ニュアンス的に
希望があって、やり続けよう！はLet's Go On で
失敗が続いたけどそれでもやり続けようという時はLet's Going On と使ってるみたい。
正確なニュアンスは合衆国の人に詳しく聞かないと分からないけど
普段ね会話ではそう使ってるよ