0001朝一から閉店までφ ★＠無断転載は禁止2017/03/12(日) 17:53:05.44ID:CAP_USER
2017年03月12日
小杉 拓也 :東大卒算数・数学プロ講師、志進ゼミナール塾長
(写真)
算数の「どうして？」に、子どもがわかるよう、説明できますか？（写真：よっし / PIXTA）
小学校6年間で習う算数。大人にとっては簡単な内容のようにも思われがちです。しかし、実際に子どもに教えていると、時にギョッとさせるような鋭い質問を受けることがあります。
たとえば、「0にどんな数をかけても、なぜ0になるの？」という質問に対して、子どもが理解できるように説明することはできますか？
『小学校6年間の算数がマンガでざっと学べる』などの著書をもつプロ算数講師の小杉拓也氏に、「算数の素朴なギモン」について聞きました。
【ギモン1】0に数をかけても割っても0になる理由とは
0には、「空位を表す0」「計算対象としての、数の0」などの意味がありますが、「計算対象としての、数の0」が、インドにおいて発見されたというのはよく知られている話です。
実際、7世紀のインドの数学者ブラーマグプタは、「0にどんな数をかけても0になる」ことを著書で述べています。
「0にどんな数をかけても0になる」ことは小学校で習いますが、「0に数をかけると、なぜ0になるのか」不思議に思う子もいるようです。でも、その質問に答えられないお父さん、お母さんもいるのではないでしょうか。
その理由は簡単な例で説明できます。たとえば、1つ100円のリンゴを3つ買うと、合計金額は100×3＝300円となります。
次に、無料（1つ0円）のリンゴ3つの合計金額を求めてみましょう。リンゴがどれも0円なので、3つの合計金額も0円で、無料となります。「0×3＝0」ということです。
リンゴが3つの場合だけでなく、リンゴがいくつであっても同じことが成り立つので、「0にどんな数をかけても0になる」ことがわかります。
さらに、「0をどんな数で割っても0になる」理由もみておきましょう。
»次ページ 0を数で割ると0になる理由は？
http://toyokeizai.net/articles/-/161094?page=2
»次ページ 算数でいうところの「歩合」とは？
http://toyokeizai.net/articles/-/161094?page=3 0952名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 11:20:25.75ID:K2Tw4Qoc
数学と算数の違いは、思考の抽象性の深さ。
子供に、0を掛けても0になる理由を答えるのは、自然数の総和（1+2+3+・・・) が-1/12になると答えるのと同じくらい難しいだろう。
0953名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 13:38:01.65ID:lQT/DdbJ
0954名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 14:37:24.47ID:DoZqHjoh
>>946
そう定義するのは構わないけど、それで矛盾のない積算の系が作れるのかい？ 0955名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 14:39:13.91ID:46eltNwY
>>946
それだと結合法則使えなくなるけど、構わないの？ 0956名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 15:11:52.97ID:kGDv4W+C
そのゼロはリンゴ以外の世界です。
0957名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 15:26:15.42ID:ny98GoXF
りんごで考えるんだ。
0958名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 18:43:27.05ID:tloQ+PYp
もしもゼロがなかったら、
φ 1 2 3 4 5 6 7 8
9 11 12 13 14 15 16 17 18
19 21 22・・・
9がゼロのある位のような役割となる。
9+1=11
9×2=19
9-9=φ
なぜゼロを掛けるとゼロなのか。
それは乗算において群とするのに、単位元φが必要だから。φが10進数におけるゼロとなる。
0959名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 21:05:46.18ID:bd8R6iF0
>>954
>>947にも書いたとおり、万能な代数系があると主張したいわけじゃないよ。
むしろその逆。
交換法則やら結合法則やらを満たさない代数系もすでに知られているでしょ。
中学や高校では学ばないとしても。 0960名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 21:10:12.50ID:bd8R6iF0
>>954
代数系は所詮は人為的かつ「選択的」なモデルであって、
そこを強調したいだけ。
それゆえに虚数という概念が必要になっただけの話であって、
虚数なるものにそんなに神秘的な意味などないということだよ。
難しくもなんともない。
単なる恣意的なモデルでしかないものに普遍性を見ようとするから
虚数なる概念が必要になっただけだということ。 0961名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 21:39:06.48ID:WclzseYB
全単射で無い演算があることで、「代数系が破綻した（笑）」とか言い出すアホには笑う。
どこで教育を受けたんですか？
0962名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 22:17:08.83ID:S/ZyN28F
まあそうじゃないと10×5が50じゃなくなっちゃうからな
0964名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 22:49:29.36ID:lQT/DdbJ
同値変形を理解してないのか
0965名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 23:09:26.87ID:GthTXgJ2
そういうものとして０を定義したからだろ
簡単にいえば、そういう0みたいなのがあると便利だからだよ
0966sage＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 23:10:28.57ID:cv/dEbp4
>>960
いや、単に方程式の解があるように数を拡大していったら虚数が出て来たんだよ。
記号をどう書くかはともかく、
代数構造に選択の自由なんてないよ。
あるのは実用性とそれに基づく必然のみ。
あと、例としてあげていた系は積演算が群になってないから
可換非可換関係なく扱いにくい系になるよ。 0967名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 23:12:37.52ID:rvaxCAdw
無いものにいくら掛けても無い。
ニートが何十年生きても職歴が無いのと一緒。
0968名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/29(土) 23:48:06.80ID:hl+bc4WA
>>1
aを任意の実数とする。
a×0=bとなる実数bがあるとする。
b=a×0=a×(0+0)=a×0+a×0=b+b
両辺からbを引くとb=0になる。
よってどんな実数に0を掛けても0になる。 何もないものを足しても何もないし、
何もないものを分けても何もない。
これで証明終わり
0970第一級特異点＠無断転載は禁止2017/04/30(日) 00:44:55.18ID:fDxVX0fx
皿に一個も饅頭が乗っていない時、その皿を何個並べても饅頭の数はゼロ。
0971名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/30(日) 01:37:51.66ID:ZWkbwmLe
小学生には、>>696の教え方でいいと思う。
小学生では、全部の数について証明するのは無理だし、感覚的にとらえた方がいい。
0972名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/30(日) 01:43:55.08ID:ZWkbwmLe
０を割る方は、割り算の概念が学年ごとに違うから一概には言えないな。
だいたい、筆算で割り算をさせるときに、残りが０になったら終わると無条件で
教えているわけだし...。
0973名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/30(日) 11:55:28.06ID:cgCj3GWm
>>966
いいや、虚数は選択的なものだよ。
虚数が実在するとかしないとかいう話は公理を絶対とする誤謬が招いたもの。 a > 0
a / 0 = 無限大
b < 0
a / b = 負数
負数は無限大よりも大きい？
0975名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/04/30(日) 15:17:13.31ID:FK7dAHuD
>>1
bをaで割った答えの数xというのは、a×x=bを成り立たせるxのことだ。
すなわち、x=b÷a=b/aだ。a=0として、bをa=0で割ることを考える。
その答えは、0×x=bを成り立たせるxのことになる。
ところが、どんな数xに0を掛けても答えは0になる。
ある数xに0を掛けるとb≠0になるようなxはないのだ。
つまり、b÷0=b/0は、数としては存在しない。
またb=0という特別な場合なら、0×x=0はどんな数xに対しても成り立つ。
つまり、b=0という特別な場合には、答えは一つに定まらない。
0で割った答えは、数として存在しないか、特別な場合には一つに定まらないかのいずれかだ。
これが0で割ることを考えない理由だ。
言い方を換えれば、0で割った答えを何らかの数としたら、他の計算に矛盾が生じるのだ。
そこで割り算では、0で割った答えに何らかの数を対応付けすることを排除しているのだ。 0977名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 00:54:23.60ID:YVDXywRw
>>973
虚数便利じゃない、exp(-iθ)=cosθ- i sinθ
で計算がどれだけ楽になるか。
0978名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 00:55:32.82ID:YVDXywRw
0979名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 01:23:54.90ID:7pHQA5pQ
数学で何かが存在するというのは、それが何らかの集合の中に含まれること。
また集合というのは、意味が確定したものの集まりということ。
つまり、数学で存在するというのは、正確に考えることができるということに他ならない。
観測できるとか、実験で確認されているとか、そういうことは関係ない。
頭の中で矛盾なく考えられればいい。だから、実在するとは言わず、存在すると言うのだろう。
虚数が存在しないと考える人は、自然数1も存在しないと考えているのだろうか。
自然数1も存在しないと考えるのなら、虚数iも存在しないでもかまわないと思う。
その人は存在の意味を、数学で遣われている意味と違った意味で遣っているというだけだから。
しかし、自然数1が存在すると考えていながら、虚数iが存在しないと考えている人はどうかしている。
その人は、今まで存在の意味を考えたことがないから、自分で自分が何を言っているのか認識していないのだと思う。
0980名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 01:47:08.16ID:aJOiwZUS
x^2=-1
x^2+1=0
(x+i)(x-i)=0
x=i,-i
0981名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 02:55:19.13ID:ws+1fCI4
昔のCPUでﾏｲｸﾛｺｰﾄﾞ化した掛け算は足し算のﾙｰﾌﾟで実現してるから時間がかかったわけだが
答えを入れるﾒﾓﾘｰに最初に0を入れておく。2×3は2を3回足す。2×0は2を0回足す、または0を2回足す、だから答えも0。
割り算も引き算のﾙｰﾌﾟ。例えば100÷7は何回7を引けるかで商と剰余を決める。100÷0は0を何回引いても永久ﾙｰﾌﾟで、強いて答えを作るなら近似値としての無限大しかない
0982名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 04:15:48.07ID:E4Gbu5rG
ゼロ掛けは説明しやすいでしょ
グラフ書けばいい
ゼロ掛けたらゼロには掛け算の法則（ルール）が明らかに分かる
0983名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 10:52:09.59ID:RoulixBk
>>981
それは計算機に計算させるためのテクニックであって数学ではないよ。 0984名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 11:07:34.46ID:DNZ6kYBs
数学的な実在と物理的な実在とは違います。
にもかかわらず、その間に何か深い関係を持たせたがる言説が
数学の名において流布されています。それは罪深いことです。
数学的にタイムマシンが発明可能だとしても
それは物理的な実在とは関係がありません。
0985名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 14:24:52.84ID:jtZcd8qn
>>979
集合論的に言えば、集合に含める要素を増やしてきたと言うことだろ。
虚数の概念が便利で、これまでの論理に合うのなら、数の範囲を増やしてもいいと言うだけの話。
0986名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 14:30:48.94ID:jtZcd8qn
>>984
でも、物理学者が概念を導入して、数学の概念や記号になったものはたくさんあるし、
ポアンカレ仮説みたいに、アプローチの変更になったものはたくさんある。
0987名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 14:44:48.26ID:7pHQA5pQ
>>985
増やしてきたという感傷的な表現は数学では無意味だ。
矛盾なく考えられるものを使っているだけ。 >>2
Windows10の関数電卓に0÷0＝と入力すると
「結果が定義されていません」と表示される 0989名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 20:20:50.20ID:aJOiwZUS
女子供に聞かれて困る
0990名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 20:37:27.03ID:hncjjt4U
1 x n = n
↓
(1 x n) - n = 0
↓
0 x n = 0
これで合ってる？エロイ人
0991名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 22:23:26.23ID:DNZ6kYBs
>>979
虚数が存在しないと考えたのは歴史上の数学者たちだった。
ニュートンですらそうだったのではなかったかな。
公理主義、形式主義が確定するまではそういう議論が続いた。
しかし虚数が実在しないというのはおかしい。
単に負×負＝正と約束したがためにそうなっているだけなのに。 1 = 0.99999999999....
というときの=は、1+1=2というときの=と同じ意味？
例えばこんな記法があったとして
1 lim≒ 0.99999999.....
じゃなくて？
0993名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 22:36:43.29ID:aJOiwZUS
ニワカは歴史から入る
0994名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 22:59:51.62ID:jtZcd8qn
>>992
x=0.999999999.....として
10x=9.9999999......だろ。
引き算すると、9x=9 ⇒ x=1なのよ。
0995名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 23:03:45.30ID:jtZcd8qn
>>993
人間が理解・納得するための一つの手段だからね。
>>1は小学生の話だが、小学生が理解するのと、数学者が証明するのとは
だいぶ違う。
0996名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 23:14:38.39ID:jtZcd8qn
>>991
シュレディンガー方程式は2回の偏微分方程式だが、特性方程式を見ると、
楕円型に分類されて、複素関数でしかなくなる。
0998名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 23:53:34.24ID:M5+Pmogc
>>991
ヒント
（−１）÷（−１）＝１
−１の中に−１が一個であってる‥ 0999名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 23:54:18.01ID:aJOiwZUS
生き埋め
1000名無しのひみつ＠無断転載は禁止2017/05/01(月) 23:56:27.79ID:jtZcd8qn
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