【解説/宇宙】科学者を魅了し続ける古くて新しい「三体問題」 その解法の鍵とは? [すらいむ★]
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
科学者を魅了し続ける古くて新しい「三体問題」 その解法の鍵とは?
17世紀の終わり頃、ニュートン(Isaac Newton、1642-1727)は「万有引力の法則」を発見し、太陽の周りの惑星の動きを説明することに成功しました。
これは現在「ケプラーの法則」として知られています。
ニュートンはさらに、地球の衛星である月の動きを説明しようとしました。
しかし、地球と太陽の両方が月の動きを決定しています。
地球と太陽だけであれば2つの物体の関係(「万有引力の法則」に帰着する「二体問題」)になりますが、月が加わると3つの物体の非常に複雑な動きを予測することになり、数学的な解法も難しくなることが知られています。
これが「三体問題」です。
こちらの動画では「2つの物体の万有引力による規則的な動きからスタートして、3つめの物体を加えることで不規則な動きになる様子」が描かれています。
https://www.youtube.com/watch?v=OltSaaNsy5U
結果的にニュートンは三体問題の一般的な数学的解法を得ることはできませんでした。つまり、三体問題を定義するのは簡単ですが、解くのは難しいということです。
(以下略、続きはソースでご確認下さい)
sorae 2021-04-27
https://sorae.info/astronomy/20210427-three-body-problem.html 昔から3体以上の多体問題は正確に解けず、近似計算が行われて来た。
男女の三角関係もこんがらがって正確に解けない。 >>54
計算で解けないのと解がないのを混同したら駄目 >>54
厳密解は求められないけど数値解ならコンピュータで計算すれば求められるから
「解けない」ってのとはまた違うだろ
科学技術計算じゃいろいろな分野で当たり前のようにやられてる手法
数値解でも精度を十分に高めてやれば実用上十分なものが得られる 三体問題でも、二体あるいは三体がある点で衝突を起こすような初期値の
場合には、衝突が起きてそれから後がどうなるかは、WELL-DEFINED
(うまく定義されている)というわけではない。
もっともそのような場合は、そもそも天体を質点で近似している段階で
既に現実とはうまく対応していない。 三体の分析で面白いのはその内の一体が弾き飛ばされることが多々あること
この弾き飛ばされた一体がエネルギーを運び去るから残りの二体は衝突すれすれまで接近して連星をつくる
観測で連星が非常に多いことの理由としてこの三体(もしくは多体)から出発したというシナリオが考えられてる
元から連星で始まったわけじゃないんだね
そして太陽は弾き飛ばされた方だと考えられてる
またBHや中性子星の衝突にももう一つの弾き飛ばされた星があると考えられてる >>57
カオスになったら近い未来は計算可能だけど近くない未来は事実上計算不能だよ
計算誤差が経過時間の指数関数で膨れ上がっちゃうから より少しだけ遠い未来まで正確に求めたかったら、
計算に使う数値の有効桁をうんと延ばしてやる必要がある。
さらに少しだけ遠い未来まで正確に求めたかったら、
計算に使う数値の有効桁をまたさらにうんと延ばしてやる必要がある。
しまいには、ある誤差の範囲内で解を求めるためには、計算に
何百桁、何千桁の桁数の高精度の数値を使う必要が出てくる。
しかし、現実の世界はそんなに精度の高い数値でなければ要求精度を
満たせないのだとすれば、様々な観測の不確定性や、ノイズ、モデルの
現実とのずれ、などにより、計算結果が精度良くでてくるとしても
実際にはほとんど何にも意味が無いのである。 >>49
平方根は有限回の四則演算では求められない、ってのと同レベルの話だからなあ 「二重振り子」という力学系は、一般にはカオス性を持っており、
やはり運動の解を閉じた式で表すことができない。
もちろん運動方程式それ自体は書き下すことができる。 ここまでの個人的感想だけども、三体問題の一般解がない理由は、
カオスの一種なのか、別の種類なのか、ハッキリしてないな。
先ず、三体問題の一般解がない理由は、次のようかな:
「古典物理の範囲で、パラメーター初期値を与えて、三次元物体の
軌跡(座標)を求める問題で、三体以上の物体が相互作用する系は
厳密解を表せない(実数解を求める計算式を、初等関数の有限回の
組み合わせとしては表せない)」
物理と数学の事情に絡む、ある種の論理的限界(求む詳細!)だな。
一方カオスとは、その三次元・三体という前提条件とは無関係な、
「物理と数学の事情に絡む、ある種の論理的限界」なのか。
それとも「物理と数学の事情に絡む、ある種の論理的限界が知られた
分野」という点は共通だが、三体問題とは「ある種」が全く別なのか。
そもそも、カオスの定義が何か、ってことから始まるべきだけど。 平面内3体問題ですら一般解は無いので、おそらくカオスになるのだろう。
専門家はきっと既に答えを知っているのだろうが。 仮にカオスの定義を次のように定義しよう。:
一般に有限の計測誤差を含んで与えられるパラメーター初期値の、
たかだか計測精度程度の微小な差異が、
軌道計算(解析的か数値計算的かは不問)の結果に、
時間とともに指数関数的拡大傾向のある差異を生むような力学系。
換言すれば:
カオスとは、実用的に有用な解(十分な精度の解)を得るために、
いかに高精度の初期値が得られたとしても、十分な精度を保てる
時間が高々Δt[s]程度の力学系。
このΔtは系の「複雑さ」による。(物理定数を含むか知らない)
三体問題の一般解が無い事情に、物理と数学がどう絡んでいるか
も知りたいが。
そもそも三体問題自体、上記のカオスの一種で、
十分な精度を保てる時間が高々Δt程度
という特徴を備えるのだろうか。
それとも三体問題自体は、
十分な精度を保てる時間がΔtを超える
ものだろうか。 1. 解析的に厳密解が求められない
2. カオス
これを合わせたその結果、人間には物体の運動の予測はそこそこしか無理って話だろ
たかが小惑星の地球への衝突の確率すら、庶民感覚的に満足できるレベルの計算ができない
ある1km級の小惑星が地球に衝突する確率が
今は0.001%って計算してたけど、科学が・計算アルゴリズムが発展したおかげで、
正確な衝突の確率は0.00001%(あるいは 0.1%)に修正できたよー、ってレベルにすぎない
そういう程度にすぎないことが、原理的には改善できないということ あ、特定の小惑星の、地球への衝突の確率計算にはカオスはほぼ関係ないか。。
他の惑星に接近した小惑星が、想像以上に軌道変更して地球に突貫してきたみたいなカオスはあるかもしれないが >>66
aiの総当たりは場合の数が有限の話だから解を求められない式には使えないよ その手の問題なら
量子コンピュータ、焼きなましなアレとかでも…が得意そう…って事だけ覚えとけばおk >>40
摂動計算で軌道要素に加わる変化量を計算する
その軌道要素に基づいてそのときの位置を計算する 衛星の衛星って聞かないものね
変なところにすっ飛ばされるんだろうな >>70
ある程度ラインが決まるならコンピューターやAIの出番だと思うが >>40
天体間の質量の差が十分大きければ計算できる >>75
コンピュータの出番ではあるけど逐次計算やらせるだけならaiである必要はない 天井に端が固定された紐の先に重りを付けて、さらにその重りを端として
別の紐がありその先にまた重りを付ける。これを(球面)二重振り子という。
(普通の振り子は球面振り子である)これの動きはとても複雑なものになる。
三重振り子、四重振り子なども作れる。
紐を使う難点は、運動の具合によっては紐の張力が正を保てない場合が
あること。本当は紐の長さは一定に保たれるようにしたいのだが。
では硬い細い棒にしたらどうかといえば、どの場合にジョイント
(関節)部分をどう実現するかが難しい。
紐もできるだけ張力によって伸びないものが望ましい。 >>78
思ったんだけどAIが近似値を求める公式を単純高速化させるとかそういう話は無いの?
総当たりで得たデータも活用されるんだから傾向なんかも読み取る
問題はバラバラの欠片がどこに散らばりやすいかと大体似てるんじゃないかと思うんだが >>80
3体問題は式が複雑だから求められないわけじゃなく、そもそも厳密解が求められない性質の現象
気象予報みたいに過去のデータから傾向を掴むようなものにはaiは使えるけど、そもそもデータが無いと学習出来ない
aiがやってるのはあくまで過去のデータを元に、未知のデータを分類することであって人間のように式を解いているわけじゃない >>80
一見カオスでも細かく見ると周期性が現れたり一点に収束したりすることがある
つまり初期値によっては±誤差付きで予測は可能
そういう特異点やアトラクタを見つけるのはAIが得意 有界な区間内でのどんな連続関数であっても、任意の精度で近似できる
というニューラルネットの近似能力があったとしても、
カオスのような性質を有するような関数を広い範囲にわたって近似する
ことができるようには思われないないが。
初期値が僅かに変わると結果が幾らでも大きく変わるというのは
たとえその関係が連続だとしても、任意の正数εに対してある正数δがとれて、
しかじかを満たすというときに、εに対してδが余りにも小さくなることを
意味している。たとえば δ<Lεが成り立つとしてLが10とか1とか0.1ぐらいなら
いいが、δが10のマイナス100乗とかだったら現実にはうまくδをとるという
ことがとても難しいはずだし、δがO(ε^2)だったりO(ε^{10})だったり
などすれば、やはり精度の短い数値で近似計算を行う場合には
事実上は連続関数ではないようなものだろう。 >>11
スゲー、3つに核分裂したら何が起きるんだ? 古来、ギリシャ〜ローマ時代やイスラムの文化が最先端だった時代や
ルネサンスの時代などを通じて、
・ある現象が次の現象に繋がる
時に、何らかの物理量の保存が認められるときに
それを等号で繋ぐことで方程式化し
そのような式を幾つか作り出して、それぞれの変数を解いていく
という方法論が確立され、それが自然科学で重要なテクニックになってたんだよなあ
でも三体問題だと、そのテクニックは使えない!
でも逐次近似するなら、とにかくそれらの物理量の変化をシミュレートすることは一応できると
多くのプログラミング言語で = が等号でなくて代入なのは納得できない!みたいな人も世の中に多いけど
それをちょっとだけ連想させる
ところで逐次近似だの摂動だのって単語が出て来ると
その辺を一気にスキップする方法として変分法という言葉が出て来るなあ >>83
例えばカオス力学関数を全て見付けるとしても力業過ぎるな
そもそもまずそこからAIやニューラルネットワークで自動化出来ないのかという疑問 なんでヨーロッパでやっとるテニス大会やサッカー大会を批判せんの? 動きを方程式に出来ないと言う事なん?
解けないと言う事とはまた別なの? 三体問題の特殊解の論文は学生の時に読んだことあるな。8の字解。 >>12
微分方程式が初等関数(三角関数含む)で解かれる条件については、ガロア理論と同様なものが作られ(ガロア理論の発展で)解かれている。
代数方程式も冪根だけでは4次方程式までだが、これを楕円関数までを使うことで、一般に解くことできることもガロア理論の発展で証明されている。 これまで散々スパコンを使って計算してきたのに、いまさら解析的に解きたいとか無かろう ゲージ理論で群論が物理の素粒子に応用され、これが群論をベースにするのでありとあらゆる宇宙に適応する法則となる。
我々が住むこの宇宙は、ゲージ理論に加え、この宇宙の対称性の破れによって、パラメータが決定されている。 > 代数方程式も冪根だけでは4次方程式までだが、これを楕円関数までを使うことで、一般に解くことできることもガロア理論の発展で証明されている。
蛇足だが、当然 n次元の代数方程式の解の公式もある(楕円関数の値を使う)。 >>5
四色問題は解決済み
膨大な組み合わせ全てを計算機使って確認した 但し実際に4色で塗り分けるのは国の数が増えると計算の手間が増加して困難。
それと疑問に思っていることは、「国の個数が有限の場合に四色で塗れる」
という証明はもしも平面上に無限に国がある場合であってそのまま通用する
のだろうか?と。 >>96
>但し実際に4色で塗り分けるのは国の数が増えると計算の手間が増加して困難。
そうなの?
国の数nに対して計算量が増えるといってもいろいろだろうけど、
指数関数的に増大するの?そこまではないの? >>95
エレガントな証明が絶対存在しないと証明されたわけではないよね
エレガントでない証明が行われただけで 人間が読める10ページ以内の証明が果たして可能になるであろうか?
今のところの証明の本質が、不可避集合を適切に選べるというところにあって
その集合に含まれるグラフの個数が沢山あり、僅かな数にはできそうもないから、
その路線でやる限りはグラフをふるいわけて列挙して議論するのなら、
手間が掛かることは間違いない。
ある条件を満たす不可避集合が機械的な手続きでアルゴリズムによって漏れなく
選び出せることを示したのであれば、そのアルゴリズムの正しさを証明
しさえすれば、そのアルゴリズムを正常に動作する計算機で実行したとしても、
問題は正しく解決されたと見なすべきだろう。当時は大型計算機で試行錯誤して
累積1200時間を掛けた計算だったかもしれないが、多分今ならばプログラムさえ
正しく書かれていてそれを動かすだけならば、デスクトップPCで数分程度
以下なのではなかろうか?
そういうやりかたを認めないという立場であるならば、
たとえば連立1次方程式を解くのにガウスの消去法を定義してそれでもって解ける
(あるいは解けない場合が検出できる)と証明して、実際の計算は計算機に
やらせるというのではだめだ全部人間がやれ、一般の百次の行列であっても
人間が計算しなければだめだというような精神論になってしまう。
むしろ人間にやらす方が間違えるし、人間の無駄遣いになる。 見かけ上の3体力とか考える事はあるけど、あれはエネルギー勾配としての形式的な力であって
二体が互いに及ぼすもの、及ぼされるもの、という力の概念を捨てたならそれは力ではない 既に2粒子間の力という概念は、力を媒介する”場”を考えた段階で
修正が加わっている。
たとえば重力や電磁気力の作用は光速を越えては伝わらない。 >>53
8の字解みたいな特殊解でも厳密解出せないのか? >>59
それ元から連星で一体が近付いて来ただけじゃねーの >>88
公理自体が予め混じって溶けちゃうんだよ
元を知らないと解きようがない
それを認知するってことは統合失調そのもの
>>90
孔子塾ヤメテ これのせいでポリゴンとかレイトレとか物理演算とか膨大な計算量になんだろ? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています