【数学の未解決問題】「コラッツ予想」懸賞金1億2千万円 [朝一から閉店までφ★]

**朝一から閉店までφ ★** · 2021/07/12(月) 14:58:44.15

教育・受験その他 2021.7.7 Wed 19:15

　音圧爆上げくんは2021年7月7日、数学の未解決問題「コラッツ予想」の真偽を明らかにした人に1億2,000万円を支払うと発表した。
コラッツ予想は、1937年にローター・コラッツが提示して以来、真偽がわからず84年間未解決のままだという。

　コラッツ予想は、任意の正の整数に対して「偶数の場合は2で割る、奇数の場合は3倍して1を足す」という操作を繰り返すと、最終的に必ず1になるという予想。
1937年にローター・コラッツが提示して以来、84年間にわたって真偽がわからず未解決のままになっている。

　　　　　　=====　後略　=====
全文は下記URLで

《工藤めぐみ》

https://resemom.jp/article/2021/07/07/62628.html

**名無しのひみつ** · 2021/10/02(土) 06:58:33.07

27とかめちゃくちゃかかる

**名無しのひみつ** · 2021/10/02(土) 14:19:04.37

>>415

k=3→{11011}
R={10111101101000001001}

R1=10111101101000001001.0.111

G1=3^3{R1'+1}-1
=11011*10111101101000001001.0-1=

+101111011010000010011*10000
+0101111011010000010011*1000
+000101111011010000010011*10
+0000101111011010000010011*1-1
=1113333342231110110231120
=1113333342231110111040000
=1121414142311111000000000
=2012111111111111000000000
=10100111111111111000000000

あるていど惜しいけどZの途中の計算がミスってそうですね

G2=3^3{R2'+1}-1
=110100010011*11011-1=

+110100010011*10000
+0110100010011*1000
+000110100010011*10
+0000110100010011*1-1
=1212311110231120

=2121111111111120
=2210000000000000
これはかなり惜しくなった

G3=3^3{R3'+1}-1
=111101101000010011*11011-1=

+111101101000010011*10000
+0111101101000010011*1000
+000111101101000010011*10
+0000111101101000010011*1-1
=1223334223111110231120
=1231431023111111111120
=2301111111111111111120
=11101111111111111111120
だいぶ惜しい

**名無しのひみつ** · 2021/10/02(土) 15:03:44.27

>>417
ほんまかいな
27→A1={11011}
A1'={110}
k1=2

G1=3^k*{A1'+1}-1
=3^2*{111}-1
=1001*111-1
=111110

A2=G1/2=11111
k2=5

G2=3^5*1-1=11110010
A3=G2/2=1111001

G4=A3*3+1=
+1111001*10
+01111001*1+1
=12221012
=21101100

A4=G4/2^2=1011011

G5=3^2*10111-1=
+10111*1000
+00010111*1-1
=10121110
=11001110

A5=G5/2^1=1100111

G6=3^3{1101}-1=
+11011*1001
+00011011*1-1
=11022010
=11110010

A6=G6/2^1=1111001
G7=1111001*11+1=
+1111001*10
+01111001*1+1
=12221012
=101101100

たしかになげぇ、、、

**名無しのひみつ** · 2021/10/02(土) 20:48:06.32

>>417
27が長いとしたら
81も長いのだろうか？

**名無しのひみつ** · 2021/10/02(土) 21:08:41.41

>>418

G4=3^3{R4'+1}-1
=10111101101000010011*11011-1=

+10111101101000010011*10000
+010111101101000010011*1000
+00010111101101000010011*10
+000010111101101000010011*1-1
=111323334223111110231120
=112123342223111111111120
=112124222223111111111120
=112220222223111111111120
=121110222223111111111120
=201111111111111111111120
ますます惜しい

G5=3^3{R5'+1}-1
=10010111101101000010011*11011-1=

+10010111101101000010011*10000
+010010111101101000010011*1000
+00010010111101101000010011*10
+000010010111101101000010011*1-1
=110221333334223111110231120
=111101422222223111111111120
=111111022222223111111111120
=111111111111111111111111120
できた
=1000000000000000000000000000

繰返しはどうなっとるん？
R5'=10010111101101000010010

**名無しのひみつ** · 2021/10/03(日) 00:18:57.06

つまり

G=3^k{R+1}-1=2^n
これを求めてたわけか

R+1=(2^n+1)/3^k
これの整数解

ループそのものと
どういう関係になっとるの

**名無しのひみつ** · 2021/10/03(日) 05:47:47.04

幾何的な意味って何かあるかな

**名無しのひみつ** · 2021/10/03(日) 10:01:01.66

ループによる繰返しがひとつしかないから
中心のループとその枝で
ツリーのようには表現できるかと思いますが
そういう話ではないですよね？

逆方向から発散させる方で
多くの線を引いた後で
順方向でその線をなぞると
選択されるラインと選択されなかったラインが
見えるようになるというのもありますが

**名無しのひみつ** · 2021/10/03(日) 17:29:25.39

>>422
３の倍数だが

>>220
>>238

辺りと展開で
隠れている数を呼び起こせるのでは無かろうか

**名無しのひみつ** · 2021/10/03(日) 19:16:10.82

>>422

> G=3^k{R+1}-1=2^n
> これを求めてたわけか

> R+1=(2^n+1)/3^k
> これの整数解

両辺に2^n-1を掛けて

(2^n-1)(R+1)=(2^n-1)(2^n+1)/3^k=(2^2n-1)/3^k

として

(2^4n-1)/3^k=(2^n-1)(2^2n+1)/3^k
(2^8n-1)/3^k=(2^n-1)(2^2n+1)(2^4n+1)/3^k

(2^16n-1)/3^k=(2^n-1)(2^2n+1)(2^4n+1)(2^8n+1)/3^k

を用意できるから必ず割りきれるのか

ふーむ、なんか関係あるんじゃろうか

**名無しのひみつ** · 2021/10/03(日) 19:53:49.63

>>423

ネットで公開されてる中で
奇数を積に展開してるサイトがあるのですが
それは図形的な意味があるかもしれません

7=(1-1/22)(1-1/34)(1-1/52)(1-1/40)(1-1/16)
続き*2^(1+1+2+3+4)/3^5

7はこんな感じで途中の数を利用して展開されてます

**名無しのひみつ** · 2021/10/03(日) 21:06:58.24

>>420
少ないらしい
あい変わらずつえぇ

3^n
27>111
81>22
243>96
729>33

2^n-1
31>105
63>107
127>46
255>47
511>61

**名無しのひみつ** · 2021/10/03(日) 21:28:55.29

すみません、良くない記述でした

適当なJavaScriptが無いか探してましたが
良いのは無いですね

複素数の拡張は見かけました
ループが手裏剣(14点ループ)になるそうです

元値(a+bi)
奇数的→(2+i)(a+bi)+(b+ai)
偶数的→/(1+i)

2+iが最初の奇数
1+iは偶数の2に相当
と書いてありました

**名無しのひみつ** · 2021/10/05(火) 02:20:41.87

>>220

> 1,1=11*1
> 10,01=11*11
> 100,001=11*1011
> 1000,0001=11*101011

2^n-1=1111…1111(n桁)
2^n+1=10000…0001(n+1桁)

n偶数
2^n-1=11*0101…0101

n奇数
2^n+1=11*1010…1011

n=9
=10101011*11=
+10101011*10
+010101011*1
=111111121

3の倍数がほぼ確定(nが2以上)するのでは？
逆にどちらかしか3の倍数にならない？

と思ったが
2^2n-1=4^n-1
だから、結局のとこ展開すると3出てくるな

なにかに関わってくるのかな？

**名無しのひみつ** · 2021/10/05(火) 22:53:56.99

>>353

スッゴい今更感だが
Wikipediaのパリティシーケンスの記述とめちゃ近いな

n=a*2^k+b

と二つに分割してk回のステップで
aが一桁目に降りてくると
3^cされる

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 06:19:22.35

>>428

27に較べて81のときが
驚異的にステップ数が少ない理由は
おそらくnが奇数

> 3^n
> 27=3^3> 111
> 81=3^4> 22
> 243=3^5> 96
> 729=3^6> 33
適当にみるとn=8のときに
ステップ数が44より上か下かは興味がある

2^nに関しては別の機構ですね
こっちもn乗が偶数のとき
変換後の値が小さくなりやすいという特徴はありますが

> 2^n-1
> 31> 105
> 63> 107
> 127> 46
> 255> 47
> 511> 61

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 06:32:13.50

>>431

どうせなら
p0=a*2^m2+b*3^m3
の形に拡張して調べてみたいかな

そもそもの奇数pには
どのくらいの自由度があるんじゃろ

次のステップで
p1=a*2^(m2-1)+b/2*3^(m3+1)+1/2

ただの２進数表記の方が
操作に関する情報量多いな

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 13:03:03.96

10101→16+4+1=21=3*7
10101=11*111

1010101→64+21=85
101010101→256+85=341
10101010101→1024+341=1365

10101010101=
10101*1000,0001=
10101*1011*11=
111*1011*11^2

+101011*10
+0101011*1
=1111121
=1000,0001

ふーむ、そういえば2進数空間では
桁を全て足すと3の倍数であるか判定できるというような、
一般的なチェックサム方式は無いのか

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 18:29:29.48

>>416
そんなこともなくて
過去に通ったルートに入ったら
その時点で終了判定できますよ

相当に短くなると思いますね

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 18:34:16.15

このスレでいちばん興味深い
一般化された性質は
>>400のこれかも知れないですね

ぐぐったのを見た範囲では
解答らしきものは無かったですが
同じような性質に言及してるものはありました

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 19:52:13.25

>>436
奇数から始めた列の途中で3の倍数にならないのは当たり前
3n+1は3の倍数ではないし、2で割っても3の倍数でないものは3の倍数でないものを2で割っても3の倍数にならない

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 19:53:05.79

>>437
2で割っても3の倍数でないものはが被った

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 20:05:31.72

その説明では何を言ってるか全然分からない>>407らしいよ

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 20:30:07.62

奇数を3倍して1足すと必ず偶数になるな

**名無しのひみつ** · 2021/10/06(水) 21:38:01.50

>>437
ありがとうございます
やっと理解できました

すると2nと3nはそもそも確認する必要が無いわけか、、、

一気に減った気がします

[000]{00}|00|×
[001]{01}|01|○
[010]{02}|02|×
[011]{10}|03|×
[100]{11}|04|×
[101]{12}|05|○
[110]{20}|10|×

二つしか残らない

**名無しのひみつ** · 2021/10/07(木) 02:34:53.75

>>434

10101010101=
10101*1000,0001=
10101*101011*11=
111*101011*11^2

直し忘れてた

1001+111=10000
3^2+7=2^4

101+11=1000
5+3=2^3

10001+1111=100000
16+1+15=2^5
(2^4+1)+(2^4-1)=2^5

10001=1001+111+1→3^2+2^3

**名無しのひみつ** · 2021/10/08(金) 00:24:16.09

>>422

R+1=(2^n+1)/3^k
k=2のとき

最小のn0とR0を求める
順次増やしていく

(R0+1)*1001=1001=1
R0=0,n0=3

(R+1)*1001
=100001→2^(n=5)+1=33
=11*101011

(R+1)*1001
=1000001→2^(n=6)+1=65

(R+1)*1001
=10000001→2^(n=7)+1=129=3*43

(R+1)*1001
=100000001→2^(n=8)+1=257

(R1+1)*1001
=1000000001→2^(n=9)+1=513=3*171=3^2*57=3^3*19
=10101011*11=
+10101011*10
+010101011*1
=111111121

(R1+1)=3*19→11*10011
R1+1=111001
R1=111000

ここまでは順調

**名無しのひみつ** · 2021/10/08(金) 01:18:21.45

>>443

(R+1)*1001=

2^(n=10)+1=1025→10000000001
2^(n=11)+1=2049→100000000001
=3^1*683
2^(n=12)+1=4097→1000000000001
2^(n=13)+1=8193→10000000000001
=3^1*2731
2^(n=14)+1=16385→100000000000001

2^(n=15)+1=32769→1000000000000001
=3^2*3641

(R2+1)=3641

1000,000,000,000,001
=1000000000000001
=10101010101011*11

10101=11*111=
+111*10
+0111*1
=1221=2101=10101

/3^1
=10101010101011
+10101000000000
+00000010101000
+00000000000011
=
+111000000000*11
+000000111000*11
+000000000001*11
/3^1
=111000111001

ほほぅ、確かに出た

(R2+1)=111000111001
R2=111000111000
n2=15

**名無しのひみつ** · 2021/10/08(金) 04:04:42.67

>>443

n0=03,R0=0
n1=09=06+3,R1=111000
n2=15=12+3,R2=111000111000

11*0011=1001
11*0111=10101
11*1001=11011
11*1111=101111

n3=21になる気がするが
6は2進数と3進数が交わるからなのかな？

**名無しのひみつ** · 2021/10/08(金) 22:56:12.40

>>445

R2=111000111000

繰返しにする操作は
R2=111000*1000001=R1*(2^6+1)
つまり6は最小のループの長さから発生していると思われる

R3=R1*1000001000001となるか
R3=R2*1000001になるか
どっちなんじゃろう？

上の並びは今まで意識しなかった形

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 05:49:54.66

>>444

(R+1)*9=2^(n=21)+1=9*233017
R=233016=29127*2^3
とりあえず問題なく解でした
途中があるかはわからないけど

いちおうR3とすると
R3=111000111000111000

なるほど上のパターンでした

すると
R3=111000*1000001000001
R4=111000*1000001000001000001

こうなっていくわけか

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 06:41:19.98

>>422

R+1=(2^n+1)/3^k
k=3のとき

> 最小のn0とR0を求める
> 順次増やしていく

(R0+1)*3^3= 2^9+1=3^3*19
(R0+1)=19→10011

R0(k=3)=10010

というか書いていて解りましたが
これはかなりシンプル

だけど数値が大きくなりすぎたので
もはやエクセルでは対応できないですね

(R1+1)*3^3=2^27+1=3^4*1657009
(R1+1)=3^1*1657009

(R1+1)
→11*110010100100010110001=
2桁×21桁
+110010100100010110001*10
+0110010100100010110001*1
=1210111101100111210011
=2010111101101000010011
=10010111101101000010011

R1(k=3)=10010111101101000010010

さて前のとあっとるのかな？

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 06:55:33.61

>>448
合っているようです

n0=9
R0(k=3)=10010

n0=27
R1(k=3)
=10010111101101000010010

R5'
=10010111101101000010010

とりあえず高速化したコラッツ処理プログラムは作成できそう

いろいろと解ってきたから
数表も作成してみたい
あとスマホで入力するのはそろそろしんどくなってきた

もうちょっと２進数空間中の３進数の挙動が解ると
改良して計算できそうなんだけどな

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 08:38:09.93

３倍して１たすの３と１を５と２とか変えてみて
１に収束するか発散ループかの法則性を探らないとわからんな

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 11:44:25.03

>>449
書き間違いを修正
桁数に付いて考察

> n0=9
> R0(k=3)=10010
⇒5桁

> n1=27
> R1(k=3)
> =10010111101101000010010
⇒23桁

n1-n0=18
R1桁-R0桁=23-5=18

これは偶然の一致かそれとも、、、

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 11:58:18.92

>>423
それっぽいモノを見つけたので
そのうち調べてみたいと思います

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 13:33:54.34

>>430

4^n-1=(4-1){4^(n-1)+4^(n-2)+…+4+1}

4^n-1=3*{2^2(n-1)+2^(n-2)+…+2^2+2^0}

つまり２進数空間のひとつ飛ばしだが
4進数空間での記載は

例えば
=1000
=0400
=0340
=0334
=0333+1

堂々と3の倍数を判定できる
おそらくこれが一番楽とみた

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 13:51:54.36

G=3^k{R+1}-1=2^n
R+1=(2^n+1)/3^k
> > これの整数解

> 両辺に2^n-1を掛けて
(2^n-1)(R+1)3^k=(2^n-1)(2^n+1)/3^k=(2^2n-1)

3^k(R+1)(2^n-1)=(4^n-1)
この式自体が非常に興味深い

そのうちベクトル化して
行列にしてみるのもありだな

つまり
3^k(R+1)E_n=E_2n

幾つかの漸化式を造って
帰納法的に仕組みを作成できる

とりあえず3の倍数判定もできるようになった
むちゃくちゃ進展しおったな

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 14:10:57.92

>>454

ちなみにここらへんのを成立させる
必要条件は

R+1=(2^n+1)/3^k

2^n+1が3^kとなる約数をもつこと
これはすっげぇ単純なのでおそらく正しい

そうすれば全てのkに対してRを定義できる

まだ定義されて無い話は
2進数の桁数とRの関係性について

これが証明できれば更にかなり拡張できるようになる

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 14:28:17.48

>>454

この式にコラッツ操作を行えば

3^k(R+1)E_n=E_2n⇒3^(2n)-1

よって
3^k(R+1)={3^(2n)-1}/{2^n-1}

となる解も存在できるはず
かなり対称性ありそうです

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 14:33:17.85

トリップつけとく

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 15:13:57.52

>>456

これはそのまま

1000001*111111
こんなのが出てくるだけか

当然だけどこれで正しいことも証明されますね

ループの桁数と
1000001000001000001
こういうのはどんな数の秘密が隠されてるんだろうか？

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 16:16:47.58

おそらくループの桁数と2進数の関係は
3^kを用いて2進数を構造化できる
ということだろう

初期値自体をRを用いて構造化すると
コラッツ操作に対する応答を予想できるだろうか？

**名無しのひみつ** · 2021/10/09(土) 16:22:08.44

チェビシェフの定理：
　「整数ｘと2ｘの間には必ず素数が存在する。」

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 16:39:34.44

ところで表記方法で略号が

02進法0b
08進法0o
10進法0d
16進法0x

こんな感じになってそうだけど
3進法と4進法はどんな表記法になるんでしょうか？

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 16:49:36.51

ちなみにこれは推測だけど
全ての操作を4進数空間で行えば
操作や作業が簡単になると予想してる

２進数からの変換は簡単で

R1(k=2)=111000
R1(k=2)=333000

やはりスッキリと3の倍数であることが解る

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 16:52:15.98

>>462
いきなり間違ったww
そして余計なことまで言った

R1(k=2)=111000
⇒
R1(k=2)=320

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 17:03:21.74

>>451

R1(k=3)
=010010111101101000010010
=010002030301020200010002
24桁⇒12桁

4進数
R1(k=3) =102331220102

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 17:10:55.59

>>349

２進数
3^0→1
3^1→11
3^2→1001
3^3→11011
3^4→1010001
3^5→11110011
3^6→1011011001
3^7→100010001011
3^8→1100110100001
3^9→100110011100011

3^10→1110011010101001
3^11→101011001111111011
3^12→10000001101111110001
3^13→110000101001111010011

**567** ◆8suAF95EeX9l · 2021/10/09(土) 17:24:40.95

4進数
3^0→1
3^1→3
3^2→21
3^3→123
011011
010203

3^4→1101
3^5→3303
3^6→23121
1011011001
0203010201

3^7→202023
100010001011
020002000203

3^8→1212201
01100110100001
01020102020001

3^9→10303203
0100110011100011
0100030003020003

3^10→32122221
1110011010101001
0302010202020201

3^11→223033323
101011001111111011
020203000303030203

3^12→2001233301
10000001101111110001
02000001020303030001

3^13→12011033103
0110000101001111010011
0102000101000303010003

とりあえず特別な形はみえてこない

**名無しのひみつ** · 2021/10/10(日) 08:52:13.42

>>451

R(k=2)=111000
n0=03,00桁R0=0
n1=09,06桁R1=111000
n2=15,12桁R2=111000111000
最小ループR⇒6桁、シフト6桁

R(k=3)=111101101000010010
n0=09,05桁R0=10010
n1=27,23桁R1=10010111101101000010010
最小ループR⇒18桁、シフト18桁

推測が正しいとすれば
n2=45
つまり
2^45+1は3^3を約数にもつ

4進数空間で記載すると幾つかの問題点がある
まずコラッツ操作に対する応答がシンプルに見えない

次にR0(k=3)が5桁なので2進数→4進数化で継ぎ目にあたる
逆にシフト桁が偶数なのはなにかに必然性ありそうな気はする

あと推測しておくと
R0(k=4)は偶数桁(0かどうかには興味がある)
R0(k=5)は奇数桁
かと思います

構造化っていうのはざっくりいえば
60年でカレンダーが一周する感じ

あと2進数→3進数の間には継ぎ目があって
これは暦が朔日に戻るか
ゼロ日で戻ったとするかみたいな話
これが1を足したり引いたりする理由です