が変じゃね？ ＂For simplicity"を訳した決まり文句だぜ？ 簡単にするために
簡単化のために
とはなぜ訳せなかった？
それを相も変わらず前人に倣って使うのか意味不明。
数学者のせいで辞書も「簡単」に名詞用法があることを記述せねばならなかったんだろうけど、
「簡単がある」はおかしいし、「簡単なほうがいい」でなく「簡単がいい」もちょっと不自然だろう。 いちいた言葉遊びする奴は本当に邪魔だが、
それとは別に、学問関係で下手な訳し方は迷惑。 例えば空間の場合
0×3
は量子圧力が減り少し浮く、
これは宇宙法則のひとつ。
光は上を迂回するから遅くなります。 無限にゼロを掛けるとゼロになるんだよな
ゼロつええな 1×3
は量子力学では高熱原になる。
太陽みたいなもん。
1×2
は量子力学では爆弾になる。
小学生にも量子力学が教えれる。 微積分には無限小という概念の元で理論展開される。
高校で必ず学ぶ数学理論。
０以外にも中学校で「虚数」なる不可思議な数学を学ぶはず。二乗とルート。
ゼロや虚数は実社会では理解し得ない概念かもしれない。
しかし精密な物理学、電気量子学にとっては、
まさにそれは実社会的であり、欠かすことのできない
生きた「理論」である。
理論上説明される現象が事実現象として現れ、
ゼロの概念は破綻するどころか、立派な証拠として証明さえされる。 0/2
1/2
は量子力学では爆弾。
0/3
1/3
は量子力学では空間が内部から崩れます。周りの物質が吸い込みます。掃除機になります。
ただ量子力学では量子が小さいので逆に大きなエネルギーになりますから危険も高いです。 マイナス×マイナス＝マイナスにしちゃったから
虚数という概念を新設せざるをえなくなってしまっただけで、
代数系の失敗にすぎないよ。
虚数が実在しないわけではなく、代数系の設計的限界なだけ。 ごめん。訂正：マイナス×マイナス＝マイナスにしなかったから >>934
お前、それ何にも理解せずに書いてるだろう？ \title{\bf Announcement 362: Discovery of the division by zero as \\
$0/0=1/0=z/0=0$\\
(2017.5.5)}
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12269657110.html より 国会中継を見ていた子供が…
「お父さん、どうしてこんな馬鹿な人達が国会議員なの？」 0に幾ら0を足しても0では駄目なのか。儂にはわからん >>941
「そりゃ、選んだ国民がその程度だからさ」 2^2 = 4
(-2)^2 = 4
ということにしちゃったから
2乗して4になる数は√4 = 2
2乗して-4になる数は√-4 = ?
ということになっちゃった。 ここで代数系が破綻した。
もしも
(-2)^2 = -4
だったならば
√-4 = -2
になっていたでしょう。 数と演算の体系は所詮は人間が作ったものだということですよ。
人間が設計したものは破綻する。社会主義のようにね。 0円だからって10個も20個もかぶり付くのは
卑しい中国人だけだよ >>918
説明してもよいが長くなるので語るには寿命が足りない 数学と算数の違いは、思考の抽象性の深さ。
子供に、0を掛けても0になる理由を答えるのは、自然数の総和（1+2+3+・・・) が-1/12になると答えるのと同じくらい難しいだろう。 >>946
そう定義するのは構わないけど、それで矛盾のない積算の系が作れるのかい？ >>946
それだと結合法則使えなくなるけど、構わないの？ もしもゼロがなかったら、
φ 1 2 3 4 5 6 7 8
9 11 12 13 14 15 16 17 18
19 21 22・・・
9がゼロのある位のような役割となる。
9+1=11
9×2=19
9-9=φ
なぜゼロを掛けるとゼロなのか。
それは乗算において群とするのに、単位元φが必要だから。φが10進数におけるゼロとなる。 >>954
>>947にも書いたとおり、万能な代数系があると主張したいわけじゃないよ。
むしろその逆。
交換法則やら結合法則やらを満たさない代数系もすでに知られているでしょ。
中学や高校では学ばないとしても。 >>954
代数系は所詮は人為的かつ「選択的」なモデルであって、
そこを強調したいだけ。
それゆえに虚数という概念が必要になっただけの話であって、
虚数なるものにそんなに神秘的な意味などないということだよ。
難しくもなんともない。
単なる恣意的なモデルでしかないものに普遍性を見ようとするから
虚数なる概念が必要になっただけだということ。 全単射で無い演算があることで、「代数系が破綻した（笑）」とか言い出すアホには笑う。
どこで教育を受けたんですか？ まあそうじゃないと10×5が50じゃなくなっちゃうからな そういうものとして０を定義したからだろ
簡単にいえば、そういう0みたいなのがあると便利だからだよ >>960
いや、単に方程式の解があるように数を拡大していったら虚数が出て来たんだよ。
記号をどう書くかはともかく、
代数構造に選択の自由なんてないよ。
あるのは実用性とそれに基づく必然のみ。
あと、例としてあげていた系は積演算が群になってないから
可換非可換関係なく扱いにくい系になるよ。 無いものにいくら掛けても無い。
ニートが何十年生きても職歴が無いのと一緒。 >>1
aを任意の実数とする。
a×0=bとなる実数bがあるとする。
b=a×0=a×(0+0)=a×0+a×0=b+b
両辺からbを引くとb=0になる。
よってどんな実数に0を掛けても0になる。 何もないものを足しても何もないし、
何もないものを分けても何もない。
これで証明終わり 皿に一個も饅頭が乗っていない時、その皿を何個並べても饅頭の数はゼロ。
小学生には、>>696の教え方でいいと思う。
小学生では、全部の数について証明するのは無理だし、感覚的にとらえた方がいい。
０を割る方は、割り算の概念が学年ごとに違うから一概には言えないな。
だいたい、筆算で割り算をさせるときに、残りが０になったら終わると無条件で
教えているわけだし...。
>>966
いいや、虚数は選択的なものだよ。
虚数が実在するとかしないとかいう話は公理を絶対とする誤謬が招いたもの。 a > 0
a / 0 = 無限大
b < 0
a / b = 負数
負数は無限大よりも大きい？ >>1
bをaで割った答えの数xというのは、a×x=bを成り立たせるxのことだ。
すなわち、x=b÷a=b/aだ。a=0として、bをa=0で割ることを考える。
その答えは、0×x=bを成り立たせるxのことになる。
ところが、どんな数xに0を掛けても答えは0になる。
ある数xに0を掛けるとb≠0になるようなxはないのだ。
つまり、b÷0=b/0は、数としては存在しない。
またb=0という特別な場合なら、0×x=0はどんな数xに対しても成り立つ。
つまり、b=0という特別な場合には、答えは一つに定まらない。
0で割った答えは、数として存在しないか、特別な場合には一つに定まらないかのいずれかだ。
これが0で割ることを考えない理由だ。
言い方を換えれば、0で割った答えを何らかの数としたら、他の計算に矛盾が生じるのだ。
そこで割り算では、0で割った答えに何らかの数を対応付けすることを排除しているのだ。 >>973
虚数便利じゃない、exp(-iθ)=cosθ- i sinθ
で計算がどれだけ楽になるか。
数学で何かが存在するというのは、それが何らかの集合の中に含まれること。
また集合というのは、意味が確定したものの集まりということ。
つまり、数学で存在するというのは、正確に考えることができるということに他ならない。
観測できるとか、実験で確認されているとか、そういうことは関係ない。
頭の中で矛盾なく考えられればいい。だから、実在するとは言わず、存在すると言うのだろう。
虚数が存在しないと考える人は、自然数1も存在しないと考えているのだろうか。
自然数1も存在しないと考えるのなら、虚数iも存在しないでもかまわないと思う。
その人は存在の意味を、数学で遣われている意味と違った意味で遣っているというだけだから。
しかし、自然数1が存在すると考えていながら、虚数iが存在しないと考えている人はどうかしている。
その人は、今まで存在の意味を考えたことがないから、自分で自分が何を言っているのか認識していないのだと思う。 x^2=-1
x^2+1=0
(x+i)(x-i)=0
x=i,-i 昔のCPUでﾏｲｸﾛｺｰﾄﾞ化した掛け算は足し算のﾙｰﾌﾟで実現してるから時間がかかったわけだが
答えを入れるﾒﾓﾘｰに最初に0を入れておく。2×3は2を3回足す。2×0は2を0回足す、または0を2回足す、だから答えも0。
割り算も引き算のﾙｰﾌﾟ。例えば100÷7は何回7を引けるかで商と剰余を決める。100÷0は0を何回引いても永久ﾙｰﾌﾟで、強いて答えを作るなら近似値としての無限大しかない ゼロ掛けは説明しやすいでしょ
グラフ書けばいい
ゼロ掛けたらゼロには掛け算の法則（ルール）が明らかに分かる >>981
それは計算機に計算させるためのテクニックであって数学ではないよ。 数学的な実在と物理的な実在とは違います。
にもかかわらず、その間に何か深い関係を持たせたがる言説が
数学の名において流布されています。それは罪深いことです。
数学的にタイムマシンが発明可能だとしても
それは物理的な実在とは関係がありません。 >>979
集合論的に言えば、集合に含める要素を増やしてきたと言うことだろ。
虚数の概念が便利で、これまでの論理に合うのなら、数の範囲を増やしてもいいと言うだけの話。
>>984
でも、物理学者が概念を導入して、数学の概念や記号になったものはたくさんあるし、
ポアンカレ仮説みたいに、アプローチの変更になったものはたくさんある。
>>985
増やしてきたという感傷的な表現は数学では無意味だ。
矛盾なく考えられるものを使っているだけ。 >>2
Windows10の関数電卓に0÷0＝と入力すると
「結果が定義されていません」と表示される 1 x n = n
↓
(1 x n) - n = 0
↓
0 x n = 0
これで合ってる？エロイ人 >>979
虚数が存在しないと考えたのは歴史上の数学者たちだった。
ニュートンですらそうだったのではなかったかな。
公理主義、形式主義が確定するまではそういう議論が続いた。
しかし虚数が実在しないというのはおかしい。
単に負×負＝正と約束したがためにそうなっているだけなのに。 1 = 0.99999999999....
というときの=は、1+1=2というときの=と同じ意味？
例えばこんな記法があったとして
1 lim≒ 0.99999999.....
じゃなくて？ >>992
x=0.999999999.....として
10x=9.9999999......だろ。
引き算すると、9x=9 ⇒ x=1なのよ。
>>993
人間が理解・納得するための一つの手段だからね。
>>1は小学生の話だが、小学生が理解するのと、数学者が証明するのとは
だいぶ違う。
>>991
シュレディンガー方程式は2回の偏微分方程式だが、特性方程式を見ると、
楕円型に分類されて、複素関数でしかなくなる。
>>991
ヒント
（－１）÷（－１）＝１
－１の中に－１が一個であってる‥ レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
