サイクルの長さが3になる場合の初期値を求める。

いま長さ3のサイクルに含まれる3つの数のうちで
値が最も小さいものをx_1とする。
するとx_1は偶数ではないことは明らかである。
よってx_1は奇数であるから、コラッツの操作で次に
得られるサイクルの2番目の数はx_2=3x_1+1である。
(x_1<x_2)
するとx_2は偶数である。よってコラッツ操作で
得られるサイクルの3番目の数はx_3=(3x_1+1)/2になる。
この値x_3はx_1よりも大きい。
なぜならば(3x_1+1)/2-x_1=(x_1+1)/2 > 0であるから。
持ちろんx_3はx_2よりも小さい。
よって(x_1 < x_3 < x_2)
いま我々はサイクルの長さが3になる数列を探して
いるのであるからこのx_3にコラッツの操作を施すと、
それがx_1に一致する。ではx_3は偶数か奇数か？
それはx_1が3つの数のうちで最小であると仮定
したことと、x_1<x_3であることから、x_3は
偶数であるとしなければならない。もしも奇数ならば
x_3にコラッツの操作を施すとx_3よりも大きな
値になるからである。
よって、x_1 = x_3 / 2 = (3x_1+1) / 4 である。
この1元単独線型方程式を解いてみよう。
両辺を4倍すると 4x_1 = 3x_1 + 1 である。
両辺から3x_1 をひいてみよう、すると
x_1 = 1 になる。
　よって、長さ3のサイクルであって、
それに含まれる最小の数x_1は1であり、
1−＞4−＞2−＞1となる。それ以外には
長さ3のサイクルは存在しない。