rule of 3　で近似できる証明

α=1-0.95
(1-pU)^n=α
n*log(1-pU)=log(α) (式1)
テイラー展開
log(1+x) = x -x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 +....
x=-pUとおいて
log(1-pU)= -pU -pU^2/2 -pU^3/3 -pU^4/4 - pU^5/5 -....
pU≒0なら log(1-pU)≒-pU
(式1)に代入すると
n*(-pU)=log(α)
期待値n*pU = - log(α)
> -log(0.05)
[1] 2.995732