>>片目のガースの起動能力でブラックロータスを選んだけどもみ消しで打ち消された
まずこれが無理、対象でもモードでもないため起動した段階で宣言なんぞしません

＞また石成エンジンの起動能力コピーで選んだ場合は同じものを選べますか？
無理
ガースの起動型能力の解決時にはコピーの方で選んだものは「既に選ばれた名前」である
(起動型能力のコピーの発生源はコピー元と同じである)

戦場を離れて出しなおしたならそれは"別の"ガースである、名前の管理情報はリセットされる
灯の分身や二科目専攻などでコピーした場合、それぞれのガースの名前の管理情報は個別に管理される

「名前の選択は強制」「唱えることを選ばなくてもカウントされる」ため
たとえばガースの起動に対応してザルファーの魔道士、テフェリーを出されたなら1枠潰されることになる