N-03E (Android 4.1) を使っているけど
OpenSSL (libcrypto.so , libssl.so) をそれなりのものに置き換えると
WebView を呼び出す形式のアプリであれば正常に通信できるみたい

TLSv1_2 対応版 OpenSSL を作りたい場合
ssl_lib.c の SSL_ctrl 辺りで
TLSv1_2 を有効 (= SSL_OP_NO_TLSv1_2 をクリア)
してからビルドするといいと思う