検索後に検索語が検索バー内に残っている利用方法は先に述べたとおりだ
消えるとその効用が失われるので不便なことになる

リンクを踏んだりして、ページを移動した後に検索語が残っている利点も同じことだ
一続きの観点で情報漁っているのだからね
Ctrl-Aを打ち込めが消去するとの同じ

ページ移動後、そんな作業をリセットしたいのであれば
検索バーの検索語を初期化したいのなら、スクリプトがどこかにあるかもしれない