【教育】数学好きが口にする「数学の美しさ」とは? [無断転載禁止]©2ch.net
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「∞(むげん)プチプチ」などのヒット商品を生み出した高橋晋平氏は「TEDxTokyo」に登壇するなど、企画・アイデア発想の名手としても知られる。
「大人のための数学教室 和(なごみ)」を運営する和からの堀口智之社長との対談の後編。堀口氏が考える「数学の美しさ」とは? 堀口氏が数学関連のビジネスに力を入れる理由にも迫る。
中略
高橋: よく「数学は美しい」って言うじゃないですか。数学が好きな人たちって何をもって美しいと言っているのか、よく分からなくて。例えば中学校、高校ぐらいで学ぶような数学の内容にも美しさってあるんですか。
堀口: いい質問ですね。高校までの数学って、テクニックの集合体なんですよ。そもそも美しさを求めてないんです。だからわれわれが学んできた数学で「美しい」という言葉がぴんとこないというのは当然の話です。ただテクニックを学んでいるだけですから。
高橋: なるほど。
堀口: どういったことを「美しい」というのかは、数学的世界観を体感することで理解できるかもしれません。その世界観がちょっとのぞき見えるような数式を2つだけ説明しますね。3分の1って0.3333……ですよね。
高橋: はい。
堀口: じゃあ、これを3倍しますね、両辺。そうすると、左の辺の数字はいくつになりますか。
高橋: 1。
堀口: ですね。右の辺の数字も1ですよね、当然。1=1じゃないですか。
高橋: なりますね。
堀口: だけど、この右辺を3倍するわけですよね。小数点以下のこの一つひとつを3倍するわけだから、0.9999……が正解なんですよ。ということで、実は1というのは0.999……のことだったんですね。私は小学生くらいのときによく1に近い限りなく大きい数として0.999……とか言っていたんですけど、0.999がずっと続いちゃうと1になっちゃうんですよ。これが無限の恐ろしいところなんですね。0.999……が無限に続いちゃうと1になって、どこかで9が止まると1ではなくなるんです。
高橋: そうか。無限だからな、なるほど。
堀口: この数学的世界観が垣間見えてくると、数学に美しいという概念が生まれてくるわけですよ。なんだこれは、と。それから、これまで想像していなかった分野がつながることがあるんですよ、数学って。素数って分かりますよね。
高橋: 分かります。
堀口: 素数というのは1とそれ自身以外約数を持たない数のことを言うんです。2、3、5、7、11、13、17、19、23……と続いていくんですけど。この素数の個数が何個なのか。実は無限にあることは証明されているんですよ。無限個ありますと。
高橋: 無限個。
堀口: これ自体もちょっと面白いんですけど、素数の個数が無限個と言いましたが、どのくらいの割合なのか考えてみましょう。
高橋: 割合? ああ、この先、何個のうち何個出てくるかみたいな。
堀口: その通りです。例えば、1から20までの20個の自然数の中で、素数は2、3、5、7、11、13、17、19の8個ですので、20分の8は素数といえます。一方、101から120までの数字で考えると、素数は101、103、107、109、113の5つになり、20分の5が素数といえます。この素数の割合を求めるのに、log(ログ)という数式が出てくるんですね。ある数xの周辺で素数である確率はざっくりlog x分の1であることが分かっているんですよ。
高橋: log、あったな、logって。
堀口: 例えば、log 10=2.3なので、log10分の1は、1/2.3=0.43です。これは、20分の8(=0.4)に近い数字になっています。また、log 110=4.7なので、log 110分の1は1/4.7=0.21で、これは、20分の5(=0.25)に近い数字になっていますね。こういうふうにlogが使われるんですけど、素数とlogは一見何の関係もないんです。だけど今まで自分が学んでいた素数の個数という世界と、なぜか知らないけどlogというものが出てきて、何か高校のときに学んだなと。こういうものが何か知らないけどつながっているわけですよ。ここで初めて数学的世界観の恐ろしさが見えるわけですよ。こういうのが数学には山ほどあります。とんでもなくある。
高橋: 答えは分かっても、それを証明するためにどうするか。証明するところの奥深さというやつですよね。
堀口: そうですね。証明するところの奥深さもあります。そういうもののとりこになって人生を棒に振るという人がたくさんいます(笑)。ところで、素数の割合に関する問題で、リーマン予想という有名なものがあります。証明したら100万ドルもらえるくらいの難問なんです、実は。
高橋: 何かちょっと、だんだんときめいてきた(笑)。
http://trendy.nikkeibp.co.jp/atcl/column/15/1063592/051200014/ 数学の起源は白人しかいなかった古代ギリシャ文明そして
タレスが証明の起源 白人のアレキサンダー三世が中東とインドを征服して
科学と数学の証明をもたらせた >>123
x=0.99999、、、(無限に続く)
10x=9.99999、、、(無限に続く)
10x-x=9x=9
∴x=1 >>127
x=0.99999、、、(無限に続く)
10x=9.99999、、、(無限に続く)
10x-x=9x=9.0000、、、(無限に続く)
∴x=1.0000、、、(無限に続く) >>129
もっと感動したのは(i)を見たときだがな 三平方の定理は中学生でもやるだろ
数式も美しいが、図形的な証明がこれまた美しい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/pita_proof.gif >>100
あれは逆に凄い
あんなシンプルな問題で
なおかつ不可避集合が有限なのに
整理され続けても未だに633個もある
典型的な組み合わせ論の問題とはいえ
あのシンプルな問題から
こんな複雑な不可避集合群が出てくるところが面白い
ちなみにまず解かれた五色あれば十分って証明は結構美しい
高校生でも理解可能 >>33
まさに物理学者崩れです(笑)
数学は美しい!
数学者は狂ってる!ただし褒め言葉
いずれも同意です アラビア数字を使っていたアラビア人は、流石だといつも感心します。 複素数なんてなんの役に立つんだ?と思っていたが、測量の計算をするときに非常に役立っていることを知って感心したことがある。 >>132
三平方の定理の証明が何十通りもあるのが面白い 数学は難しくなるほど、逆に「完備」とか「豊富」という情緒的な言葉が出てくるね。 きれいなのは分かるが、1+ 1 / nがそこら中に現れる形而上学的なことが分からん
性質が分かっても、なぜそこら中に現るか、おまえらはどう納得したんだ?
あの不完全性定理の限界以上に不思議だ >>18
高校教科書のコラムやらハッテンとか行った所によく書いてあるぞ。 >>27
理系には常識だし、
DQNは麻雀の点数計算で知っている
つまりそれをきれいと思わないのは文系馬鹿だけ おれが一番感動した定理はファルコンの定理だ
あんなの人類では証明されないと結論づけられたのに無名の学者が完璧に証明しちゃったからな
興味ある奴はたくさん本になってるから読んでみるといいぞ >>44
それそれ
そもそも1/3と0.333…は同じではないしね、あくまで近似値 >>48
仕事でなくても、
今後は個人でAI使いこなせるかどうかの格差社会になるよ
AIディバイドのインパクトはデジタルディバイドどころの騒ぎじゃない 0.333...なら1と同じだろ。途中で止まったら近似値だが。 数学の楽しさを知りたいなら数論、離散数学の簡単そうなのを読んでみるといい
コンピュータプログラミング、特にゲーム開発と絡めて遊んでみたいなら行列やニュートン力学あたり >>147
人間で言うLGBTみたいなものです
差別はやめましょう ごちゃごちゃしたモノを美しいとは思わないよな。
たとえば、ジャングルより京都の名寺の庭園のほうを
美しいと感じる人のほうが多いだろ。
だから、数学の場合も、奥深い広大な世界を
秩序だった簡潔な数式で1発表現できる点が
美しいと云われるゆえんの1つだと思うよ。
有名な数式に感動するのも、そういう事だわ。 >>143
そもそも日本での自称文系は理系科目が理解できないバカ、だからなw >>152
物理学も然りだな。
量子力学の粒子波動二重性や不確定性、固有値離散化などがすべて
HΨ=EΨ
の一式で語られる。 E=mc^2 が抜けてるんじゃね
物理で世界一有名、かつ簡潔な公式じゃろう >>156
>量子力学の粒子波動二重性や不確定性、固有値離散化などがすべて
HΨ=EΨ
の一式で語られる。 wwwwww
物理の素人丸出しだろ。こんな程度の低いこと書く奴初めて見た。 それはそうと、宇宙物理学者が言う
この宇宙が生まれる前は、空間もなく時間もない状態だった
この状態がどんな状態なのか、皆目見当がつかない >>158
程度が低いとか言ってる時点で素人丸出し >>152
>だから、数学の場合も、奥深い広大な世界を
>秩序だった簡潔な数式で1発表現できる点が
>美しいと云われるゆえんの1つだと思うよ。
言語よりもさらに抽象度の高い記号を駆使して表現するので
シンプルに説明できる、という幻想がある
まあ「説明」としてそうかもしれない
それだけだね >>160
程度が低いから低いんだろ
物理を知らない奴が他人に素人か笑わせるな。
俺は京大の理、同院で物理専攻だ。
お前物理やったことないだろ。 >>162
あちゃーこれだから京大は東大より下なんだよなぁ
人間的にも
どうしてみんなこうかねw >>163
俺が入った頃は東大と全く同じ難度だったが。馬鹿には分からんだろうな。 >>163
お前馬鹿だから分からないようだから教えてやるが
Hψ=Eψという式は離散スペクトルでも連続スペクトルでも成り立つ
式で固有値が離散的(束縛状態)な場合にだけ当てはまるものでもないし
不確定関係とも直接の関係などない。 >>143
255ってみてよしッと言う気持ちと何か不吉な感じがするのはスーファミ世代。 16世紀頃にお大昔は数学の試合があったそうな。
1体1の勝負でお互いが問題を出し合って競ったそうな。
問題を解くのが数学の全てではないだろうが、数学にはかつてのような決闘的な要素
があってもいいのではないか。或いは将棋のプロ棋士のようにA級とかB級1組とか
あるのもいい。こういう緊張の中から本当に美しさがまた発見されないだろうか。 どんな母集団を選んでも
その中に数学の得意なヤツと不得意なヤツを見つけることができる。
(適当) スポーツと同じで、面白さがわかるまでの基礎体力をつける
までが苦痛なんですけど… ちょうど256円!
と言って事務のお姉ちゃんに変な顔されたのは内緒。
でも、細菌の数学って美しいの?
微分方程式は解けないし、ここまでコンピュータが
発達したら、力技でやったほうが早い気もするし。
カオスたら複雑系たらいうものも、行き詰った数学の
目くらまし、リパッケージ版みたい。 最近、3本の剛体棒の振り子の動画を見て、カオス系ってすげーなと思った(小並感) オイラー、テーラー展開は高校でやらすべき。これないと三角関数やる意味がわからん 複雑系は、数学のためというより経済学、生態学のためだな >>133
すいません。物理工学使う数学素人ですが、
貴人のカキコした内容を理解するに読む書籍・文献ありますか?
わかりやすい文献あれば教えてください。
面白そうなので、読んでみたいです。
難しくて理解できないかもしれせんがw 4色問題の論文読めばいいじゃん。なんでも論文が一番分かりやすい。
文系ならともかく理系ならいけるでしょ。そんなに難しくない。 マクローリン展開でオイラーの公式を導くと感動するね ベクトル解析と逆フーリエ変換は便利だとは思ったけどな。 >>106
激しく同意
大学時代数学科で数学に苦しんだ俺が、大学卒業してから英語で同じこと読んだらすんなり頭に入ったわ >>23
あんな内容にチンタラ6年もかけるのが異常 誰がどう見ても数学より花の方が美しい
このロジックがとかこの定理がとか言ってる人間は
一種の奇形 花の美しさって子供でも分かる美しさだが
数字の美しさってのはある程度の知性がなければ理解できない
言わば高次のレベルの美しさ
マニアックといえばマニアック 花の美しさと数学の美しさは同じだよ
どちらもシンプルな法則によって成り立つもの 花の美しさの理由を知っているのが理系
花の美しさと数学の関係がわからないのが文系 >>181,>>182
大変アンガとございますm(__)m
最近、数学、おもしろくってハマっています。
受験数学とか、コマ大とか、問題説くのは、あんま興味ないんですが、
線形代数とか群論とか、数学の構造が鑑賞できるのはすんごいおもしろいです。
(コマ大数学番組とかたけしさん、偉大ですけど。)
全部DLさせてもらいました。
半年くらいかけて読解させて頂きます。
ほんと、ありがとうございます
(読解のご指導頂きたいくらいです)。 >>180
読み飛ばしていました。
元論文、以外と短くて内容把握しやすい事も多いですよねw
それの解説書の方が不要な文量が多くて、回りくどかったりしてw
でも、俺の様な素人には少し、背景と解説がないと、
意味が理解できない事も多いのでw >>196
この手のカキコうんざりなんですが、
数学のレスなんで、あなたにちょっと。
文系/理系って、数学的に完全反対な命題ですか?
あなたなら、この意味わかりますよね。
あなた、数学わかりますか?
あなた、本当に理系ですか?
あなた、教養とか文化を理解する知力ある市民ですか? 256が美しいと思うのは工学系
数学者なら素数を愛する >>152
「京都の名寺の庭園」はすべて非対称
おい、これってごちゃごちゃしてる 自然界に於いて〜シンメトリーな庭園なんてありえない >>211
構成要素がシンメトリーであればいい
右に池があれば左にも池を作る 俺、理学部で地学だったから、いつも登山して山でコーヒー飲んだり
下山してバーベキューしたりとアウトドア系みたいな感じで
女の子も鉱物系というか宝石好きでやってきたみたいな子が多く
宇宙の話、地球誕生からの出来事みたいな話で女の子と仲良く出来たが
同じ理学部でも数学科の連中だけは圧倒的に頭も身なりもオカシイ奴が多かった >>1
数学を美化する話は、ほぼ割り切れない小数点の話だ >>1
1を3で割ると0.3333・・・ですよね
↑
違いますよ。1/3ですよ。
だから0.3333・・・を3倍すると1ですよね
↑
違いますよ。0.9999・・・ですよ
これは略式表現の結果、そう感じるだけであり、詐欺的な文面なんです。 大凡の凡人さんは人間♀にチヤホヤされたいのです
出来る数学者は神様に愛されたい >>209
有限単純群の分類ですら非対称性は出てくるので
庭に非対称性が出てくるのは不思議ではない 真
善
美
このピーク目指します
ルートは違いますが
サミットは同じです 「8」のくびれ具合とかたまんねえぜ、おもわず下の穴にちんこ突っ込みたくなるぐらいにな! ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています