【教育】数学好きが口にする「数学の美しさ」とは？ [無断転載禁止]©2ch.net
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「∞（むげん）プチプチ」などのヒット商品を生み出した高橋晋平氏は「TEDｘTokyo」に登壇するなど、企画・アイデア発想の名手としても知られる。
「大人のための数学教室 和（なごみ）」を運営する和からの堀口智之社長との対談の後編。堀口氏が考える「数学の美しさ」とは？ 堀口氏が数学関連のビジネスに力を入れる理由にも迫る。
中略
高橋： よく「数学は美しい」って言うじゃないですか。数学が好きな人たちって何をもって美しいと言っているのか、よく分からなくて。例えば中学校、高校ぐらいで学ぶような数学の内容にも美しさってあるんですか。
堀口： いい質問ですね。高校までの数学って、テクニックの集合体なんですよ。そもそも美しさを求めてないんです。だからわれわれが学んできた数学で「美しい」という言葉がぴんとこないというのは当然の話です。ただテクニックを学んでいるだけですから。
高橋： なるほど。
堀口： どういったことを「美しい」というのかは、数学的世界観を体感することで理解できるかもしれません。その世界観がちょっとのぞき見えるような数式を2つだけ説明しますね。3分の1って0.3333……ですよね。
高橋： はい。
堀口： じゃあ、これを3倍しますね、両辺。そうすると、左の辺の数字はいくつになりますか。
高橋： 1。
堀口： ですね。右の辺の数字も1ですよね、当然。1＝1じゃないですか。
高橋： なりますね。
堀口： だけど、この右辺を3倍するわけですよね。小数点以下のこの一つひとつを3倍するわけだから、0.9999……が正解なんですよ。ということで、実は1というのは0.999……のことだったんですね。私は小学生くらいのときによく1に近い限りなく大きい数として0.999……とか言っていたんですけど、0.999がずっと続いちゃうと1になっちゃうんですよ。これが無限の恐ろしいところなんですね。0.999……が無限に続いちゃうと1になって、どこかで9が止まると1ではなくなるんです。
高橋： そうか。無限だからな、なるほど。
堀口： この数学的世界観が垣間見えてくると、数学に美しいという概念が生まれてくるわけですよ。なんだこれは、と。それから、これまで想像していなかった分野がつながることがあるんですよ、数学って。素数って分かりますよね。
高橋： 分かります。
堀口： 素数というのは1とそれ自身以外約数を持たない数のことを言うんです。2、3、5、7、11、13、17、19、23……と続いていくんですけど。この素数の個数が何個なのか。実は無限にあることは証明されているんですよ。無限個ありますと。
高橋： 無限個。
堀口： これ自体もちょっと面白いんですけど、素数の個数が無限個と言いましたが、どのくらいの割合なのか考えてみましょう。
高橋： 割合？ ああ、この先、何個のうち何個出てくるかみたいな。
堀口： その通りです。例えば、1から20までの20個の自然数の中で、素数は2、3、5、7、11、13、17、19の8個ですので、20分の8は素数といえます。一方、101から120までの数字で考えると、素数は101、103、107、109、113の5つになり、20分の5が素数といえます。この素数の割合を求めるのに、log（ログ）という数式が出てくるんですね。ある数ｘの周辺で素数である確率はざっくりlog x分の1であることが分かっているんですよ。
高橋： log、あったな、logって。
堀口： 例えば、log 10=2.3なので、log10分の1は、1/2.3＝0.43です。これは、20分の8（=0.4）に近い数字になっています。また、log 110=4.7なので、log 110分の1は1／4.7=0.21で、これは、20分の5（＝0.25）に近い数字になっていますね。こういうふうにlogが使われるんですけど、素数とlogは一見何の関係もないんです。だけど今まで自分が学んでいた素数の個数という世界と、なぜか知らないけどlogというものが出てきて、何か高校のときに学んだなと。こういうものが何か知らないけどつながっているわけですよ。ここで初めて数学的世界観の恐ろしさが見えるわけですよ。こういうのが数学には山ほどあります。とんでもなくある。
高橋： 答えは分かっても、それを証明するためにどうするか。証明するところの奥深さというやつですよね。
堀口： そうですね。証明するところの奥深さもあります。そういうもののとりこになって人生を棒に振るという人がたくさんいます（笑）。ところで、素数の割合に関する問題で、リーマン予想という有名なものがあります。証明したら100万ドルもらえるくらいの難問なんです、実は。
高橋： 何かちょっと、だんだんときめいてきた（笑）。
http://trendy.nikkeibp.co.jp/atcl/column/15/1063592/051200014/ >>89
英語なら、likelihood、density、functionで簡単なのにな。 真面目な話、数式の美しさとかよりも、具体的なものを抽象化、体系化して支配する喜び
これが一番重要で、数学の一番の存在意義 >>87
数学書と工学の数学テキストは違うからな
フーリエ解析、ベクトル解析、複素解析のような簡単な数学でもテイストが違う
数学者からすると工学向けのテキストは猥雑で読みたくない。週刊現代みたいだよ 数学はそもそも現実世界とは直接はなんの関係もないもんな
ぶっちゃけて言えば、人智による壮大な妄想の世界 俺の数学者に対するイメージ「凄いけども、ちょっと抜けてるお茶目な人達」 そういや答はあっているのに美しくないという理由で減点する教師がいたな 3分の1って0.3333…
小数点以下のこの一つひとつを3倍するわけだから、0.9999……が正解なんですよ。ということで、実は1というのは0.999……のことだったんですね
論理が破綻してる オイラも数学好き
高校の時は、数学と物理と英語を少々
くらいしか勉強しなかったな
数学と物理は勉強と言うより趣味みたいなもん
だったな
推薦入学で中堅国立大学理学部数学学科に入学
数学で食べて行こうと大学教員目指したが
Fラン大学の数学教員くらいしかなかったんで
将来のこと考えて、電機メーカーに就職
今は超小型モーター設計してる 4色問題の証明は醜い。
最後はコンピューターでしらみ潰し。 天才数学者って不遇だったりするからね
数学が美しいという感性に共感したくはないかな アラベスクみたいなあーいう静と動が抽象的に表現されたような感覚
が多分数学オタの感覚なのかなと 美しいとか言っているのはありがちな啓蒙書臭いな。数学はそれより厳密性が気持ち良くなる学問だと思う。 >>100
最早スッキリ解ける問題は出尽くした感ある気が
これからは力こそパワーの時代
オイラーの公式
「 e^(iπ) = -1 」
なに？このゴチャ混感ぜかつシンプル感
これぞ神秘を感じる >>91
マジな話、数学って英語で学んだ方が分かりやすいよ
最初のかたっくるしい実数論がすんなりと入る こういうものの分かるって
深さに雲泥の差があるからねえ。 >>105
オイラーの公式の素晴らしいところは
二つの超越数を結びつけたところにある (´-`).｡ｏＯ（ε-δ 論法で挫折したオイラ…） 四色問題は、もう少しシンプルな証明はあるのか、という点が謎のままだからな
ミレニアム問題は、基本的には「重要だが解けそうな問題」が上手く選ばれている
P≠NPだけは例外で、証明が可能なのかすら専門家にもわからない 素数の概念が無ければRSA暗号は存在しなかった
RSAは公開鍵暗号のスタンダード的な存在だけに、セキュリティ面でもかなり重要 物理の式の美しさはわかるが数学の式の美しさはいまいちわからん 数学が美しいなんて言ってる奴は低学歴
現実はつじつま合わせのつぎはぎだらけ >>80
複素数が苦手なのに無理してレスしなくて良いから >>105
オイラーの式を2乗すると
e^2πi=1だから2πi=0だと言う人がいた。 加速度、速度、距離がお互いに微積関係とか素敵やん。ただ微積は次元が変わるのでイメージが掴みにくかった。大学の数ⅠCとかワケワカメ。 >>94
関係はあるぞ。実数とか空間とか、結局は現実を抽象化したもので、
それを研究してるのも人間の都合だからな。 >>1
何を長々と書いとんねん
素数に円周率が隠れてること書くだけで美しいのが伝わるやろ この世は綺麗に割り切れない よって美しいとは言えない 数字に関係する薀蓄や有名な数式持ってきてこれが数学の美しさだ！
と言うのはなんか違う気がするな
集合論を使って数学を0から再定義して
現実世界のお金や石ころの数から完全に切り離した純粋さは感じるが
別にシンプルではない
e=mc^2
だけ見て物理はシンプルで美しいとはいえないように 1/3 = 0.3333....
(1/3)*3 = 0.9999.... ≠ 1 !?
ていう話はよく聞く話だけど、少数表記の字面（じづら）に踊らされすぎ。
１を３で割ったものを 1/3 と分数表記するか、
0.3333.... と少数表記(本来なら循環小数という専用の表記法で表記すべき)するか
の違いであって、本質的には、３で割って３を掛けたら元に戻るのは当たり前である。
１０進数を採用している以上、1割る3の答えが循環小数になるのは生姜無い話であり、
１２進数を採用しておけば、少なくとも1割る3の少数表記の問題で悩む人はいなかったと
思われる。（１２進数なら1割る3の少数表記が循環小数にならないから）
つくづく人間の指の数が１０本であることが残念な限りである。
腕３本で腕１本あたり指が４本ならば、はんだ付けもより楽になり?、(1/3)*3の問題も
なかったであろう。 数学の起源は白人しかいなかった古代ギリシャ文明そして
タレスが証明の起源 白人のアレキサンダー三世が中東とインドを征服して
科学と数学の証明をもたらせた >>123
x=0.99999、、、(無限に続く)
10x=9.99999、、、(無限に続く)
10x-x=9x=9
∴x=1 >>127
x=0.99999、、、(無限に続く)
10x=9.99999、、、(無限に続く)
10x-x=9x=9.0000、、、(無限に続く)
∴x=1.0000、、、(無限に続く) >>129
もっと感動したのは(i)を見たときだがな 三平方の定理は中学生でもやるだろ
数式も美しいが、図形的な証明がこれまた美しい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/pita_proof.gif >>100
あれは逆に凄い
あんなシンプルな問題で
なおかつ不可避集合が有限なのに
整理され続けても未だに633個もある
典型的な組み合わせ論の問題とはいえ
あのシンプルな問題から
こんな複雑な不可避集合群が出てくるところが面白い
ちなみにまず解かれた五色あれば十分って証明は結構美しい
高校生でも理解可能 >>33
まさに物理学者崩れです（笑）
数学は美しい！
数学者は狂ってる！ただし褒め言葉
いずれも同意です アラビア数字を使っていたアラビア人は、流石だといつも感心します。 複素数なんてなんの役に立つんだ？と思っていたが、測量の計算をするときに非常に役立っていることを知って感心したことがある。 >>132
三平方の定理の証明が何十通りもあるのが面白い 数学は難しくなるほど、逆に「完備」とか「豊富」という情緒的な言葉が出てくるね。 きれいなのは分かるが、1+ 1 / nがそこら中に現れる形而上学的なことが分からん
性質が分かっても、なぜそこら中に現るか、おまえらはどう納得したんだ？
あの不完全性定理の限界以上に不思議だ >>18
高校教科書のコラムやらハッテンとか行った所によく書いてあるぞ。 >>27
理系には常識だし、
DQNは麻雀の点数計算で知っている
つまりそれをきれいと思わないのは文系馬鹿だけ おれが一番感動した定理はファルコンの定理だ
あんなの人類では証明されないと結論づけられたのに無名の学者が完璧に証明しちゃったからな
興味ある奴はたくさん本になってるから読んでみるといいぞ >>44
それそれ
そもそも1/3と0.333…は同じではないしね、あくまで近似値 >>48
仕事でなくても、
今後は個人でAI使いこなせるかどうかの格差社会になるよ
AIディバイドのインパクトはデジタルディバイドどころの騒ぎじゃない 0.333...なら1と同じだろ。途中で止まったら近似値だが。 数学の楽しさを知りたいなら数論、離散数学の簡単そうなのを読んでみるといい
コンピュータプログラミング、特にゲーム開発と絡めて遊んでみたいなら行列やニュートン力学あたり >>147
人間で言うLGBTみたいなものです
差別はやめましょう ごちゃごちゃしたモノを美しいとは思わないよな。
たとえば、ジャングルより京都の名寺の庭園のほうを
美しいと感じる人のほうが多いだろ。
だから、数学の場合も、奥深い広大な世界を
秩序だった簡潔な数式で１発表現できる点が
美しいと云われるゆえんの１つだと思うよ。
有名な数式に感動するのも、そういう事だわ。 >>143
そもそも日本での自称文系は理系科目が理解できないバカ、だからなw >>152
物理学も然りだな。
量子力学の粒子波動二重性や不確定性、固有値離散化などがすべて
HΨ＝EΨ
の一式で語られる。 Ｅ＝mc＾2 が抜けてるんじゃね
物理で世界一有名、かつ簡潔な公式じゃろう >>156
>量子力学の粒子波動二重性や不確定性、固有値離散化などがすべて
HΨ＝EΨ
の一式で語られる。 wwwwww
物理の素人丸出しだろ。こんな程度の低いこと書く奴初めて見た。 それはそうと、宇宙物理学者が言う
この宇宙が生まれる前は、空間もなく時間もない状態だった
この状態がどんな状態なのか、皆目見当がつかない >>158
程度が低いとか言ってる時点で素人丸出し >>152
>だから、数学の場合も、奥深い広大な世界を
>秩序だった簡潔な数式で１発表現できる点が
>美しいと云われるゆえんの１つだと思うよ。
言語よりもさらに抽象度の高い記号を駆使して表現するので
シンプルに説明できる、という幻想がある
まあ「説明」としてそうかもしれない
それだけだね >>160
程度が低いから低いんだろ
物理を知らない奴が他人に素人か笑わせるな。
俺は京大の理、同院で物理専攻だ。
お前物理やったことないだろ。 >>162
あちゃーこれだから京大は東大より下なんだよなぁ
人間的にも
どうしてみんなこうかねw >>163
俺が入った頃は東大と全く同じ難度だったが。馬鹿には分からんだろうな。 >>163
お前馬鹿だから分からないようだから教えてやるが
Hψ=Eψという式は離散スペクトルでも連続スペクトルでも成り立つ
式で固有値が離散的（束縛状態）な場合にだけ当てはまるものでもないし
不確定関係とも直接の関係などない。 >>143
255ってみてよしッと言う気持ちと何か不吉な感じがするのはスーファミ世代。 １６世紀頃にお大昔は数学の試合があったそうな。
１体１の勝負でお互いが問題を出し合って競ったそうな。
問題を解くのが数学の全てではないだろうが、数学にはかつてのような決闘的な要素
があってもいいのではないか。或いは将棋のプロ棋士のようにＡ級とかＢ級１組とか
あるのもいい。こういう緊張の中から本当に美しさがまた発見されないだろうか。 どんな母集団を選んでも
その中に数学の得意なヤツと不得意なヤツを見つけることができる。
(適当) スポーツと同じで、面白さがわかるまでの基礎体力をつける
までが苦痛なんですけど… ちょうど２５６円！
と言って事務のお姉ちゃんに変な顔されたのは内緒。
でも、細菌の数学って美しいの？
微分方程式は解けないし、ここまでコンピュータが
発達したら、力技でやったほうが早い気もするし。
カオスたら複雑系たらいうものも、行き詰った数学の
目くらまし、リパッケージ版みたい。 最近、3本の剛体棒の振り子の動画を見て、カオス系ってすげーなと思った(小並感) オイラー、テーラー展開は高校でやらすべき。これないと三角関数やる意味がわからん 複雑系は、数学のためというより経済学、生態学のためだな >>133
すいません。物理工学使う数学素人ですが、
貴人のカキコした内容を理解するに読む書籍・文献ありますか？
わかりやすい文献あれば教えてください。
面白そうなので、読んでみたいです。
難しくて理解できないかもしれせんがｗ ４色問題の論文読めばいいじゃん。なんでも論文が一番分かりやすい。
文系ならともかく理系ならいけるでしょ。そんなに難しくない。 マクローリン展開でオイラーの公式を導くと感動するね ベクトル解析と逆フーリエ変換は便利だとは思ったけどな。 >>106
激しく同意
大学時代数学科で数学に苦しんだ俺が、大学卒業してから英語で同じこと読んだらすんなり頭に入ったわ >>23
あんな内容にチンタラ6年もかけるのが異常 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
