【教育】数学好きが口にする「数学の美しさ」とは？ [無断転載禁止]©2ch.net
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「∞（むげん）プチプチ」などのヒット商品を生み出した高橋晋平氏は「TEDｘTokyo」に登壇するなど、企画・アイデア発想の名手としても知られる。
「大人のための数学教室 和（なごみ）」を運営する和からの堀口智之社長との対談の後編。堀口氏が考える「数学の美しさ」とは？ 堀口氏が数学関連のビジネスに力を入れる理由にも迫る。
中略
高橋： よく「数学は美しい」って言うじゃないですか。数学が好きな人たちって何をもって美しいと言っているのか、よく分からなくて。例えば中学校、高校ぐらいで学ぶような数学の内容にも美しさってあるんですか。
堀口： いい質問ですね。高校までの数学って、テクニックの集合体なんですよ。そもそも美しさを求めてないんです。だからわれわれが学んできた数学で「美しい」という言葉がぴんとこないというのは当然の話です。ただテクニックを学んでいるだけですから。
高橋： なるほど。
堀口： どういったことを「美しい」というのかは、数学的世界観を体感することで理解できるかもしれません。その世界観がちょっとのぞき見えるような数式を2つだけ説明しますね。3分の1って0.3333……ですよね。
高橋： はい。
堀口： じゃあ、これを3倍しますね、両辺。そうすると、左の辺の数字はいくつになりますか。
高橋： 1。
堀口： ですね。右の辺の数字も1ですよね、当然。1＝1じゃないですか。
高橋： なりますね。
堀口： だけど、この右辺を3倍するわけですよね。小数点以下のこの一つひとつを3倍するわけだから、0.9999……が正解なんですよ。ということで、実は1というのは0.999……のことだったんですね。私は小学生くらいのときによく1に近い限りなく大きい数として0.999……とか言っていたんですけど、0.999がずっと続いちゃうと1になっちゃうんですよ。これが無限の恐ろしいところなんですね。0.999……が無限に続いちゃうと1になって、どこかで9が止まると1ではなくなるんです。
高橋： そうか。無限だからな、なるほど。
堀口： この数学的世界観が垣間見えてくると、数学に美しいという概念が生まれてくるわけですよ。なんだこれは、と。それから、これまで想像していなかった分野がつながることがあるんですよ、数学って。素数って分かりますよね。
高橋： 分かります。
堀口： 素数というのは1とそれ自身以外約数を持たない数のことを言うんです。2、3、5、7、11、13、17、19、23……と続いていくんですけど。この素数の個数が何個なのか。実は無限にあることは証明されているんですよ。無限個ありますと。
高橋： 無限個。
堀口： これ自体もちょっと面白いんですけど、素数の個数が無限個と言いましたが、どのくらいの割合なのか考えてみましょう。
高橋： 割合？ ああ、この先、何個のうち何個出てくるかみたいな。
堀口： その通りです。例えば、1から20までの20個の自然数の中で、素数は2、3、5、7、11、13、17、19の8個ですので、20分の8は素数といえます。一方、101から120までの数字で考えると、素数は101、103、107、109、113の5つになり、20分の5が素数といえます。この素数の割合を求めるのに、log（ログ）という数式が出てくるんですね。ある数ｘの周辺で素数である確率はざっくりlog x分の1であることが分かっているんですよ。
高橋： log、あったな、logって。
堀口： 例えば、log 10=2.3なので、log10分の1は、1/2.3＝0.43です。これは、20分の8（=0.4）に近い数字になっています。また、log 110=4.7なので、log 110分の1は1／4.7=0.21で、これは、20分の5（＝0.25）に近い数字になっていますね。こういうふうにlogが使われるんですけど、素数とlogは一見何の関係もないんです。だけど今まで自分が学んでいた素数の個数という世界と、なぜか知らないけどlogというものが出てきて、何か高校のときに学んだなと。こういうものが何か知らないけどつながっているわけですよ。ここで初めて数学的世界観の恐ろしさが見えるわけですよ。こういうのが数学には山ほどあります。とんでもなくある。
高橋： 答えは分かっても、それを証明するためにどうするか。証明するところの奥深さというやつですよね。
堀口： そうですね。証明するところの奥深さもあります。そういうもののとりこになって人生を棒に振るという人がたくさんいます（笑）。ところで、素数の割合に関する問題で、リーマン予想という有名なものがあります。証明したら100万ドルもらえるくらいの難問なんです、実は。
高橋： 何かちょっと、だんだんときめいてきた（笑）。
http://trendy.nikkeibp.co.jp/atcl/column/15/1063592/051200014/ 高学歴「ちょうど750だな」
低学歴「どこがちょうどなんだ？」
みたいなやり取りはあったな。
1/4や3/4系の数に慣れていないようだ。 BS11で物語シリーズの再放送を見ているせいか、ついついスレを開いてしまった。。。美しいと言われても、全然ピンとこないけど。
漏れが高校数学ABC全てで赤点を取ったからか？ 小学校のとき家庭教師に
どれくらいわかった？
ってきかれて
5/13くらい
っていったら
変な表現するな
っていわれた ＞昨日バイト先で、333円の買い物したやつが千円札を出してきたから
＞ﾚｼﾞに打ち込む前につり銭777円をソッコー渡してやった。
＞俺の暗算の能力とそのスピードにすげえビックリしてたみたい。
これが数学の美しさな。 ２進数の話は
どちらかというと数学というか
コンピュータの話だね >>41
「役に立たない」と「すぐには役に立たないが何らかの本質に関係している」では全然違う
天才はモチベーションとして最低でも後者がある
しかも、世間で言われるほど数学と応用の違いは大きくない。技術が進むほど距離は縮む 預かり金キー押さないとレジのドロアーは開かないんじゃね
と思った ミレニアム問題とか、そもそも問題文からして何一つわからん さすがにフェルマーの大定理（最終定理）については判りやすいだろう・・
単純極まりない式だから >>52
そもそも割りきれない数を分数で表すのが間違いなんだよね 例えば中学校の試験で、直角三角形を作図しろとか出題されて、作図してみて、
線が角を少しはみ出ただけで「これは三角形ではないのでは？」と気になってしまって消しゴムで消して書き直し、
今度は「これは本当にぴったり90度なのだろうか、89.99度になってはいないか？」と不安になってしまい、
「そもそも線にはシャープペンシルの太さの幅があって、これは本当に線なんだろうか？」と気になって、
答案が返ってくるまで「自分は正解をもらえないのではないだろうか？」と夜も眠れないような子。
こういう子には数学を美しいと感じられるようになる潜在的な素地がある。 今日のリーマン予測 経理の智子さんは黒のブラウスを着てくるローテーションだ >>23
高校くらいで学ぶ数学は記憶力は全く必要なく理解だから
どんなに内容が濃く進むスピードが速くとも理解さえ出来ればどんどん進めるからなぁ
理解した事すら忘れるほど短期間で詰め込みは凡人だとさすがについていけないが ジャイロの黄金の回転率ってのは何だかかっこよかった 面白い回答では「おぉー」って思うこともあるけど、
同時に、自分ではそこに至らないから、無力感もある… >>58
おまえの好きな言葉は「にわかw」「作り話乙w」だろw >>75
イマイチだよ
icosθ+isinθなら美しかった 日常で６とか４９６っていう数字を見たときはラッキーだと思ってる。 数学も結局は自然のものってことだな
だから芸術になる 同じ理系なのに工学部行くと信じられないくらい汚い数式扱う羽目になるんだよな 球の体積は円錐の公式で求められる→すげえ(中学時代)
工学部でそれなりに数学と物理やったが
発想の面白さが数学の面白さと言うのはわかるが、美しさは全くわからん それなりに好きだけど美しいと思えるような域には達しなかった。 「尤度」とか「稠密性」とか慣れない漢字使うよな
関数も元々は「函数」と書くし >>89
英語なら、likelihood、density、functionで簡単なのにな。 真面目な話、数式の美しさとかよりも、具体的なものを抽象化、体系化して支配する喜び
これが一番重要で、数学の一番の存在意義 >>87
数学書と工学の数学テキストは違うからな
フーリエ解析、ベクトル解析、複素解析のような簡単な数学でもテイストが違う
数学者からすると工学向けのテキストは猥雑で読みたくない。週刊現代みたいだよ 数学はそもそも現実世界とは直接はなんの関係もないもんな
ぶっちゃけて言えば、人智による壮大な妄想の世界 俺の数学者に対するイメージ「凄いけども、ちょっと抜けてるお茶目な人達」 そういや答はあっているのに美しくないという理由で減点する教師がいたな 3分の1って0.3333…
小数点以下のこの一つひとつを3倍するわけだから、0.9999……が正解なんですよ。ということで、実は1というのは0.999……のことだったんですね
論理が破綻してる オイラも数学好き
高校の時は、数学と物理と英語を少々
くらいしか勉強しなかったな
数学と物理は勉強と言うより趣味みたいなもん
だったな
推薦入学で中堅国立大学理学部数学学科に入学
数学で食べて行こうと大学教員目指したが
Fラン大学の数学教員くらいしかなかったんで
将来のこと考えて、電機メーカーに就職
今は超小型モーター設計してる 4色問題の証明は醜い。
最後はコンピューターでしらみ潰し。 天才数学者って不遇だったりするからね
数学が美しいという感性に共感したくはないかな アラベスクみたいなあーいう静と動が抽象的に表現されたような感覚
が多分数学オタの感覚なのかなと 美しいとか言っているのはありがちな啓蒙書臭いな。数学はそれより厳密性が気持ち良くなる学問だと思う。 >>100
最早スッキリ解ける問題は出尽くした感ある気が
これからは力こそパワーの時代
オイラーの公式
「 e^(iπ) = -1 」
なに？このゴチャ混感ぜかつシンプル感
これぞ神秘を感じる >>91
マジな話、数学って英語で学んだ方が分かりやすいよ
最初のかたっくるしい実数論がすんなりと入る こういうものの分かるって
深さに雲泥の差があるからねえ。 >>105
オイラーの公式の素晴らしいところは
二つの超越数を結びつけたところにある (´-`).｡ｏＯ（ε-δ 論法で挫折したオイラ…） 四色問題は、もう少しシンプルな証明はあるのか、という点が謎のままだからな
ミレニアム問題は、基本的には「重要だが解けそうな問題」が上手く選ばれている
P≠NPだけは例外で、証明が可能なのかすら専門家にもわからない 素数の概念が無ければRSA暗号は存在しなかった
RSAは公開鍵暗号のスタンダード的な存在だけに、セキュリティ面でもかなり重要 物理の式の美しさはわかるが数学の式の美しさはいまいちわからん 数学が美しいなんて言ってる奴は低学歴
現実はつじつま合わせのつぎはぎだらけ >>80
複素数が苦手なのに無理してレスしなくて良いから >>105
オイラーの式を2乗すると
e^2πi=1だから2πi=0だと言う人がいた。 加速度、速度、距離がお互いに微積関係とか素敵やん。ただ微積は次元が変わるのでイメージが掴みにくかった。大学の数ⅠCとかワケワカメ。 >>94
関係はあるぞ。実数とか空間とか、結局は現実を抽象化したもので、
それを研究してるのも人間の都合だからな。 >>1
何を長々と書いとんねん
素数に円周率が隠れてること書くだけで美しいのが伝わるやろ この世は綺麗に割り切れない よって美しいとは言えない 数字に関係する薀蓄や有名な数式持ってきてこれが数学の美しさだ！
と言うのはなんか違う気がするな
集合論を使って数学を0から再定義して
現実世界のお金や石ころの数から完全に切り離した純粋さは感じるが
別にシンプルではない
e=mc^2
だけ見て物理はシンプルで美しいとはいえないように 1/3 = 0.3333....
(1/3)*3 = 0.9999.... ≠ 1 !?
ていう話はよく聞く話だけど、少数表記の字面（じづら）に踊らされすぎ。
１を３で割ったものを 1/3 と分数表記するか、
0.3333.... と少数表記(本来なら循環小数という専用の表記法で表記すべき)するか
の違いであって、本質的には、３で割って３を掛けたら元に戻るのは当たり前である。
１０進数を採用している以上、1割る3の答えが循環小数になるのは生姜無い話であり、
１２進数を採用しておけば、少なくとも1割る3の少数表記の問題で悩む人はいなかったと
思われる。（１２進数なら1割る3の少数表記が循環小数にならないから）
つくづく人間の指の数が１０本であることが残念な限りである。
腕３本で腕１本あたり指が４本ならば、はんだ付けもより楽になり?、(1/3)*3の問題も
なかったであろう。 数学の起源は白人しかいなかった古代ギリシャ文明そして
タレスが証明の起源 白人のアレキサンダー三世が中東とインドを征服して
科学と数学の証明をもたらせた >>123
x=0.99999、、、(無限に続く)
10x=9.99999、、、(無限に続く)
10x-x=9x=9
∴x=1 >>127
x=0.99999、、、(無限に続く)
10x=9.99999、、、(無限に続く)
10x-x=9x=9.0000、、、(無限に続く)
∴x=1.0000、、、(無限に続く) >>129
もっと感動したのは(i)を見たときだがな 三平方の定理は中学生でもやるだろ
数式も美しいが、図形的な証明がこれまた美しい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/pita_proof.gif >>100
あれは逆に凄い
あんなシンプルな問題で
なおかつ不可避集合が有限なのに
整理され続けても未だに633個もある
典型的な組み合わせ論の問題とはいえ
あのシンプルな問題から
こんな複雑な不可避集合群が出てくるところが面白い
ちなみにまず解かれた五色あれば十分って証明は結構美しい
高校生でも理解可能 >>33
まさに物理学者崩れです（笑）
数学は美しい！
数学者は狂ってる！ただし褒め言葉
いずれも同意です アラビア数字を使っていたアラビア人は、流石だといつも感心します。 複素数なんてなんの役に立つんだ？と思っていたが、測量の計算をするときに非常に役立っていることを知って感心したことがある。 >>132
三平方の定理の証明が何十通りもあるのが面白い 数学は難しくなるほど、逆に「完備」とか「豊富」という情緒的な言葉が出てくるね。 きれいなのは分かるが、1+ 1 / nがそこら中に現れる形而上学的なことが分からん
性質が分かっても、なぜそこら中に現るか、おまえらはどう納得したんだ？
あの不完全性定理の限界以上に不思議だ >>18
高校教科書のコラムやらハッテンとか行った所によく書いてあるぞ。 >>27
理系には常識だし、
DQNは麻雀の点数計算で知っている
つまりそれをきれいと思わないのは文系馬鹿だけ おれが一番感動した定理はファルコンの定理だ
あんなの人類では証明されないと結論づけられたのに無名の学者が完璧に証明しちゃったからな
興味ある奴はたくさん本になってるから読んでみるといいぞ >>44
それそれ
そもそも1/3と0.333…は同じではないしね、あくまで近似値 >>48
仕事でなくても、
今後は個人でAI使いこなせるかどうかの格差社会になるよ
AIディバイドのインパクトはデジタルディバイドどころの騒ぎじゃない 0.333...なら1と同じだろ。途中で止まったら近似値だが。 数学の楽しさを知りたいなら数論、離散数学の簡単そうなのを読んでみるといい
コンピュータプログラミング、特にゲーム開発と絡めて遊んでみたいなら行列やニュートン力学あたり >>147
人間で言うLGBTみたいなものです
差別はやめましょう ごちゃごちゃしたモノを美しいとは思わないよな。
たとえば、ジャングルより京都の名寺の庭園のほうを
美しいと感じる人のほうが多いだろ。
だから、数学の場合も、奥深い広大な世界を
秩序だった簡潔な数式で１発表現できる点が
美しいと云われるゆえんの１つだと思うよ。
有名な数式に感動するのも、そういう事だわ。 >>143
そもそも日本での自称文系は理系科目が理解できないバカ、だからなw >>152
物理学も然りだな。
量子力学の粒子波動二重性や不確定性、固有値離散化などがすべて
HΨ＝EΨ
の一式で語られる。 Ｅ＝mc＾2 が抜けてるんじゃね
物理で世界一有名、かつ簡潔な公式じゃろう >>156
>量子力学の粒子波動二重性や不確定性、固有値離散化などがすべて
HΨ＝EΨ
の一式で語られる。 wwwwww
物理の素人丸出しだろ。こんな程度の低いこと書く奴初めて見た。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
