福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレβ

[1 名無電力１４００１ 2020/03/22(日) 12:55:20.89]

週刊◇福島廃炉
α=1486207162

[437 名無電力１４００１ 2021/07/04(日) 17:36:20.59]

実は多項式形式は行列形式に変換される。逆は必ずしも言えない。
より正確には高階微分方程式は連立一次微分方程式に変換される。
変換後の連立微分方程式の係数行列を可制御正準形と言う。

示唆的な説明だけ、xdd + a xd + b x = u という二階微分方程式で
x1=x、x2=xdとしてみる。するとd/dt(x1) = x2
d/dt(x2) = - b x1 - a x2 - u。連立一階微分方程式である。

この意味で変換されてて行列と多項式は同じ問題になってる。


ボード線図、ナイキスト線図、ラウス判定法。
制御問題は振動の抑制が主要な一つの役割である。そのため
以下s = jω と代入したものを使う。jは虚数単位。ωは周波数。
考察対象は伝達関数G(jω)

横軸にωを0から∞まで。縦軸にG(jω)の絶対値、また偏角を描いた
２つのグラフをボード線図と言う。

複素数平面上において、ωが0から∞まで増大させるときにG(jω)
の軌跡を描いたものをナイキスト線図と言う。

Gの分母多項式の根λを用いて、e^(λt)の時間発展があるのだった。
n次多項式のn個のλのうち、一つでも実部が正だと振幅が増えて行ってしまう。
多項式に対し、全ての根の実部が負であることを判定する処方が
ラウスの判定法というもの。手続きはユークリッド互除法などに似ている。

[438 名無電力１４００１ 2021/07/04(日) 17:38:15.30]

振動を扱う問題と位相の遅れ、またPID制御器。
s = jωとして扱われることが多いのだった。ωで表すとフーリエ変換
の形になっている。但しラプラスは実時間のtを積分変換対象とするため、
過去を不問にするために、積分の下端が-∞でなく0のものを使う。

のちに離散tを扱うz変換というもの、Gの実部と虚部を交換する
ヒルベルト変換というものがあって、調べたい人は学ぶといいと思う。
デジタル処理するときには、ラプラスではなくz変換にして
すると微分ではなく差分の違った数学が現れて来る。

さて振動問題では、sは純虚数に近い。
一般制御問題ではsはそれでも色々な値を取るが、特に交流電気回路
に話を限定すると、分母は1 + T s (T>0)という形のみになる。

1+Tsはsが純虚数なら複素平面上の第一象限の数である。
分母に来ると第四象限の数である。
y = G u として、入力uにこの数がGとしてかかると、第四象限の数は
偏角がマイナスなのだから、位相が遅れるという現象になる。

多くの制御問題で、分母のみが複雑で、類似の状況が現れるため
制御器を通すごとに、振動が少しそこで止まってから出て来るような
位相の遅れが発生する。

ここにPID (proportional-integral-derivative、比例-積分-微分)
という考え方が出て来る。
システムは微分方程式で微分だらけで、微分はおおよそ上記の現象を
発生させる。ならば特に積分器を設置して、積分器は逆の性質を持つ
ので位相を進められる。

PDで問題を解き、Iで位相の遅れを取り返すものがPID制御器である。

[439 名無電力１４００１ 2021/07/04(日) 17:40:19.99]

ループとフィードバック。制御器をPとCの計2つ用意する。
y = P u ならば単純調整な操作である。
yを入力の場所に戻してuから引いてやる。

引くという言葉にしたのは誘導制御で、目標からの偏差をゼロ化
していく使われ方が多いからである。

特にその途中にCという操作もしよう。
出力yから入力用に戻すときには、何か量が減るということはない。
電流ではないので。情報のみを取って戻れる。

P(s)の入力は u(s) - C(s) y(s)
式として、y(s) = P(s) [u(s) - C(s) y(s)]。これが系を記述している。

yの項、uの項に分けた上で、分数式を求め
W(s) = y(s)/u(s) = P(s) / [1 + P(s) C(s)]
を閉ループ伝達関数と言う。またこの操作をフィードバックと言う。

フィードバック無しは定形調整だけの時。
フィードバック有りは、さらに途中に観測値の入力も設けて
状況情報を取得して目標値に収束させていく時に使う。

その時、上のW式のように制御器自身のちょっとした分数式になる。
このP/(1+PC)を複素平面上の実と虚の等高線として書いて
P(jω)からW(jω)を各ωごとに計算尺値のように取得できるように
したグラフをニコルス線図と言う。

その他、G(jω)のωを動かした時の、絶対値の最大値をH∞ノルムと呼ぶ。
システムの堅牢性を設計する時の概念である。

[440 名無電力１４００１ 2021/07/11(日) 17:16:15.80]

場の量子論のくりこみを説明してみる。
この書き込みのために先週数冊のパラ読みして総合性では劣ってない説明と思う。

�@量子力学ではハミルトニアンで時間発展させるのに、経路積分の場の量子論では
ラグランジアン密度を用いて始状態から終状態に連絡するのはなぜだろう
�A微分散乱断面積が、S行列遷移振幅から求まる仕組み
�BS行列遷移振幅が、T積グリーン関数から求まる仕組み
�CT積グリーン関数が <O e^iL>/<e^iL> の形の期待値のグラフ計算から求まる仕組み

�D数個のグラフを用いて元の理論の裸の係数を無限大値を許容して調整すると
他の全部のグラフの無限大発散が解消されている仕組み
�E調整された後のグラフは外線運動量に依存する関数で大統一も予想されること
�Fゲージ理論ではなくひも理論を崩した相互作用でのくりこみ群の様子
�Gひも理論やゲージ理論の無仮定でくりこみ現象も導く数値計算、数理的なこと

今日は途中の適当な所まで。
�Gは野心的で確率量子化、超準解析、経路積分の測度論、ゲージ群の無限次元リー群化、
ゲージ対称性の集合関数としての商モジュライ多様体記述、軸性量子異常、
拘束系のゴースト量子化の確率理論版、佐藤超関数論、級数など自身の繰り込み、
くりこみコホモロジー、ホログラフィー対称性構成、真空の弾性理論、
ローレンツ対称性の演繹、非可積分系の極としての質量、インフラトン、
超音速現象の取込み、相転移の色々、微分幾何学に被せる代数幾何学、
共形からの摂動、作用素理論などの数学的小道具をフル投入した上で、
真摯に結果を観察する計算処理に徹すると何か出来そう。

[441 名無電力１４００１ 2021/07/11(日) 17:19:09.17]

�A�B�C微分断面積←遷移振幅←グリーン関数←<O>/<>型期待値
はファインマングラフから実際の観測量につなげる論理の流れ。
矢印は左側から散乱理論、LSZ公式、ウィック公式。

最右の<O>/<>が連結ファインマングラフの和、に分解計算されるものである。

実際の観測量が論理的にも優越と見る方がわかりいいと思う。
上の４つの並び←←←では、左が基本で右ではない。
少なくとも初心者視点の実在論ではファインマングラフを高く位置づけない。

ファインマングラフは現実現象とは無関係な、グラフを用いた計算法と言える。
グラフを用いた計算法というのは数学には他にもあると思う。
例としてはリー環のヤング図。素数論にもグラフ化あるんじゃないかな。

計算法なのに現実粒子を表しているように思える雰囲気は確かにある。
ガウスの複素数やクォーク模型のように元々は数学的な整理の計算法のはずが、
未来には本物の現実とされるのかもしれない。
でも今は単なる計算法なので高く価値を置かないのが妥当。

もし実在物とみなされるようになるとすると、
グラフとはヒルベルト空間や確率過程空間上のなになにである、と直接導入され
確率過程の虚時間伊藤積分が量子化と本質が同一の数理を表していたり
量子化の構造から補助場の全体系が演繹されたり
それはまだどこにもない理論が現れると思うけどね。理論家の課題。

[442 名無電力１４００１ 2021/07/11(日) 17:22:06.97]

�@経路積分の時間発展がラグランジアン使用の物になる理由は、
正準変数を交互に使う計算法なので、途中にpの完全系を挿入し、
<x|p> <p|x(-1)> = e^[i p (x - x(-1))]、
時間間隔で割って掛けるような整理で、本来的e^-iHt時間発展と併せ
p xdot - H0 のルジャンドル変換の形態となるため。

時間を離散的に進めその添字をnとする。間隔をτとする。
<x_n| e^(-iHτ) |x_(n-1)> この時間発展算においてラグランジアンが
登場することを確認できればよい。nはほとんど無視が望ましい。

= <x_n| e^(-iHτ) (∫dp_n |p_n> <p_n|) |x_(n-1)>

= ∫dp_n e^(-iH0τ) <x_n|p_n> <p_n|x_(n-1)>

= ∫dp_n e^(-iH0τ) e^(i p_n x_n)/√(2π) e^(-i p_n x_(n-1))/√(2π)

= ∫dp_n/(2π) e^i[p_n (x_n - x_(n-1))/τ - H0]τ

= ∫dp_n/(2π) e^iL0τ

Hは演算子としてのハミルトニアン
H0とL0は古典実数になったハミルトニアンとラグランジアン。
<x|p> = e^(i p x)/√(2π) は基本フーリエ変換。

経路積分は時間をどこまでも細かく区切って∫|x><x|dxと∫|p><p|dp
の完全系を各時刻ごとに非常に沢山挿入することで、
<b|への|a>からの遷移振幅を見積もる手法で、上記ではそれを計算すると
∫dp e^iLτ の時間的連なりになっていることがわかったのである。

[443 名無電力１４００１ 2021/07/18(日) 17:36:58.49]

素粒子物理の骨組は書込７回で片付く程度の分量である。
前回が１。量的にそう理解しといて。
本日はゲージ理論のくりこみ群、前回の�D�Eを語る。
来週は超弦工学を予告。先の物も敬遠せず万遍無くトピックを拾って来る。
その次は余所行って流体か。第二音波は別名熱音波。機械の熱流動工学とつなげたい。
この分野から一番身近にパワー物として見える現象が原子核である。
化学を志す者が原子構造を学ぶように一つ下の基礎構造として学ばねばならない。

正準変数が交互になる経路積分ではラグランジアンが基本量になった。
そのため一般量子力学の先の場の量子力学では出発点を再取り直しして
ラグランジアンから始める。
また、ともかくもファインマングラフの計算がその世界の計算法としてあり
そこから３段階の手続きで実験との比較予測を出せること、
この筋書も受容されたと思う。
ラグランジアンはローレンツスカラー、一方のハミルトニアンはベクトルの１成分
なので前者が基本と判明したのは望まれる所である。

ファインマングラフは<e^iL>という、量子力学的なブラケット値の
より詳しい評価である。右>は始状態、左<は終状態。その中間に
ラグランジアンが全空間に分布しているようなところを走り抜けて遷移している
その率を見積もるのである。

L = (p^2 + m^2) φ^2 + λφ^4 のようなの
L = ψ γ (p + m + g A) ψ + (Ak,j - Aj,k + g A A)^2 のようなの
が代表として使われる。
これを解体して指数の肩から降ろして、遷移の評価グラフを作る。
上のLがおもちゃのλφ^4理論、下のLが標準理論である。

[444 名無電力１４００１ 2021/07/18(日) 17:41:16.43]

pは運動量、i∂とも書く。平面波に対しては両表記同じ意味を持つ。
細かい周期で位相が回り、ほとんどの所で粒子は物質波の進行として平面波に
みなされるのでこれでよい。mは運動量。
ψは電子などレプトン。ψは2成分か4成分の複素数なので、
右のψを縦の、左のψを横のベクトルとして、γをそこを繋げて行ける
行列型係数として(p + g A)量と合体して、ψAψの形式を構成している。
Aはゲージ場。括弧の中は∂Ak/∂xjのような意味。
φはスカラー場。λはφ用の相互作用係数。

このLの構成するグラフを評価することが素粒子物理のほとんど全てである。
他の話題は現れた注目現象を特別考究しているようなもの。全部合わせても７回で片付く。
下のLは実際に標準理論であり、ψに世代が入り、Aが3系統現れ、
ψがベクトル、Aがテンソルとするような自由度がゲージ理論の種類ごとに入り
mが世代行列、g A A項が幾何学的に決まる数式とすると本物。

グラフの作り方の最終規則は下記。それが正当な証明は前回�Cでありまた日を改めたい。

LのうちφとψとAが粒子である。始状態と終状態の粒子と運動量の状態を最初に決める。
その外線粒子環境で、相互作用部が単純グラフから複雑グラフへグラフ展開される。
粒子が飛んでいる線に、Lの2乗の係数の逆数をあてる。
φに1/(p^2+m^2)、ψに1/(γ(p+m))、Aに1/(やや複雑)
1/γは分母の有理化の方法があり、AのはAk,jのjを部分積分などで1/(p^2 ηjk + pj pk)
粒子が相互作用分岐する点に、Lの3乗か4乗の係数をあてる。
φが4つ通る点にλ、ψAψの点にγg、AAAの点にg×(複雑)、AAAAの点にg^2×(複雑)
各点で運動量保存がされ、ループがあるとき∫dp^4 という4次元運動量全部を-∞から∞
で積分する。こうして得る、或る関数量の形式の式がグラフの値である。

AAA等が複雑なのは内部添字を合わせたきちんとした頂点値が数式的に複雑なため。
グラフは外線をなるべく直接結ぶものから、e^iLを活用して、iLを1つ、iLを2つ、と
投入を順次行い、うまくつながったものを全て採用していく指針の展開方法をする。
以上でラグランジアンから�C�B�Aを辿り実験との比較が出来るようになってる。

[445 名無電力１４００１ 2021/07/18(日) 17:46:09.49]

�D無限大くりこみは陽関数を陰関数に取り換えるようなことと理解する。
グラフは線に1/()な量、点にλやγgのような量、うまく外線とつなぐようにして
ループが∫dp^4として、関数形の計算値を返すものだと分かった。
グラフは計算法なのだから、線が丸くなるのは自由である。

例として1点にλφ^4があって、出る線のうち2つを直接つないだグラフの計算値は
∫dp^4 λ 1/(p^2+m^2) である。線、点、ループが1つずつ登場した式。

pの値の大きい所でmは相対無視され、∫1/p^2 dp^4 の形が現れる。
発散次元が4-2=2の発散量が出て来ている。詳しくは半径pの4次元球の表面積が
2π^2 p^3なので dp^4 = 2π^2 p^3 dp、m^2は上述の意味で略して
2π^2 λ∫[0,∞] p dp、これはp→大の所で∞^2の発散を寄与する。

さてλを∞^-2次の微小量にすればλ∫p dpは適切な有限量になると気づく。
そうでなく、-λ∫p dpを結果値として出すような別のグラフ、別の相互作用が
入っていても打ち消して有限量になる。アイデアが2通り出たが後者を採る。

ファインマンダイアグラムは波動関数をさらに精密化していったもので
後から2乗して密度になるようなもの、-1倍などは普通に登場する。

∫1/p^2 dp^4 という形態から発散している以上、被積分関数の分母が
pの5次以上の多項式になっていれば発散は起きないということもわかる。
複雑なグラフは分母の多項式次数が上がっていく。線の数が増えるからである。
発散は単純な3種類ほどのグラフのみから起きていると判断される。

ところで理論のラグランジアンに、定数倍を挿入できる場所が3つある。
λφ^4理論では、φ、m、λ これを Z1 φ、Z2 m、Z3 λ
ゲージ理論では、A、ψ、ｇ これを Z1 A、Z2 ψ、Z3 ｇ
と変えたものが真ラグランジアンと思う。ゲージはmも入れて4つとすべきだけど。

[446 名無電力１４００１ 2021/07/18(日) 17:52:27.13]

ラグランジアンを基本部分と摂動部分に分けて
Z1 Aのうち、Aだけが基本、(Z1 - 1) Aが摂動に属すとする。
Z1 - 1は無限大っぽいのにそっちが摂動？という怪しさには目をつぶる。
こうやって全部展開すると、多くの新規な摂動相互作用が登場する。

3つの発散グラフを3つのZ系パラメータで表現して、
Z系パラメータのこの組み合わせが観測値のこれ、と決める。
他の全てのグラフも、3グラフを3Z系パラメータで定量表現した時点で
直ちに何の発散も無く有限化されて値が決まる。
その証明は森公式というものでよければ調べて近いうちに書きたい。

相互作用はZ系パラメータの導入で摂動として非常に増えてしまって
しかもそのニュアンスは無限大がある、こんな状況だが、
パターンを有限値に置き換える3-3対応規則でどのグラフも片付く。

というのは、グラフをループ数の少ない方から順に評価する方法にすると
発散している部分グラフが部分は単純グラフからの帰納順序として有限値になり片付き、
もうそこは複雑な手続きは不要なんだがという部分は、ZとZ-1とが
再結合して考察をやめていいようなことになるからである。

以上だがこんな風になるのには対称性が後ろに隠されているからと思わざるを得ない。
即ち森公式の証明がうまく行くのは本来存在している対称性による打ち消し合い
の再確認をしているだけで、アルゴリズムの大成功なのではないと考えられる。
その視点で対称性を明示化して、重力との差を研究するといいと思う。
その対称性にまだ名前は無く、数学のどこかの世界に存在しているというだけで
実体は不明。世界の新しい面白い対称性。

部分発散グラフはコンピュータプログラムのサブルーチンのようなものである。
全体としてグラフの値を返すプログラムにおいて、深くグラフ木構造に入っていき
発散の3つの所だけは特別扱いすることで、関数形が返るようなものになる。
値が実数ではなくpやmの分数式と積分というこのグラフ値プログラムは作れるだろう。

[447 名無電力１４００１ 2021/07/18(日) 17:55:55.05]

くりこみ群。何やらやたら高尚で何のことやらという人は、まず何の計算の
ことかを把握する。λφ^4も標準理論も似ているのでλのほう。

外線を決めてグラフ値を関数として計算したのだった。その和から実験値に行けると。
外線が4つのφとなるようなグラフについては、e^iLからiLを何個も投入していくと
λが1つのだけでなく、中に線や点もループもあるような、それでいて外側からは
外線が4つのφに見える複雑なグラフが作れて行くのだった。

この関数形全部の和を、Γ(4)(p1j,p2j,p3j,p4j) と書く。
4つの外線を持ち其々がローレンツ添字jを持つ。Γ(4)で4外線の意味。
この時、理論の整理で、運動量が確定してしまうような内線を外せる。
即ちどの挿入頂点間も2本線以上でつながっているようなグラフの和をΓ(4)。
Γ(4)はiLの投入個数で単純から複雑へのグラフ展開の形式を持っている。

Γ(4)は外線pの関数形になっている。同時にpをスケール倍して関数値を見る。
この時にpの関数である以上は値が変わる。

それを微分方程式表現する。pを実数軸上で少しずらすのと、何倍かするのでは
加法と乗法の違いがあるだろう。d/dp Γ(4)とするのではなく
p d/dp Γ(4) とするのである。d/d(log p) Γ(4)でも同じである。

Γ(4)は他にm^2とλの関数でもあるので、d/d(log p) を全微分化して
[p ∂/∂p + m^2 ∂/∂(m^2) + λ ∂/∂λ] Γ(4) となる。
この形式に対して0に置く、或いは次元異常項と等置するのが
くりこみ群、そして等式にしたのをくりこみ群方程式という。

標準理論について、gをグラフで複雑にしたΓ(3,ψAψ)も同じように
p,m,gの関数として求められるだろう。このpをスケール変換し計算される
d/d(log p) Γ(3,ψAψ) は、pのスケール変化で意味のある挙動を示す。
電磁気力はp→大で強く、強い力はp→大でΓ(3)の値が小さくなっていく。
丁寧な計算で大統一が予想される。

[448 名無電力１４００１ 2021/07/18(日) 17:59:21.91]

くりこみコホモロジーというのは、くりこみ群で一度にpを倍数掛けている
ことの精密化である。一般にコホモロジーとは、
1→2→3→4→5→と数が増えていく対象に対して、各個数の時に
ユニークな現象が起きるような体系において、
4の現象で、3の現象から導出される物を引いて、4での固有登場物を記述する
このようなものの考え方を言う。

例えばn次元正多面体の低次元から構成していくのはコホモロジーの考え方。
1→2→3→4→5→と数がはっきりする物と、小数や連分数や差分の深い方に潜っていく
のと2通りがあり、後者のは途中で0化してしまうことが多い。
くりこまれたΓは前者の方で多いnのn点でも意味が取れる。

λφ^4と標準理論で、粒子の種類が複数あったりするものの
外線が増えていくようなΓ(2)、Γ(3)、Γ(4)というような、
pやmとλやgなどの関数形を持ったグラフ計算の結果の系列が作れるだろう。

その各段階の関数を、1つ外線が少ないものから導かれるような事柄を
きちんと導くようにして、外線が増えたところでの固有登場が何かを求める。
この導き方、定義者の自由性がかなりある。しかし得れる推論を最大化して
1つ少ないものから導くようにすべきだし、
コホモロジーの一般論として、きちんとやると、個性ある定義したはず同士が
結果がほとんど同じになるという経験則がある。

これで定義はされた。pが時空4添字のことと、粒子が複数種類登場することを
適当な何等かの方法でさらに扱う。
すると数学の圏論屋の作った世界に入れて、射とは素粒子物理において何か、
コホモロジーと導来関手を一致させるような導来圏は有効作用とどんな関係か。
蛇の図式、スペクトル系列、モチーフは見えているか、を使ってくりこみ群を
外線等情報を捨てないようなものに数理的に精密化できると思われるのである。
逆にそこから物理現象が対応されればグロタンディークが提唱して放置された
モチーフの作り方が数学の方でもわかるかも。

[449 名無電力１４００１ 2021/07/24(土) 18:54:23.50]

おめえの能書きなんて誰も読まねえし参考にもならねえ

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[450 名無電力１４００１ 2021/07/25(日) 17:12:15.54]

超弦工学を説明する。
数年後の原子力工学科のテキストになりそう。
工学とは志を表している。わかりやすさに定評があるので
それなりに理解してもらえるだろう。

[1]世界観
[2]模型が一意になるわけ
[3]調整不足な所
[4]シミュレーションで出来そうなこと

思想として宇宙の説明というものがある。
実感としても正しい感じ。そのまま話す。
物質が安定して存在する世界を最小導入する、という指針。
これで決まる。
自然な感じでありながら窮屈な原理を課すことによって
自然法則の選択肢を狭めていく。
そして一意になる。
数学は先に存在している。

やや哲学的に書いてみる。
級数くりこみと、連続の法則のくりこみが多くを決める。
大胆に回答はこれだとピンポイントに指差し、他の登攀口からの
エビデンスも合わせて確信を強める手法で得られた内容である。

[451 名無電力１４００１ 2021/07/25(日) 17:14:23.82]

世界は実数の不定次元のユークリッド空間だとする。
誰でも思いつく出発点。

�@次元は３次元のみが面白い。高次元空間は短絡してしまい
制約が解けて自明化するのである。重力と分子構造があれば
横によけてほどけながら物質全部中心に落ちてくる。
結晶は出来ずに表面に一層になって付着する。

例えば６次元空間ではそのうち５次元分が表面展開の方向。
これだけ次元があれば、ほぼ表面方向次元だけで充足して全て
一層になるのは感覚だけでなく、結び目問題と同様数学的な話。

「法則を乱数」で決めて、何次元が一番か見てみれば情報量から
３次元と答が出るはずである。それは線分を使った結び目が成立する空間。
４次元以上では面の密着のみが引っ掛かりを作れて、鍵のようなもので
住人が利用するのにも面白さがないだろう。
また生物は管と管が引っ掛からず落ちてやはり一層のようになるだろう。
器官と器官が自由にすり抜ける仕組みが導入された世界を想像する。


�A次に時間を空間の一方向を２乗負に変更して導入する。
距離が x^2 + t^2 でなく x^2 - t^2 で測られるようにする。
実数を虚数にするだけな最小導入の指針に沿っている。

但し性質はだいぶ増えて、楕円型が双曲型の世界になる。
もともと回転対称性があった。そのままローレンツ対称性になる。
三角関数は双曲線関数になる。ゼロ距離も多くの時空点間に成立つ。
相対性理論はこの意味の最小導入に時間が導入された世界を示している。

工学計算機で偏微分方程式の数値計算などを学べば、この
双曲化の方法で時間性の内実がシステムに導入されて来るのは
プログラミング中にも強く了解する。

[452 名無電力１４００１ 2021/07/25(日) 17:17:01.24]

�B多粒子世界の概念。10^20乗個のような粒子があると、エントロピー、
システムの確率的な乱雑さが増大し続けるのような新しい概念が出来る。
法則は実質１粒子の世界と実質無数粒子の世界の二重構造性を持つという発見。

強制導入される実質無数粒子の世界の理論。
統計力学＝量子力学の完全数理同一構造で、量子力学として
この理論が物質安定用に使われる。多数粒子世界の理論を転用しての最小導入。

量子力学を表すこのトピックは要衝で物質の安定性を与える。

状態から状態への遷移を、波動関数の状態から状態への遷移に対応させる。
１遷移としての記述、２不確定性原理としての記述、３確率発展としての記述。
対応は１だったが、どこから入っても量子力学は量子力学で、
２は先鋭化した状況が観測できない実質存在しない、ミクロでは電磁放射も
不確定性原理を損なう状況に落ちていくため禁止される、と安定を与える。

(逆数の箇所があるため)1/エントロピーと1/温度⇔エネルギーと時間。
同温度交換関係として統計力学に演算子も新しく作れると思う。
確率概念に再度戻った３がおそらく再統一を与え、エントロピーを作るのは
ブラウン運動で表される無秩序化の進行であり、虚時間方向のブラウン運動は
虚時間などは無いも同然だから数理的な答だけ与えてくれる理論道具となる。


�C物質の存在。フェルミ粒子の導入。
数学のリー群論により、回転群には二重世界が存在する。
SO(3)群をSU(2)群はトポロジーとして2回包んでいるのである。SU(2)/SO(3) = {±1}
並進＋ローレンツの群にも二重世界が存在する。
この包括二重側に入っていく生成子が超対称性生成子で、一応これを使うと
同一粒子同一状態の禁止則というのが入る。

光子のような形の無い物でなく、相互斥力で形を作れる粒子が現れる。
回転並進群に見つかる二重被覆を使う最小導入。

[453 名無電力１４００１ 2021/07/25(日) 17:19:33.06]

�D次元が決まる仕組み。10、12、26が聞いたことある。
リーマンゼータ関数の s=1 の時の値 1+2+3+…=-1/12。全部がこれから現れている。

一つの入口から大胆に答を指摘し他の入口から同じ物を得て確信を強める。
最初の入口はローレンツ対称性の保存である。
ローレンツは回転から�A、理論の二重性は�Bに見つかっていた。
アナザー理論な統計量子の世界でせっかくの虚回転対称性が壊れていたら困るだろう。

回転はLjk = ∂pk/∂xj - ∂pj/∂xk という演算子で起きる。高次元はjk添字が増える。
[Ljk, Llm] = Ljk Llm - Llm Ljk = {Ljkの1次式}。微分演算子のせいで非自明になる。
世界の物質は回転によって無意味な変換をしないために、状態空間への線形写像行列が
同じNjk的添字で、同じ[Njk, Nlm] = {Njk1次}のような関係を成立させている。ひももそう。

xj = 中心座標 + 重心速度*時間 + 振動成分に、ひもを成分分解記述する。
ラグランジアンがあると、pも定められる。回転ローレンツ代数に代入する。
�Bから[xj,pk]=δjk という別の式もある。振動成分の勘定に1+2+3+…=-1/12が現れる。
時間が２乗負方向空間なので空間と対になって寄与が減る。
1/2 * (D - 2) * 1/12 = 1 の式を得D=26がわかる。
超対称性があると回転がその寄与を受け3倍になる。3/2 (D - 2) か 3/2 (D - 4) 掛け 1/12
時間が1つの場合が超弦理論、2つの場合がF理論で10と12。


�Eゲージ群が決まる仕組み。連続の法則のくりこみ。
4次元の∂μ jμ = 0という式を連続の法則という。時間と空間に書くと
dρ/dt = ∇・j。この法則は密度の変化が入ってきた物量と一致することを言う。

連続の法則が破れる時は電荷が自然発生する。質量や電磁場が時空に自然発生する。
連続の法則のjμ部分を、<0|Tψψ|0>などのように書き実際もそうと初等確認できる。
くりこみによりψψの間に頂点e^iLを入れてループの無限大なども見積もるのだった。次。

[454 名無電力１４００１ 2021/07/25(日) 17:22:07.04]

物質が�Cで導入され理論の二重性が�Bに見つかっていた。
�Cで超対称性もしくはローレンツスピノルという形式で導入された物質は、
無限大くりこみを受けて、多くのゲージ場と重力場で連続の法則を壊す。
496という次元のゲージ場がある時のみ、理論の二重を可能にする。
この結論がひものゲージ群をオンリーワンにする。電荷と質量が発生して困るかどうか。


�F弦の導入。くりこみに見た無限大運動量積分が原理的に成立しないような
広がった物体の候補として導入された。さて無限大運動量積分が回避できるなら
前までの推論はどうなのか。それは再検討なのだけれど前のも十分説得力がある。
好ましいゲージ群と次元数が指摘されているという態度は捨てない。

�Gソリトン的物体の導入。高次元ゲージ場の展開で多テンソル添字の成分が現れる。
これと相互作用する物質がラグランジアンに見えないので、それならソリトンの方に
運動の効果として強制出現が起きると推測導入された。

�H(情報工学で言うボトム状態の)タキオンが現れる仕組み。
量子力学で何々演算子として角運動量演算子や質量演算子などが簡単に構築される。
古典的な話と対応させてその演算子がその意味と確認もできる。
ひもの展開で振動子αmはひものモード振動の消滅演算子として、もし基底状態を|0>と書くと
αm|0> = 0となる演算子である。この性質を使い質量演算子 M |0>を計算すると
固有値が M^2 |0> = -1/α' |0>
二乗負質量の粒子タキオンの存在証明がされた。閉弦なら下方-2/α'のまである。

質量 M = 1/(2πα')。αは振動子に使いがちなのでプライムをつけ
質量より張力に関係する言葉が構造力学に使うので2πα'なんて記法。πは閉弦の便利。

�I共形場理論とは何か。超弦理論の本の中で異質感のあるこの話題。
他の場の理論がクオリアから集合的に構築していく。共形場は性質から性質へ推測する。
数学の圏論に相当しクオリアまで戻らないで<|T〇|>を計算するための計算法である。
ゲージ群の添字に円周添字を付けた物とも言われもっと整理すべきである。

[455 名無電力１４００１ 2021/07/25(日) 17:24:18.48]

�J課題、その他の話題。ゲージ群の�E推論はD=10次元用の数式を前提としている。
11や12次元にもっと基礎理論があるという。問題はないか。ある。
11や12にゲージを格上げして双対性と両立する根源を求めていく必要がある。

496生成子ゲージ群自身の起源は26次元と10次元の差としてちょうど導入される。
496は対角方向16個と付随して480個の内実。26次元理論は方向により
次元還元の様相が異なり、10次元超対称と496生成子ゲージ群になったという。
26は超対称性があっても捨てられない。26か28か32に次元として意味がある可能性がある。

光速度とプランク定数は不変とされる。これに対し重力定数はくりこみを受ける。
電磁気で言う微細構造定数のようなくりこみ群関数の真空切片に過ぎない。
基本定数から取り下げる発想が要されるだろう。
具体理論でくりこみ群を作って重力定数の走り方からヒントを得られるか。

ひも理論はゲージ理論の大統一(Grand Unified Theory)や宇宙論のインフラトンと
エネルギーが近い。ややこしい演算子かもしれなかろうが、数値計算してすぐに
すぐ下のエネルギーとしてこれらの現象を露呈することが検討条件入りされるべき。

世界面がループを持つと複素代数幾何のリーマン面の保型関数という対称性が現れる。
またこれの有効作用と分配関数も概念としてはすぐ定まる。その理論作り。
DブレインラグランジアンとM理論ラグランジアンを記号を定め述べる。
それの確率量子化を参考にしたモンテカルロシミュレーションでも何か見えると思う。

�Kビッグバン、ダークマター。ビッグバン＝ブラックホール蒸発は直接取り組むべき。
伊藤積分とペリルマン理論と、カタストロフィーと代数幾何学(ブローアップのルート系)を使う。
解いたら原子力の参考になりそう。高圧高温のインフラトンへの臨界点火が似てるのである。
ホーキングの虚時間やビレンケンのトンネル効果のような初等的方法では届かない。

ダークマターは銀河系の近縁で見つけるように。遠方の銀河衝突などはいいから
百光年、千光年の範囲にここにあると言えなければおかしい。
ダークマターの三体問題は重力井戸にたまる現象を起こすことを示せるはず。計算問題。
最も近い所にダークマターを見つけたグループに褒賞を上げるべきだろう。

[456 名無電力１４００１ 2021/08/01(日) 17:32:04.14]

残念なことに超弦のような華やかな分野は他にはもう無い。
例外だったと地道な学習として思って取り組むがよろし。
工学の話題を漁って行く。原子力電気技術者は面白さではなく実学として学ぶ。

圧縮性流体力学は、工業的な流体力学の一分野で
航空機体、自動車エンジン、火力ボイラー、爆発事故解析、恒星本体
に用いられる。中3つは燃焼系、初めのと水の流体の船体との比較。
後のは極限物理で、核子内のQGPにも圧縮性流体現象の適用可能性が存在する。

テキストを初めて見ると通常の流体力学との雰囲気の違いに衝撃波が出る。
分野の何も知らない人が多いだろうから、ここでは一般的なことを書く。

理論の構造が、気体が大域情報を知って方程式で指定される状態になる
ように見える。しかし音速は遅いし軽々越えられる中速度性の変数だから、
そのような環境下で方程式の解の状態になるという説明は疑問だし、
熱力学を統計力学が説明するような、ミクロが説明する必要がある。

個人的にはまだしっかり理解していない所があるので、自信のある所は
それなりに書いて、残ってる問題意識に集中出来るような契機にする。
それは亜音速と超音速の行き来。もっと多くの手段があるのではと。
ノズルのくびれのみがチョークする証明。ディフューザの形状の工夫。
遷音速域の相転移性とフラクタル。動く系から見た時に正しいか。
壁があると方程式の超音速解から亜音速解に流れ状態が飛び移るのも
その中間段階の詳述がなく不可思議、流量が大きく変わって系はどうなるのか。

数学的にあまり高度でないのもこの分野の特徴である。
四則とルートを使う分数の計算がいささか不便なだけで、分配関数やら
ソリトンやらそんな話は出て来ない。ここも理論の可能性がある。
是非高級数学をもっと投入して航空宇宙工学と気象と原子力に
新展開を見せてほしいものである。音速を超えるという現象記述から
理想化にしても一般相対論ぐらいのものが出てきたっていいはずと思う。
そしたらロケットも進むかもしれない。

[457 名無電力１４００１ 2021/08/01(日) 17:36:22.13]

興味深い衝撃波の分類から始める。衝撃波を主役として扱うのはこの分野だけ。
遷音速以上の世界では衝撃波が沢山飛んでいる。
沢山だけれども音そのものよりはずっと少ない。新たなる生命体なのだ。
これの分類がまだ博物学的な現象記述なので一般化を期待してる由。

垂直衝撃波、斜め衝撃波、マッハ衝撃波、離脱衝撃波、
膨張波、圧縮波、マッハ波、滑り面、そして三重点。
以上が記憶すべき９つの衝撃波類型。斜め衝撃波が最も普通の物。

超音速機体が大気を切り裂き進む時、尖った先端から斜めに一定の鋭角度で
切り裂いた軌跡がずっと残り広がっていく。これが古典的なマッハ波。

衝撃波は音速の1.25倍など音よりも早い速度で情報を伝える。
そのため全体が音速以下の所では音がその役を受け持ち衝撃波は起こらない。
衝撃波は方程式の２つの解として速度、温度、圧力、密度が全て決まり
強い波は通り過ぎた場所の超音速流れを音速に関して反転したような速度の
亜音速流れに変える。弱い波は超音速のまま少し速度を落とす。

衝撃波は流体の流れとは独立の方向に進む。流れは管内でほぼ一方向でも、
速度が音速級で管に形状の変化があれば、そこから衝撃波が管内を行き来、
流線とは独立なのである。音波が有限振幅になった現象とも言え、
気体音波はどの方向にでも進むので波の方向は独立なんだなと理解してもらう。

衝撃波には粒子性を見てもいい。方程式の範囲ではその必要もないが、
機体が裂く時に一定の面積ごとに一定の(準)粒子が発生しているイメージ。
波面と垂直の方向にのみ進むのでなく、波面も無い衝撃波が一つの方向に進んだり
波面とは斜角にも進んだり。単位面積ごとに粒子があるイメージのが見やすい。

斜め衝撃波とは、流線に対して斜角の方向に進む衝撃波(すなわち有限振幅超音速
と化した拡大音波)であり、単独粒子性で衝撃波面も特に持たないものである。
もし超音速流れ管内にこぶのような出っ張りがあると、斜め衝撃波が
衝突部位から斜め前方の方向へ出る。衝突の痕跡を残した量子のイメージ。

[458 名無電力１４００１ 2021/08/01(日) 17:40:15.33]

もし障害物の形態が直線や平面の形状なら、衝撃波自体も波面を構成する。
角度、速度、振幅、担エネルギー等の各種パラメータは理論で決まる。
と言いたいが風洞観察だけでまだ理論になっていないかも。

垂直衝撃波は斜め衝撃波がまとまり流線と同じ方向へ進む波面平面を構成する物。
一般的なイメージの衝撃波がこれである。垂直衝撃波はノズルの管径を狭めたり
して作れる。が、この時でも管端からの斜めばかりが出てうまく作れないことも多く、
いわば理想的な形状の一次元性衝撃波と呼べるだろう。

斜め衝撃波は強い波と弱い波の２種類があり、強い波は決定的に通過後の流速を
落とすが乱数環境でも数量が多くは出来ず、弱い波が多く出来る。
この弱い斜めが衝撃波の基本粒子と言える。乱数環境の衝撃波生成の数値計算。
垂直衝撃波になったπ/2角の斜め衝撃波では、強い波は普通の衝撃波、弱い波は
何もしないことと同じということになる。垂直衝撃波は強い波しか意味がない。

斜め衝撃波は壁で反射する。この際に壁までは行かないで、例えば下壁では
Ｙの形を取る。三叉交点から下の縦線をマッハ衝撃波、交点を三重点と言う。
このような弱い斜めが多数あって反射が繰り返されると、その全てがパラメータの
不連続を持っているので流体環境はかなり面白い複雑な物になる。このようにして
流体が区分された境界面を滑り面という。滑り面の両側では流線方向以外の
速度、温度、圧力、密度が全て異なる。

超音速機体のマッハ波は綺麗に整った斜め衝撃波、垂直ではない。
方向マッハ角を衝撃波極線というもので圧力パラメータなどから図取得出来る。
この図は部分定義された関数であって、角度の方から解くとき或る環境値に
対しては解を持たない。持たないつまり虚数。マッハ角θが虚数の時、マッハ波は
機体から離れて円錐ではなく前方に離れた放物面のような衝撃波面に変貌する。
地球や太陽系のプラズマフロント面みたいなイメージ。これを離脱衝撃波と言う。

超音速流れが、180度以上の角度を回り込むか、180度以下の角度で抑えられるのを
プラントル-マイヤの流れから膨張波または圧縮波が出ると言う。
実際角部位から影響が拡がって行く。圧縮波は少し先で固まり斜め衝撃波になる。

[459 名無電力１４００１ 2021/08/01(日) 17:43:58.69]

衝撃波の類型は説明した。衝撃波同士は貫通し屈折する。
膨張波と圧縮波は衝撃波のような一点になっていない空間的拡がりを持つが
膨張波が通ると地点の圧力が下がり、圧縮波が通ると地点の圧力が上がる。
この連続広がりの中を別の衝撃波が通ると屈折し積分が現れる。
虚数角マッハ波だった離脱衝撃波を、この方法で構成するのも多分可能。

まあ発電所の冷却系が音速気体ならそんな衝撃波論も現れようが、
発電所のはせいぜい秒速数十ｍの液体で、配管論には非実用知識かも。
プラントのは余計な考察の要らない安定した損耗の少ない運用機にしている。
安全第一の発電所で音速のような扱いにくい流体の構成は取らない。

ところで縮まない渦無しの２次元の流体では複素速度ポテンシャルが定義される。
翼面揚力論では、複素数を正則関数で座標を取り直しても抗力と揚力が不変
という性質を用いて、ジューコフスキー翼というかなり現実的な翼を設計する。
２次元で使える方法で３次元では出来ないという。
４元数速度ポテンシャルで４次元までは出来そうなんだけどどうなのか要研究。

というのは圧縮流体の基礎方程式の一方法として、△Φ = 0 という式を
∂をラグランジュ流体共変微分にして得られるという方法がある。
一般流体の方を進歩させると変換で圧縮流体の方に使えそうなので。


圧縮性流体の扱い対象は、状態方程式の成り立つ理想気体。
理想気体と言われるとファンデルワールス気体は？とか思いたくなるのは人情。
化学反応が関係するのも多いし電磁気力、粘性、超臨界流体なども広げる方向性。
プラズマ核融合をここからの電磁力差分として表す。プラズマと圧縮流体の理論統一。プラズマ論の難しさを分割し、不安定の原因がどちらにあるかなど分析出来る。

初めのとおり核子内のQGPをフェルミ速度を持つ仮想粒子の圧縮性流体として、
弱い斜め衝撃波が多数飛ぶ記述の量子化したものとする構成を狙う案。
もし意味がある結果が出るなら、統計レベルの数の仮想粒子数を核子の中に
見て取るのも正しいという一つの核子描像となる。核子自体のより深い研究。

[460 名無電力１４００１ 2021/08/01(日) 17:45:56.26]

お話ではなく理論構成のコメント。圧縮性流体論は温度Ｔ、比熱比κ、音速ａ
を用いて、流体力学の大半の方程式を書き直したような理論となっている。
さらに普通に速度ｕ、圧力ｐ、密度ρを使う。

比熱比 κ=γ= Cp/Cv、 具体数字として気体はκ=1.4
音速 ａ=√(κＲＴ)、 室温でおよそ340m/s
マッハ数 Ｍ=ｕ/ａ

理想気体の状態方程式に基づく体積と密度の変化が主要な役割を担っている。
そのためこのいわゆる気体力学は液体の通常流体と局所での動向がだいぶ違う。
衝撃波がない亜音速のところでそうなので、超音速に行ったら直感では読めない
さまざまな現象を式が教えてくれると皆の期待は膨張するだろう。

マッハ数は簡単に無限大になってしまう。音速が√Ｔに比例し、
温度のエネルギーは抜き取られて絶対零度になっていったりするため。
そんな現象がマッハ３ぐらいまでで既に一揃い顔を出す。
新現象を方程式からこうなってると判断し、気体の動き方として航空ロケット機
の開発に役立てるのが主眼の分野である。

単位質量あたりの内部エネルギーを ｅi とする。iは添字
単位質量あたりの運動エネルギーは ｕi^2/２
圧力ｐiの物体は動く時に外側の物を押してエネルギーを減らす。ｐi Ｖi と書ける。
この事情が毎回同じなので、単位質量あたりｐi Ｖi/ｍ = ｐi/ρi

結局 ｅ + ｐ/ρ + ｕ^2/２ が状態変化の最中でもずっと保存している。
熱の出入りがなければこれが不変量である。
ｅ + ｐ/ρ = ｈ を(単位質量あたりの)エンタルピーと名付ける。

現実気体ではもう少し錯綜するが、理想気体では
ｅ = Cv Ｔ、 ｈ = Cp Ｔ と温度に完全比例している。
系が断熱変化によりエネルギーｅが ｐ/ρ + ｕ^2/２ の項に全振り変換されると
温度が絶対零度になり音速の方も０になる。

[461 名無電力１４００１ 2021/08/01(日) 17:46:58.56]

断熱保存(単位質量)全エネルギー ｅ + ｐ/ρ + ｕ^2/２ と音速ａ = √(κＲＴ)

ｕ = 0 を静止(よどみ点stagnation)状態
ｅ = 0 を絶対零度状態
ｕ = ａ を臨界(マッハ１)状態 という。

ｅ = Cv Ｔ、 ｅ + ｐ/ρ = (Cv + R) Ｔ、 Cp = Cv + R から
内部エネルギーと圧力項の関係は単なる比例定数である。

Ｔ、κ=Cp/Cv、ａ を表に出してどんどん式を書き直していく方針。
例えば、ｅ + ｐ/ρ = Cp Ｔ = κ/(κ-1) Ｒ Ｔ = ａ^2/(κ-1)
単位質量全エネルギーは ａ^2/(κ-1) + ｕ^2/２ と書き換えられた。
この単位質量全エネルギーに名前を付ければいいと思うのに無いのである。

状態間でａ^2/(κ-1) + ｕ^2/２ を比較して計算例。
静止状態音速ａs = √(κＲ Ｔs)、絶対零度音速ａz=0
κ/(κ-1) Ｒ Ｔs + 0 = 0 + ｕz^2/２

これより、エネルギーを運動に全振りした取りうる最大の速度は
ｕz = √(2κ/(κ-1) Ｒ Ｔs) = √(2 Cp Ｔs) = √(2/(κ-1)) ａs
κ=1.4なのでかなり非自明な結果が出た。

一方、臨界状態と静止状態。ａ^2/(κ-1) + ａ^2/２ = ａs^2/(κ-1)
ｕ = ａ = √(２/(κ+1)) ａs、 両辺κ-1を掛けてすぐ確認できる。
κ=1.4だから、動き出すと温度が下がり臨界音速も小さくなるのも表れてる。
連立方程式を組み合わせた分野、流体と雰囲気違うなというのも伝わったと思う。

全温度、全圧というのを言っておく。単位質量全エネルギーが定まっている時、
系を静止(よどみ点)状態の構成にして ａ^2/(κ-1)から温度が、その温度を使い
気体の状態方程式から圧力が決まる。これのことを全温度、全圧と呼ぶ。
使ってると航空風に思ってもらえるよ。

[462 名無電力１４００１ 2021/08/08(日) 17:32:21.91]

ガロア理論を説明してみよう。解析学のεδのようなもので
応用として使われゲージのリー群論を先に進めるのに有用かと思う。
精度を上げながら理解していくといい。下記短文中でも2回りする。

体K⊂(M⊂)L⊂Ω。体の拡大L/Kが主要な舞台。
Kが有理数Qで、Ω⊂Cは複素数に含まれる代数的閉体が例。
LはQ(√2,√3)のようなの、外側から添加元を入れ四則で閉じさせた集合。
Mは任意の中間体。Ωは存在する。最小の閉体を閉包と呼び閉包は構成される。

L/Kはベクトル空間の公理を充たし、拡大次元がそれで定まる。nと名づける。
�@L/Kが有限次拡大ならば、Lの元はK係数代数方程式の解である。
∵) a∈Lとし、L/Kの基底を1、a、…、a^(n-1)と見なすと、a^nはK係数の
基底の線形和で表されているはずで、それが方程式。
�AL/Kが正規拡大ならば、方程式の他の根もLに含まれるというのがその定義なので
L元→K方程式→L他根の話の展開がさらに広がらずにL/Kの関係に閉じる。
�BL/Kが分離拡大ならば、有限生成拡大K(b,c,…)は単元拡大K(a)に書ける。
1つの方程式でL/Kの関係を管理出来る。有限生成型はそうで無限生成型はまた別。

この条件でL/Kの構造分析をする。
L→Lの同型写像(0保存、1保存、加法保存、乗法保存)でKの元を動かさない
ものの全体をAut(L/K)と書く。LのK自己同型(写像略)の為す集合と言う。
ところが写像は合成があり、無作用があり、同型なら逆写像がありで群を為す。
一般にG = Aut(L/K)と表記する。
さてすると中間体K⊂M⊂Lについて、Aut(L/M)は、K固定より大きい範囲の物を
固定するので写像の数が少なくなっているとみなせる。考えるとそれもまた群である。
MとH⊂Gという部分群との対応関係があるだろう。中間体と部分群の対応関係を
正確に書いてL/MにM/Kの次数の数量と、正規性がM/Kで壊れるのでそこを書く。

記号的抽象論はこれで終わりで、方程式の解法で根号を投入するというのは
根号とは3乗や5乗でKの元に戻る数なので、Hが巡回群の場合と考えられる。
すると結論は、方程式を出発点にしてL/Kを構成し、G=Aut(L/K)が巡回群の連鎖
で作られるとき、LはKから対応する中間体をたどって作れる。またはその同時否定。

[463 名無電力１４００１ 2021/08/08(日) 17:39:32.46]

1回目の説明は終わった。もう読まなくてもいい。ガロア理論の筋は上で尽きてる。
来週は宇宙に放射性廃棄物を置くためのラグランジュ点の安定性と
ハミルトンヤコビ方程式の力学摂動。で以下は数学蛇足。
なぜ蛇足までするかって多項式環論をマコーレー環論にして作り直したいのと
ガロア群が有限群でなくリー群な無限次元ガロア理論を調べたいなどの欲望による。
つまり先へ進むのにここをお話で終わらせてしまうと先に進めないため。

構成は前発言の通りで条件設定も�@�A�Bでぴたりなんだけど、数量理論を
仕上げるには数学者の努力が必要だったというのはわかるよね。
シナリオは見えても細部を詰めるのは大変というのはこれ数学の理論作りの典型例。
そこも書いて説明。シナリオの置き方と細部の詰め方ということで理論作りの勉強になる。
語彙は多項式環論になる。雑学を多数学ぶことで証明が全通する。

体準同型は単射、標数の概念、n次多項式の根の数はn以下、最小または既約多項式、
分離拡大の本来の定義、分離での単元拡大化、分離とK同型の個数、分離拡大の連鎖、
拡大次数と多項式次数を合わせる、代数的閉包の存在、固定体と固定群、可解群の理論、
行列を構成する証明と成分を取る証明の行き来、方程式のガロア群の定め方の理論、
１のベキ根を別考察するわけ、σ・σ^-1で挟む時、円分多項式の性質、超越拡大用の定理

普通ガロア理論の本を読むとあやふやな点が5個も10個も残ったまま、これで証明は
終わったのような文面を突き付けられる。それを回避するために上段落の15個ぐらいは
小定理として先行理解した上で、数量定理と方程式論定理に入るのがいい。残りで書く。

f:K→K'を体の準同型、f(a)≠0とする。f(0)=0 なので a≠0。よって単射。
任意の体準同型は包含関係になる。

[464 名無電力１４００１ 2021/08/08(日) 17:44:24.53]

pが素数の時、{0,1,…,p-1}には乗算と除算を入れられ体になる。pが合成数なら除算が
定義されない所がある。1を何倍かした時に0に戻る体系ではその倍数pを標数と言う。
戻らないなら標数は0。先の数学で標数0とp(全部の素数)が組み合さって不変量を作ることが多い。
来月にもそんな話は出て来るだろう。別の言い方として全整数のなす環Zから体Kへの
環準同型 f:Z→K。 Ker(f)はイデアルだが、Im(f)は整域なのでKer(f)はZの素イデアル。
その形は(0)か(p)しかなく生成元を標数と定義する。

環論でユークリッド環⊂単項イデアル環⊂一意分解環。整域(体)上の多項式環K[x]は
一意分解整域である。よって高校数学の因数定理の方法で因子を取り出していく方法は
無限に続かず因子は順序を除外して一意。これがn次多項式の根の数はn以下。
また一変数多項式環は互除法で、有限変数多項式環はグレブナー基底でユークリッド環
なので、小さくなっていく剰余を作って行く方法が取れ、因子を一つずつ指定出来る。

体の拡大L/Kについてφ:K[x]→L という任意の環準同型写像を考える。
Im(φ)は整域なので、Ker(φ)は素イデアル。K[x]は単項イデアル整域と合わせ
最高次係数を1とする既約多項式 f(x)∈K[x] があってKer(φ) = (f(x)) と出来る。
K[x]/(f(x)) とはf(x)を0と見なすことなので、f(x)の一根a∈Lを代入することの
φ:K[x]∋f(x)→f(a)∈Lと同一操作になっている。一方、左式でf(x)が既約多項式でない時
φは環準同型写像ではなく零因子を持つ代数系に写像される。

a∈(L-K)と既約多項式f(x)の組が上のような環準同型写像φごとに対応していて、
aはf(x)の解なのである。aに対するf(x)はもちろん一意である。
ΩやCなど代数的閉体の中でf(x)を因数分解するとき、既約ながら重根を持つ場合がある。
持たない場合がaがL/Kの分離元で、持つ場合はfとf'が共通根を持つ条件から素数pに関する
やや特殊な設定が、またその設定世界が可能ということが発見される。
Lの全ての元がL/Kの分離元のとき、L/Kを分離拡大と言う。
有限次分離拡大は単元拡大。次発言に。

[465 名無電力１４００１ 2021/08/08(日) 17:48:56.63]

有限次拡大L/Kは単元拡大L=K(a)で、aはn次方程式f(x)の根という所までわかった。
複素数がR(i)でもR(1+i)でも良いように、aやf(x)がL/Kから一意など決まるわけではなく
aやf(x)はその解がLまでを張るようなものならばどれでもよい。
さてK固定のL同型 Aut(L/K)は、Lの情報がf(x)の情報に入っているので、f(x)の係数は
この同型で動かない以上、f(x)の根の置換以外の可能性はない。
f(x)に重根がある場合、この置換の数は減る。dim(L/K) = nとし、L/Kが分離拡大ならば
置換の数もn個で、分離拡大でないならば、置換の数はn未満。

K⊂M⊂Lが体の拡大の列で、M/KとL/Mが分離拡大ならば、L/Kも分離拡大。
前段落の置換を構成することで数えると論理的には抽象性も無く示される。
逆にL/Kの分離拡大からそれぞれの分離拡大も示される。

有限次分離拡大は単元拡大の証明。L = K(a,b) が L = K(a + c b) と書けること。
Kが無限集合であることを利用し、Kが有限集合な時は数論的に別途扱う。
ここでc∈K、 b∈Lは分離、a∈Lとa+cb∈Lは分離でなくてもいい。
aの最小多項式をf(x)、 bの最小多項式をg(x)とする。
h(x) = f(a + c (b - x)) という多項式も作る。h(b) = 0。 c∈Kはこれから決める。

fとgの他の根をai、bjとする。Kは無限集合なのでcを∀i,j[a+c(b-bj)≠ai]と選べる。
aiは非分離も可とするためaと一致する場合がある、bjとbは一致しない場合のみ。
このとき、h(bj) = f(a+c(b-bj)) はfの引数がfの根のどれにも一致していないので、≠0
すなわち、h(x)とg(x)は共通根bだけを持つ。K1 = K(a+cb) と書く。
多項式環K1[x]においてh(x)とg(x)の最大公約多項式はx-b。このことはb∈K1を意味する。
a+cb∈K1、c∈K⊂K1、b∈K1より、a∈K1。 ゆえにK(a+cb)⊃K(a,b)。単元拡大の証明終。

これよりL/Kが有限生成分離拡大ならば単元拡大に置き換えられることがわかった。
LはKからその元一つのみで張られているので、ベクトル空間基底の数の最初の議論から
拡大次数と多項式次数は一致する。分離性の恩恵はこの単元拡大化と次数の同一である。
Lを方程式fの分解体という。fが有限個複数ある時もLをさらに拡大して分解体を求められる。

[466 名無電力１４００１ 2021/08/08(日) 17:56:15.21]

代数的閉包の存在証明。K[x]のあらゆる既約多項式の解を同時に付け加える。
既約多項式を文字記号で表し、無限変数多項式環を得る。それを適切な同値関係を反映した
極大イデアルで割るとほしい体を得るという手法である。

既約多項式s(x)、文字Xs、無限変数多項式環K[{Xs}]。
K[{Xs}]は(ベクトル空間ではなく)環であるというので和と積も中で問題なく定義されている。
s(Xs)という元全体で生成されるイデアルJは、もしJが1を含むと
∃gi∈K[{Xs}] [Σ{i} gi si(Xsi) = 1] (有限和)の式を得る。
全てのsiの共通分解体でKを含むものの中にsi(ai) = 0 となるaiが取れるが
代入してみる[Σ{i} gi si(ai) = 1]が矛盾してしまう。よってJは1を含まない。
環K[{Xs}]のJを含む極大イデアルMがツォルンの補題より存在し、極大イデアルで割ると体である。
s(Xs)∈Jだがこれを含むイデアルで割ってるのはs(Xs)=0とすることであり、任意のs(x)は解を持つ。
解は具体的にはXsのMを法とする同値類で、Xsは多項式環の変数として導入されたものだった。
多項式環の剰余環において変数はそのまま代数的である。代数的閉包存在の証明終。

φ:K1→K2が体同型ならば、φはK1の代数的閉包からK2の代数的閉包cl(K2)への体同型に拡張される。
定義域をM1⊃K1、写像をτ:M1→cl(K2)であって制限するとφになるものとし、対(M1,τ)を
沢山集めて定義域の包含関係による順序を入れる。ツォルンの補題よりその極大対がとれる。
その極大対のM1がcl(K1)より小さいと、a1∈cl(K1)-M の最小多項式 f1(x)を取り、M1[x]/(f1(x))
はM1より大の体を与えて矛盾する。よって極大対の定義域はcl(K1)。

分解体は20行前に定義したがわずかに修正してほしい。正規を仮定しないとfの1根だけ含む。
fの全ての根を含む最小のLをK上のfの分解体と言う。代数的閉包の存在証明には訂正なし。

[467 名無電力１４００１ 2021/08/08(日) 17:58:25.64]

LがK上のあるf(x)の分解体ならL/Kは正規拡大と言える。これの意図は、正規拡大の定義は
全部の多項式について共役根を含むことだったが、1つのf(x)について分解体なら必要十分と言っている。
証明。L/Kがf(x)について分解体とする。他の元b∈LとそのK上最小多項式g(x)を取り他の根をbiとする。
bi∈Lが示せればよい。σ:K(b)→K(bi)とg(x)の根を置換するK固定の体自己同型を自明に作れる。
LがK上f(x)の根で生成されることは、σ(L)がK上f(x)の根で生成される、と写る。f(x)∈K[x]は不変なので。
するとσ(L)=Lでbi∈σ(L)=L。

ガロア理論に近づいて来た。ここから心を切り替える。分離正規拡大をガロア拡大と言う。
L/Kが体の有限次正規分離拡大とし、LのK固定自己同型写像の為す群をG = Aut(L/K)とする。
中間体K⊂M⊂L及びAut(L/M)を考える。LのM固定自己同型という意味はいいだろう。Mを振る。
Gの部分群をG⊃H⊃{e}とする。これら群の要素はLの自己同型写像だが、その結局何を動かさないか
などはHの取り方大きさのようなもので決まる。Hの全ての写像で動かされないという条件で体を定める。

fix(L,H) = {a∈L | ∀σ∈H [σ(a) = a]}　固定体
fix(G,M) = {σ∈G | ∀a∈M [σ(a) = a]}　固定群
これら集合が体や群を作っていることはほぼ明らか。
群の位数=集合としての要素数を#Hや|H|と書く。

ガロアの基本定理は(基本定理と言っても数量勘定定理であり重くは見ずすぐ次へ進むこと)
任意の中間体Mに対して、L/Mはガロア拡大で、Aut(L/M) = fix(G,M)、dim(L/M) = #fix(G,M)
任意の部分群H⊂Aut(L/K)に対して、dim(L/fix(L,H)) = #H
中間体MとAut(L/K)の部分群が一対一対応する。M→fix(G,M)、H→fix(L,H) であり互いに逆写像。

とσ∈Gについて、fix(G,σ(M)) = σ fix(G,M) σ^-1 という関係があり
M/Kがガロア拡大⇔fix(G,M)がGの正規部分群。またこの時Aut(M/K) = Aut(L/K)/fix(G,M)

[468 名無電力１４００１ 2021/08/08(日) 21:20:02.38]

おめえの能書きなんて誰も読まねえし参考にもならねえ

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[469 名無電力１４００１ 2021/08/08(日) 21:20:14.10]

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[470 名無電力１４００１ 2021/08/09(月) 04:18:26.68]

バカで社会のダニなんだから、早く死ねよ（笑）

死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）死ね（笑）

[471 名無電力１４００１ 2021/08/15(日) 17:12:35.85]

ハミルトン・ヤコビ方程式と摂動なのだけれど一回では無理で来週も。
H = (px^2 + py^2 + pz^2)/2m + m g z
自由落下の今日もどこかの高校か学習塾でやってそうな例。
1/2m {(W,x)^2 + (W,y)^2 + (W,z)^2} + m g z = - W,t
がHJ(Hamilton-Jacobi)方程式。,は偏微分。

解析力学なのだから問題を個別特性で解かずに形式的な手続きを踏む。
但し変数分離はどんどん仮定し、自由系のようになる変数は波動のe^(i k x)に倣い
内積風味に書いていく。問題ではzだけ非自由なのでこう仮定する。
W = a1 x + a2 y + S(z) - a3 t。 a3=Eエネルギーが内定されている。

HJ方程式は 1/2m {a1^2 + a2^2 + (S,z)^2} + m g z = E となる。
dS/dzを左辺に出すように式変形し、z積分で解ける。
{} = {2m(E-mgz) - (a1^2+a2^2)} と略記して
S(z) = ∫√{} dz = {}^(3/2)/3gm^2
zについて自由でないので、S(z)だけは内積風の形をしていない。
これを内積風に書き換えることはモード粒子を取り出すことに相当するはずである。

W = a1 x + a2 y + {2m(E-mgz) - (a1^2+a2^2)}^(3/2)/3gm^2 - E t

以下の式はすぐ次で説明する。
- b1 = W,a1 = x + a1/gm^2 √{}
- b2 = W,a2 = y + a2/gm^2 √{}
- b3 = W,E = - t - 1/gm √{}

t - b3 = - (1/gm √{})　を代入して整理出来る。
x = - b1 + a1/m (t - b3)
y = - b2 + a2/m (t - b3)

また (t - b3)^2 = {2m(E-mgz) - (a1^2+a2^2)} / g^2 m^2
から z = {2mE - (a1^2+a2^2)}/2gm^2 - g/2 (t-b3)^2

[472 名無電力１４００１ 2021/08/15(日) 17:15:24.38]

上で最初の例が終わっている。xとyとzの式は、tを重視して見て、
等速直線運動と放物線運動で、biは初期値、aiは運動量に近い変数と読み取れる。

では形式的な手続きと概念の名前、考え方を。HJ分野としては初級のことだけ。
ハミルトニアン H(xi, pi, t) は物理系の環境を定めている。
その中で個の対象物が動く。個対象は主関数 W(xi, ai) という自らの情報を担っている。
HとWは波動作用素と波解や、シュレディンガー作用素と波動関数にあたる。

H(xi, ∂W/∂xi, t) = - ∂W/∂t
未知関数をW、積分定数をaiとして上の偏微分方程式を解く。
pとEをWの微分項に置換している。量子力学との近さは明らか。ただ量子力学よりも
数学的世界としてハミルトン・ヤコビの方が大きいと思う。
だから集中研究すれば量子力学のヒントを取得出来るし作り直せる。
初期条件への正準変換なんていう考え方は量子力学には無いし。

主関数 Wは変数分離の仮定 W = Σ{i} pi xi - E t を多用して求める。

pi=∂W/∂xi、 bi = - ∂W/∂ai
という手続き。第1式は想定方法。第2式では新しくbiという変数が入った。
パラメタbiは微分方程式の二階性からと理解するとよい。
既式によりbiはxiとpiとaiで表されてしまう。逆にbiが他のそれらを決めると考える。
力学としてbiは初期位置、aiは初期運動量を表す。
これだけの形式的な手続きの後で、実際その意味を持っていることを確認することが
この分野を学ぶ者には求められる。

Wは(xi,pi)から(bi,ai)への正準変換の母関数 W(xi,ai)となる。
各x、p、b、aの項のiの個数は一致し、式の数はその2倍できっちり解ける連立方程式系。
(xi,pi)を(bi,ai)で表すと問題は解き終わる。上の問題もそうしてある。

[473 名無電力１４００１ 2021/08/15(日) 17:17:31.60]

HJにはパラメタや境界条件を主役にするソリトン的発想が内包されてある。
この方法にはまだ汲まれぬこれから広がる理論的可能性が数点あるだろう。
原子炉の設計管理の数理高度化でも、場の理論の各点にこの方程式を置くのでも宇宙でも。

力学論を語ってみたい。ここでは、ラグランジアンを用いた変分原理のオイラー方程式
及び、ハミルトニアンを用いた位相空間の正準形式は既知としている。のも
どうかと思うが、機械原子力の大学一年生にある。

ニュートン氏、ラグランジュ氏、ハミルトン氏が各自の理論を作った。
理論は切り口を見つけそこから膨らませて整備して作るもの。
ニュートンなら地上落下と天体落下の同一視と逆二乗万有引力。
ラグランジアン形式やハミルトニアン形式は系を管理する支配的な関数があり、
その偏微分が運動方程式を導くと構成している。

ところで、力学にどういう切り口が他に残っているだろう。
微分には積分定数が、偏微分には積分関数が付き物である。
運動方程式を偏微分で与えるような支配的な元関数があるのならば、
それは積分関数だけの不定性から逃れられない。

y' = 1 の解は y = x + c
y' = y の解は y = c e^x
x y' = y log(y) の解は y = e^(c x)
積分定数は色々な入り方をする。yとy'は方程式として別になるため
パラメタcを消去してもとの微分方程式を推定出来ている。

上例でcの正確な在り方こそが逆に理論を決めていると考えられないか。
付加的なはずの積分定数または積分関数の存在形態が
系の微分方程式と同じだけの情報を持つとさえ言える。
なぜなら消去する逆算法によって微分方程式が再現されてしまうのだから。

[474 名無電力１４００１ 2021/08/15(日) 17:19:59.05]

こうしてハミルトン・ヤコビ理論は、積分関数を理論の中心に持って来る。
パラメタ(bi,ai)は積分のおまけから主役になった。
新しい展開がありそうな感覚を共有してほしい。

理論作りではパラメタを見つけたら本来変数と主従を入れ替えてしまう。
ルジャンドル変換ともつながる考え方であり、よくある。
ついでながら示量と示強もその時入れ替わる。
ハミルトン・ヤコビ理論では、(xi,pi)の二階微分方程式に現れる
積分関数であるパラメタ(bi,ai)を正準変数にしてしまうような正準変換をする。

その正準変換母関数を決定する方程式がハミルトン・ヤコビ方程式であること。
H=0を目指した正準変換と捉えられること。来週までに内容を増やしたい。
また幾何学的表現がどうなのか気にならないだろうか。

ハミルトン主関数というのが出てきて、W = px x + py y + S(z) - E t のようになる。
これは内積である。位相空間の内積を基本に置く考察も聞いたことがないだろう。
内積の意味を深く取り、ハミルトン・ヤコビは相対性理論にはなっていないが
その関係を入れること、時間を2つにするのも式の形状で拡張しやすい。
膜理論の古典解を探せる。ゴースト正準座標を付けたい。
内積にルジャンドル変換と熱力学との近さを、理論的統合で付ける。

微分と積分の隙間にあるパラメタが含む構造が、この分野の力点の置き場所で
それは対称性に対する違う視点をも与えてくれる。
対称性用に作られた理論、南部の定理やゴーストは、まだこういうパラメタや
積分関数一般に適用されてはいない。それが正準変換ですぐ届く所にある。

量子電磁力学ではラグランジアンにゲージ自由度を消すための項を付けている。
しかしハミルトン・ヤコビの意味でのラグランジアンの残る自由度には触れない。
一般共変性の自由度とも違う。何もやられていない理論の処女地がここにあり
もしかしたらゲージと一般共変をその一つとする視点を与えるか。

[475 名無電力１４００１ 2021/08/22(日) 17:13:09.05]

天文学における楕円軌道の表し方。
宇宙工学でもこの表し方をするので耳に入れておこう。
人工衛星や宇宙を使っての原子力廃炉の時に我々も利用するのであるから。

�@人工衛星�A惑星が二大対象である。直交座標を導入する。
�@は地球構造に沿って北極をｚ軸、経度０度方向をｘ軸とする。
�Aは平均太陽系をｘｙ平面、太陽北極をｚ軸、公転地球の春分点方向をｘ軸。
�@のｘｙ円を赤道と言う。�Aのｘｙ円を黄道と言う。�Bは銀道と言うんだけどね。

中心星を原点とし、ｘｙｚを上記のように定めた上で、
軌道上の点（公転天体）は７つのパラメタで表される。
・軌道面傾斜角ｉ、昇交点経度Ω
・長半径ａ、離心率ｅ、近(地/日)点引数ω
・真近点離角φ、時刻Ｔ

ｉとΩは楕円が載っている平面を指定する。反時計を正常回りとし、
軌道平面の法線ベクトルをｎとし、ｚとｎとの角をｉと定義する。
これではｚ軸からどちらに傾いているかわからないので、もう一つパラメタ要。
ｘｙ平面と軌道平面は原点を通る直線で交差する。直線は原点から見て両方向ある
けれど、ｚ軸下半分から上に公転体が抜ける方（昇交点）を選び、
ｘ軸正からの反時計回り角度Ω。

軌道楕円をａｅωで正確に指定する。長半径と離心率で楕円の形は決まる。
それがどのような位置に置かれているかが問題になる。まず原点は楕円の一つの焦点。
昇交点という３次元空間の１点がｘｙ面と軌道の交点で決まったことを思い起してほしい。
楕円に遠地点と近地点がある。軌道平面内において昇交点方向から近地点方向への
反時計回り角度ω。

現時点での位置はどこだろう。これを軌道平面内において近地点方向からの反時計回り角度
で真近点離角と呼ぶ。そして現在時刻。運動を除く全ての力学量が書かれた。
ｉΩａｅωφＴは全て正の実数のスカラー量。ωとφは同一性質の量なので足し算ができる。

[476 名無電力１４００１ 2021/08/22(日) 17:20:47.64]

古典力学の摂動には少なくとも４通り以上の方法がある。
摂動とは、厳密解のハミルトニアンをＨ0とする時、Ｈ = Ｈ0 + εΔH
という付加項がついたハミルトニアンの解を、微小パラメータεの級数展開
で表す手法を呼ぶ。それができるのなら、何でもよい。

これからも新しい方法を見つけられる可能性はある。
色々な摂動を論理的に整理して、他の方法を提示すればフライバイや地球の変形
の考慮の多い航空宇宙にも有用だろう。地球物理学の変形摂動値から透視するのにもなる、

天体力学では、ハミルトンヤコビ理論の作用変数-角変数論を
抽象理論の一つの究極として、そこから摂動も一般相対論の検証も出発するが、
上記摂動の趣旨ではもっと原始的にニュートン力学からも構成していいものである。
高校物理に少し入れるかまたはその水準で扱える形式を作ろう。


さて力学方程式は力学変数や定数に四則や根号、微分積分を作用させたもの。
方程式⇔解の区別があることは記憶に銘記。F=-gtと放物線y=y(x)のように。

方程式を f = 0 とおく。 f = g + h と分けて、g = - h
gとhそれぞれの中に、変数や定数の四則と根号と微積が入っている。

厳密解の1つを持って来て (x0(t),y0(t)) のような形に書かれているとする。
右辺にだけ代入する。左辺のxとyは未知数のままとする。
連立方程式のことも合わせ、左辺のxとyについて解き、x1(t)とy1(t)と名づけよう。
再度右辺にx1とy1を代入して、連立方程式を解き、xn(t)とyn(t)を求めて行ける。
なんかアルゴリズムができた。

もともと方程式 f = 0だったのだけれど、左右分割して計算論を構築できたのだ。
ここで、右辺にεが掛かっているような、g = - εh にしたらどうだろう。
xn(t)とyn(t)の精度は上がっていく。これが摂動である。

[477 名無電力１４００１ 2021/08/23(月) 23:30:47.16]

　　　　　　　　　　∧_∧　
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　　　　　　　ﾉ:::::::::::::::::::::::::::ゝ
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　　　　　　　　　∧_∧　ﾁﾝﾎﾟ出していきましょう　ｴｰｻﾞｲ
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〔ﾉ二二,＿＿_　　　　　　　＿＿,二二ヽ〕
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　ヽ:::::::::::::::::/　／::::::::::::＼　):::::::::::::::::::ゝ
　ﾉ:::::::::::::::::::|　|〜── -|　|〜〜〜/

[478 名無電力１４００１ 2021/08/29(日) 17:15:33.52]

数値積分の話をする。
廃炉は工学だから色々な算法を知っていた方がいいし、理論な面でも
数値計算は実数体、摂動論は代数初等関数式体、後者に向ける類推ゲームがそこから可能。

数値計算は実際の数を動かしてその和などを求めている。
一方、同じような式外見でも、後者が求めるのは階層を降りるにつれ
複雑になっていく摂動式。前者の方が簡単な分、手法が広がっていて
なるべく式論数学に持ち込もうと頑張れば摂動計算の新方法が大々開発される代物。

関係として整数環論と多項式環論の間柄にあると言える。
今後の展開は来週がアンテナ、次が類体、その次がグラフ、その次がROS、その次が造船。

さてでは数値積分がらみをまとめてみる。
区間[a,b]でf(x)を積分する。xを1次変形して[0,1]区間にすることもある。
[a,b]を幅hでN等分してh=(b-a)/N、各縦帯ごとにサンプル点を取り
I = ∫[a,b] f(x) dx = Σ{i} h * f(x + (i+ξ) h) とするのが1つの方法。0≦ξ<1

また各帯ごとに、左右端の値を取り、
I = Σ{i} h * {f(x+ih) + f(x+(i+1)h)}/2 とするのがその次の方法。
区間の途中点は隣接帯で重複するので係数2にしてもう少し整理できる。台形公式。
これらはNewton-Cotes公式の0番目と1番目の方法とも言う。
以上2つは高校1年生でもできる方法。
Newton-Cotes公式の2番目の方法をSimpson公式と言う。この辺から数学になる。

�@Simpson公式�ARomberg反復�B未定係数�CGauss直交多項式
�DEuler-Maclaurin-Bernoulliの5方法と、�E直交多項式の性質�FLagrange補間式、
�GNewton前進補間式�Hスプライン補間式�IVandermonde行列の5トピを押さえればいいだろう。
これらの要点を知り誤差評価の結果まで把握しておけば学習終わりである。

以下にそれを書く。[a,b]を幅hに等分するという方法では無くなる。
I = Σ{i} ai f(xi) という式になる。まあ最後まで読んでくれればいい。

[479 名無電力１４００１ 2021/08/29(日) 17:18:00.55]

�@台形公式は各帯ごとに h/2 {f(左) + f(右)} を計算し足すのだった。
Simpson公式は各帯ごとに h/6 {f(左) + 4 f(中) + f(右)} を計算し足す物。
非自明な係数構造を導出するのに、左=xl(=xi)、中=xm(=xi+h/2)、右=xr(=xi+h)と置く。

まずこんな物を設定する。
f(x) ≒ 1/h^2 {2(x-xm)(x-xr) f(xl) - 4(x-xl)(x-xr) f(xm) + 2(x-xl)(x-xm) f(xr)}
この近似式はxl、xm、xrに於いては等号成立していることが計算出来る。
またこの近似式はxに関する2次式で、与えられた3点を通る物と見なせる。
この形状の近似式を�FLagrange補間式と言い、つないで帯に跨った区分化関数のことを
�Hスプライン補間式と呼ぶ。与えられたn+1点を通るn次式の一般式を書くと
Vandermonde行列の正則性と因数定理からそのn次式は一意存在すると示される。

さてその近似2次多項式を∫[xl,xr] f(x) dx としての積分する。
1/h^2 ∫[xl,xr] {2(x-xm)(x-xr) f(左) - 4(x-xl)(x-xr) f(中) + 2(x-xl)(x-xm) f(右)} dx
x - xl = u と置く
= 1/h^2 ∫[0,h] {2(u-h/2)(u-h) f(左) - 4u(u-h) f(中) + 2u(u-h/2) f(右)} du
= 1/h^2 ∫[0,h] {2 (u^2 - 3/2 h u + h^2/2) f(左) - 4 (u^2 - h u) f(中) + 2 (u^2 - h/2 u) f(右)} du
= 1/h^2 {2 (h^3/3 - 3/2 h h^2/2 + h^2/2 h) f(左) - 4 (h^3/3 - h h^2/2) f(中) + 2 (h^3/3 - h/2 h^2/2) f(右)}
= 1/h^2 {h^3/6 f(左) + 4h^3/6 f(中) + h^3/6 f(右)}
= h/6 {f(左) + 4 f(中) + f(右)}
Simpson公式が導かれたのである。
Newton-Cotes公式の3番目以降も公式の作って行き方は分かると思う。

[480 名無電力１４００１ 2021/08/29(日) 17:20:21.77]

�ARomberg反復法。台形公式で分割数を2^kとして、k→大としそれらの1次結合を採択する手法。
台形公式はわかりやすくSimpsonなどに比べても誰も文句をつけず曖昧にもならないで済む。
[a,b]の分割数を2^0=1から2^5=32ぐらいまでkを変えて台形公式の積分結果を出しておく。
これをT(k;0)と書き表す。最初のkは分割log2数、後の0は数値計算の内部ステップを表す。

Iが求める定積分問題、T(k;0)が2^k分割による台形公式の計算結果で
I ≒ T(k;0) なのだが、誤差がh = (b-a)/2^k の級数展開になると考えられる。
T(k,-)の誤差をhの級数に捉えるので、hが逆に各分割数の場合を同時支配しているような数理。
hの級数と見ても以下は辿れるのだが、h^2の級数と見てよいことがわかっている。

I = T(k;0) + c(1;0) h^2 + c(2;0) h^4 + …
この係数c(j;i)はhの関数ではない。
変数hの級数という言い方からhをh/2としても成立する。すると差を取る変形でh^2の項を消せる。
I = T(k+1;0) + c(1;0) h^2/4 + c(2;0) h^4/4^2 + …

3 I = 4 T(k+1;0) - T(k;0) + c(2;0) (4 - 4^2)/4^2 h^4 + …

T(k+1;1) = {4 T(k+1;0) - T(k;0)}/3、 c(j;1) = (4 - 4^j)/(3*4^j) と置くと
I = T(k+1;1) + 0 + c(2;1) h^4 + c(3;1) h^6 + …

精度がぐんと上がった新しい式が得られた。T(k;0)とT(k+1;0)を遥かに超えている精度。
T(k;0)とT(k+1;0)からT(k+1;1)を1次結合で作った。
各kについてこれをする。
その後、T(k;1)とT(k+1;1)からT(k+1;2)を1次結合でh^4の係数を消すように作る。
T(k+1;2) = {16 T(k+1;1) - T(k;1)}/15、 c(j;2) = (16 - 16^j)/(15*16^j)

この繰り返しで基礎台形積分データから高い精度の積分結果を算出するのがRomberg法。

[481 名無電力１４００１ 2021/08/29(日) 17:22:55.32]

�B未定係数の方法。等分割の思考からは離れる。
I = ∫[a,b] f(x) dx = Σ{i=0..n} ai f(xi)

この式を x0, x1, …, xn という n+1個のサンプル採取点は定められていて
f(x) = 1, x, x^2, …, x^n という n+1個の単項多項式についての等号を要請して
n+1連立の1次方程式から
a0, a1, …, an という n+1個の未定係数を決定するようにしよう。
その小問はxiを決めれば確定しaiが先に全部書き出せる。

その結果のaiを、一般関数f(x)に使い区間[a,b]定積分の評価に用いる。
f(x) = x^j に対し、右辺は Σ{i} xi^j ai
左辺は、x^(j+1)/j |[a,b] = (b^(j+1) - a^(j+1))/j
右辺の係数行列 xi^j はVandermonde行列で正則なのでaiは常に求まる。

[482 名無電力１４００１ 2021/08/29(日) 17:25:23.48]

�E直交多項式なるものの説明と有用性質。自身より低い次数の全ての多項式に対して
内積が0になるという性質が積分近似を容易にし精度を向上させる。その積分法利用。
多項式の世界で考える。p0(x) = 1 とする。

∫[0,1] pj(x) pk(x) dx = λj δ(jk) となるように
pj(x)を漸化式で先の方まで決めていくことが出来る。
λjはjごとの定数であり、理論にとって都合がいいように決められる。
この決め方でpj(x)は最小有意味に構成するためj次多項式となる。
pj(x)の係数はp0(x),…,p(j-1)(x)までとの内積を0にする方程式で係数が完全に決まってしまう。
つまり直交条件の漸化式だけで、直交多項式列は定まって行く。

これだけだと事実上1種類しかないので、
<j|k> = ∫[a,b] pj(x) pk(x) w(x) dx = λj δ(jk)
という重みw(x)を持つことで色々な形が現れるように出来る。
ルジャンドル、エルミート、ラゲール、チェビシェフは全てこの形で得られる。

さて、任意のn-1次多項式g(x)を持ってくると、その最高次係数とp(n-1)(x)の何倍かとを合わせ
次に差とp(n-2)(x)の何倍かとを合わせ、という方法で
g(x) = Σ[j=n-1..0] bi pj(x) という形の線形基底展開が出来る。
これに対し、pn(x)と上記の意味の内積は、展開各項で<n|j>=0なので0。
という性質が、直交多項式の零点を用いたラグランジュ補間式の数値積分という
数値計算法に対して性質の良さを証明する根拠となる。

[483 名無電力１４００１ 2021/08/29(日) 17:28:10.63]

�C直交多項式の中でもw(x)=1の場合が球関数のルジャンドル多項式である。
基本と思われて使われやすい。ルジャンドルではλj=1/(2j+1)と取る。
以下に書くガウスの求積法はどの直交多項式でも使える。

前発言中の直交多項式の積分区間[a,b]を、問題定積分の積分区間[a,b]に一致させる。
直交多項式の性質として、pn(x)は[a,b]にちょうどn個の重根ではない実数根を持つ。
その証明は数値計算本には半頁ほどの記述だが省略。

n標本点型の近似をすると決め、[a,b]間で、n次の直交多項式pn(x)と、
pn(x)の零点x1,…,xnを用いた n-1次のLagrange補間多項式f(n-1)(x)を作る。
Simpsonの時も2次の補間式は3個の点を用いた3項の和だった。
f(n-1)(x) = Σ{i=1..n} [Π{j=1..n, j≠i} (x - xj)/(xi - xj)] f(xi)
Simpson時の↓の式でも分数の分母がこの形である。
1/h^2 {2(x-xm)(x-xr) f(xl) - 4(x-xl)(x-xr) f(xm) + 2(x-xl)(x-xm) f(xr)}

∫[a,b] f(x) w(x) dxを求めよう。公式を作り後からf/wを入れれば問題が解ける。
このf(x)をf(n-1)(x)とするのがガウス直交多項式数値積分法。

I = ∫[a,b] f(n-1)(x) w(x) dx
= ∫[a,b] {Σ{i=1..n} [Π…] f(xi)} w(x) dx
= Σ{i=1..n} {∫[a,b] [Π…] w(x) dx} f(xi)
= Σ{i=1..n} ai f(xi)

ai = ∫[a,b] [Π{j=1..n, j≠i} (x - xj)/(xi - xj)] w(x) dx
aiは、直交多項式のpn(x)の零点と直交多項式定義用のw(x)で計算されて
f(x)には関係していない。なので予め計算してあらゆるf(x)に適用が出来る。
このn標本点公式は被積分関数f(x)が2n-1次多項式の場合まで正しい値を与えて
n標本点和の形の数値積分式では一番精度がいいと言う。

[484 名無電力１４００１ 2021/09/05(日) 17:30:26.86]

電磁気の応用編に高周波論とアンテナ論がある。
高周波論…伝送線、その等価回路、導波管、同軸ケーブル、スミスチャート
アンテナ論…アンテナの形状と遠隔点での放射電磁界を求める方法

高周波論の伝送線はいわゆる送電の工学数理モデルで超大事である。
今回のはアンテナ論。色々な仕組みと考え方と疑問と。
学習がまだ終わっていないので抜け穴が多いまま語らざるを得ない。
それでも半分を語り他の機会に残り半分を埋めるという方法を選ぶ。

この方法でも全体像はかなり分かるから読む者の勉強になるだろうし
むしろテキストに書いてない感じ。テキストには実験結果のグラフが沢山
乗っていて関数形の数理演繹が無かったり、八木宇田アンテナのような
のもグラフだけで演繹が無くてつかみ切れなかったというような事情で
足りない分をもっと探して集めようとしているのが個人の現状。

今後にそういうのも含めて電気工学科の内容は５回ぐらいやると仕上がる
だろうけれど、続けてでなく行き当たりばったり間欠的に電気話を予定。

本論に入る。
アンテナの金属体は働きにより３種類の役割に分類される。
１つは中に電流を通すもの。通して給電されるのは交流電流である。
それも信号に応じてわずかに変化させているような変調の乗った交流電流。
アンテナ体はその電流を起源とするビオ・サバールの法則で遠方電界を定める。

２つめは中に電流の通らない導体。
給電はゼロだけれど電磁界を引き込んで指向性を変えるのに使う。
３つめは反射板としての素子。パラボラの鏡のことである。
４つめとして地面や地表の反対に置かれる仮想鏡映のアンテナ。

おおよそこれで全てと言える。
廃炉の現場でも無線通信について市販品を買うだけでなく、何か
電気屋っぽく手作り品を作って使おう。

[485 名無電力１４００１ 2021/09/05(日) 17:33:27.13]

アンテナの形状と役割について読者ももう想像がつくようになったはず。
つまり給電的本体部、只の置かれる金属、反射板、地面と鏡映など、
に分かれるのであるから、まずは給電的本体がアンテナの中枢部なのだな
他の３つはそれを上手く変化させるものなのだな、形状が多少複雑なのでも
どういう思考で他の３つのが形状配置されているか理解すれば、
アンテナを理解したことになるわけだな、と。

｜||| 例えば八木宇田アンテナはこういうものである。
一番左が線状中央給電アンテナ素子、右の３つが非給電の線状金属素子。
間隔は送受信したい電波の波長の半分程度とする。
さらに左に反射用のもっと長い線状金属素子を置くこともある。

このとき右方向に強い指向性を持つ。
それはどういうことか、であるが、送信の時、一番左の素子に信号変調交流
が入ったとしよう。入るとはどういうことか、であるが
[電源回路]＝[アンテナ素子] 等号ではなく電線２本だと思ってほしい。
電源回路から２本の線で来る交流電流が、アンテナ素子自体は、線状では
先が途切れて、円状では閉じているという、線路の開いてる閉じているにも
種類があるが、その付け根部から電圧が入る。
それがアンテナの入力になる。

もちろん３相交流のときは２相化してアンテナに使う。そもそも３相交流は
大電力を振幅の時間変化が無く送るものなので、微妙物な使用時には２相にする。
変換は別の機会にまとめるが、トランスとコイルを用いて、パズル的に
これとこれの組の電圧の行き先はこう、というのがトランス-コイル回路の左と
右で上手く合っていて、右で通常の２相電力が取れるようなもの。

さてマックスウェル方程式は、境界条件が与えられると、解が求まる。
少なくとも数値計算で、金属素子があったり、そこに局所電流があったりの
どんな状況に対しても真空電磁界が求められることが出来て、
ただのそれがアンテナの定常放射解となる。

[486 名無電力１４００１ 2021/09/05(日) 17:36:25.89]

光速は非常に速く、各種素子金属上の電流分布が変化したとき、
その影響は全ての空間の電磁界を即座に変える。
交流の電流変化する速度は、変化を反映させる過程の速度よりも遅いので
人間的には交流であっても各瞬間各瞬間ごとには定常電流であって、
その反映としての遠方電磁界とみなすことが出来る。

また金属の存在は、その表面方向には電界が存在しないという条件となる。
電流と金属存在という２種類の境界条件からマックスウェル方程式を
力技の数値計算で解き、定常状態を求める。

交流変化も速く時間性が入って来るときは、素子上の電流からの影響性の広がりを、
各点からの遅延ポテンシャルの素子形状積分とすると
時間変化するときの解が正確に求められる。
これは十分遠方で性質一定のまま伝搬していくようなもの即ち電磁波となっている。
アンテナというのは、線を流れる電流が、電力が途中で抜けていくので
給電端子から少し離れるだけで振幅がどんどん減って行くようなものになる。
これに関して電力または電力エネルギーの保存という式があると表せる。

このような方法で八木宇田アンテナでも、数値計算として右方向にばかり
大振幅で出、また諸方面から電磁波振動があるとき右方向からのに
特に感度がいい、という数値計算が構成されるのである。八木宇田は旧テレビによくあった。

遅延ポテンシャルというのは、時間の遅れ情報のついたビオサバールの
法則である。アンテナ論に関しては、境界条件付きマックスウェル方程式の解と
遅延ポテンシャルの形状積分としての解と、２通りのプログラムを用意して
おくと柔軟にどんな形状のアンテナの放射特性も計算できるとなる。

ここまでの説明で分野の物の考え方はわかったと思う。
手がかりは何で何を与えたら解明したことになるのかというのは伝わったろう。

[487 名無電力１４００１ 2021/09/05(日) 17:38:53.90]

線状ダイポールアンテナ、円状アンテナ、線状モノポールアンテナ。
パラボラアンテナ、ホーンアンテナ等。

上は給電素子のみのアンテナ。下は給電素子を焦点におき反射鏡でそこに
誘導してくるアンテナ。と言うと下のは単なる幾何学的に集めて来ればいいので
電磁波論よりはもっと原始的でいいんだなと納得されると思う。そんな感じ。
単なる幾何学的鏡なのだからと片付いて、考えるべき物はだいぶ少なくなる。

また上のも微小直線電流の作る遠方電磁界や、
またはそれに時間要素も付け加えた遅延ポテンシャル。の積分ということで
統一的に導入される。その話と、鏡映計算法の話と、
直列共振・並列共振という新しい話と、二本目のアンテナの効果を話す。

=| 上は┘下は┐的につながり上と下は切れているとして
中央に信号交流が給電される、こういうのが線状ダイポールアンテナである。
線としての形状は２本の線が開いて終わっている閉じていない回路素子。
電流はどう流れるの？と思うかもしれないけれど、交流電圧を掛けると適当に
線内に入るのである。そして電力が外部電磁界を作るために出て行く。
電力保存の条件を入れると電流は中央部で最大で端では０の実験と計算の結果。

Ｃ= 英字cの都合で左右が逆だがおたまのような形に円路を信号交流が流れる
のが円状アンテナである。ダイポールと円はじつは軸対称という意味では
ほとんど同じような形状で、同じような外部電磁界を作る。

｜｜ 線状アンテナが２つあったとする。もし間隔が波長の半分で、
中央部給電の交流はどちらも同じだったとする。左から出た電磁界〜
遅延ポテンシャル〜時間要素付きビオサバール効果〜電磁波は、
右方向に進んで行ったら、右からの電磁波と位相が180度ずれ打ち消し合う。
すると両アンテナの存在する平面沿いの方向に出て行く電磁波は無くなる。
片やその垂直には打ち消しはない。
これにより指向性が垂直方向でずっと強いと導かれる。

[488 名無電力１４００１ 2021/09/05(日) 17:41:14.89]

このように指向性の概念はアンテナが複数あると作りやすい。
八木宇田はこの効果の最適設計した物である。但し八木宇田では
２番目以降は無給電アンテナなので２番目以降のアンテナからは上の意味の
打ち消しや増幅というのではなく、電界境界条件と誘導素子電流によって
指向性生成効果を起こしている、と思う。
その八木宇田をきちんと書く数式を改めて調べたい。

違う観点からもアンテナ論の考え方があり、それを書く。
送信アンテナには端子があって給電し、そこには電圧と電流が交流としてある。
位相情報を偏角に乗せた人工的な複素数を作って複素電圧、複素電流とも呼べる。
受信アンテナからもやはり端子があって複素電圧と複素電流が取れる。

するとこれは四端子の電気等価回路とも呼べる。中の空間に距離感があるだけである。
V1 = Z11 I1 + Z12 I2
V2 = Z21 I1 + Z22 I2
四端子等価回路はこのような、行列形式オームの法則を持つ。
1は送信、2は受信で、Zはインピーダンス。
Z12とZ21は等しい。この証明。

さらに今度は四端子回路を、２つ送信アンテナがある場合のものと見なしたら
相互干渉の強さが、Z12とZ21に表れる。
送信がｎアンテナ、受信が１なら、２(ｎ＋１)端子回路として行列でも表される。

八木宇田に関して、このような形で、給電1つと無給電複数の送信アンテナについて
○端子等価回路として代数的な性質を求めておいて、そこにある距離変数を動かすことで
性質を一般記述するというのが、遅延ポテンシャルの形状積分とは別の方法になる。

鏡映計算法は、地面は導体であり、そこで電界の水平成分が無いとすると
地中に鏡映して計算しても、解の一意性から正しい解が求まるというもので
地面に近いアンテナについて、この方法を使うことが出来る。

[489 名無電力１４００１ 2021/09/05(日) 17:45:57.16]

モノポールアンテナというのはトランシーバーや携帯端末のアンテナである。
機械から棒が一本のびている。大型で地面に近い物は鏡映と合わせたダイポールと
みなすこともある。小さい浮かせて使う物は、一端子の単純機械。
交流電圧が端子に加わることと、電力が出て行くことと、電力エネルギーの保存。
保存とは付け根からｄ＋δ位置の電流のエネルギーが、ｄ位置の電流のエネルギー
からそのδで電磁波になったエネルギーを引いた物、という意味。
この数値計算で結果と性能情報を求められる。

最後に直列共振・並列共振の話をする。いままでのは局所部分ごとに
マックスウェルの方程式を適用して合わせる、多端子電気回路の等価回路にする、
のようなものだったが、共振というのは固有振動から得られる情報を読み解くもので
アンテナ現象への第三の捉え方である。

なぜそんな話が出て来るのだろう。今までの話の構造を思い起こしてほしい。
電磁波には波長があるが、確かに２送信アンテナの距離が半波長だと打ち消す方向がある
という言い方はあったが、１つの線状アンテナの長さが波長に近い時
発信特性に影響するのでは、という話が無かった。これである。

給電端に入れる交流の周波数を変えていき、線状アンテナと円状アンテナで
影響性を見てみる。結果は顕著である。ある周波数において給電端からの電流進入が
とてもよくなり、電流振幅の極大ピークを示す。これが直列共振であり
線状アンテナではアンテナ長(端から端までの長さ)が波長の半奇数倍のとき、
円状アンテナではアンテナ長(円周の長さ)が波長の整数倍のとき。
一方、線状では整数倍、円状では半奇数倍のとき抵抗が最大で並列共振という。
名前の由来は、対応電気回路でもLRC素子配置がそうならそうというもののため。
波長、その整数倍、半奇数倍などと言うが三角関数の性質か、実際のピークは
それとわずかにずれた所に出来る。その理由。

まとめ、素子ごとに遅延ポテンシャル＝時間つきビオサバールの形状積分を基本とし
等価回路の代数分析と、共振現象の振動分析を捉え方として加え、あとは数値計算の
力技でこの意味では流体のように、性質を解くのがアンテナ論。
パラボラは単なる幾何誘導で、八木宇田は無給電の一列並列線状を使う指向向上法だった。

[490 名無電力１４００１ 2021/09/12(日) 17:13:34.17]

類体論の話をしてみる。期待に応えられるほどではない。
教える立場でではなく勉強する立場での話である。

創始者は我が国嚆矢の数学者。高木貞治さん。
岐阜県出身で第三高等学校を卒業しているんだってさ。
第三というのはその他という意味ではなく固有名詞。常識だね。

最もその当時はドイツが数論の中心地でガウスの刺激によりドイツ中が数論で沸いていた。
その中に留学して問題意識を得た。こういうことはあって、アインシュタインにより
ユダヤ人科学者が非常に増えた。テキトウにランク付けすると１がアインシュタイン
２がヴェイユ、３がファインマン、４がグロタンディーク、５がウィッテン。
その以前はそうではなかったんだよね。

我が国では高木貞治さんの影響により数論の国際教科書に十人も名が
乗るほど数論に貢献ができた。王貞治さんと関係があるのかは知らん。王さんは日本で
生まれ育っているから名のちなみはあるだろうね。数学界からスポーツへの影響。

で原子力の何に使うのかと言うことだけど、こんな所でしょう。

この辺の分野になると暗号ですらも使われていない。
誰かに類体論暗号を考えてもらう。そのことで施設管理や通信のセキュリティを
向上し保全力とする。まず一般相互法則のパソコンプログラム。

理論に何かの工夫をするときに、すぐに包括的な代数学の枠組みをまず差し込む。
操作はこれで、状態空間はこれで等。そうするとだいたいはすぐに、和と積が
定まっているような環の構造が表れる。環には素イデアルがあって、
素イデアルの新しい性質を一つの理論にしたものが類体論なので、何か使える。

一つ前の段落に戻るが、平方剰余の相互法則という数論の性質がある。
調べてみれば、すぐわかり、ああそうなのと大して普通は興味を持たない性質
かなと思う。しかし暗号屋とすればこんなのこそは工夫の出発点の法則。
２乗ではなく一般べき乗剰余の相互法則に仕上げたのが類体論でもある。使えそうだね。

[491 名無電力１４００１ 2021/09/12(日) 17:18:27.79]

数論と代数幾何の平行関係がある。代数幾何は特異点やひもの散乱振幅に表れる。
表れるというのも数学的にはほのかに立ち見えて来るという感じがあってこっちのがいいね。
ばんと登場する現れるや、影の構造が隙間から顔を出すという意味に無駄に含みの多い顕れるより。

数論と代数幾何の平行関係があるということは、片方が発展すると片方に
その影響がなだれ込んでいくということ。数論の方を発展させると、代数幾何の
発展が期待される。そうすると特異点やひもの散乱振幅に対する攻略に進歩がある。
はいつながった。これが本義。

原子力のパワー溢れる電力発電の方にまだ使えるかわからないけれど、抽象素粒子論の方に
原子力の基礎理論があるとして、そこに現われる代数幾何に数論からのより精密化の
進歩の圧力をかけるということ。今回そのために言及しています。
数論→代数幾何→量子場→原子力工学の方にきっと役立つはずだと思って。

内容の方に少しずつ入って行く。
数論は整数環、代数幾何は多項式環、どちらも環であることで平行関係があり
逆に多項式環で現れた図形理論が、数論に写されて数論幾何と称する分野になる。

ここで大事なこととして、それでも全く別個のものであること。
整数に素数がある。ではその代数幾何版は、素数に不定変数をつけたものなのかというと
そうではない。不定変数をつけて延長することで作るわけではない。
代数幾何版の素数は、既約多項式。係数の状況により既約多項式は変わり
係数が整数ならば初等的なそれで、係数が複素数ならば一次式のみの全部。
これが素数とは無縁な、多項式論から独自に出て来る対象だというのは納得されると思う。

整数論に類体論という一つの理論があるとして、代数幾何版を作るべくその形を探すとき
不定変数をつけてやるわけではなく、それでは単なる係数環の性質に過ぎず、
多項式環の構造から独自に平行現象を探す。

難しいと外部評価があることでも平気で取り組んでいけば、そのうち目に見えて進歩があると思うし
廃炉に時間がかかることをこれ幸いとばかりに学んでいけばいいと思う。

[492 名無電力１４００１ 2021/09/12(日) 17:22:19.60]

また類体論の体系は量子力学に似ている。量子力学は演算子があって状態空間に作用する。
その把握形式で現象と問題に合わせ広げ進めて行って作る理論が量子力学である。
類体論ではガロア群Gが状態用の加群Aに作用する。確かに対応しているね。
この意味で量子論がこれから何か工夫するときの参考になる可能性がある。

理論の主要部全部をこのスレで例のごとく十発言ぐらいで書き出したいと思うが
勉強中なので結構いい加減だし、出来なかったら時間が開くだろう。
個人の進捗としては、言語の把握は出来てて、定理の組み立てはまだ、証明もまだの感じ。
なんか数値計算か記号かのコンピュータプログラム用のネタも引き出してまとめたいと探してる。
理論が圏論を使うともっと整理できそうで、類体論の理論自体にも何かできそうと思ってる。
なおガロア理論後半のアルティンシュライアー拡大とウィットベクトルというのが
類体論の方に出るので勉強中の人は知っておくとよし。

体ｋがあり、ｋの代数閉包は同型を除いて一意なのでΩとする。
ｋ⊂Ｋ⊂Ｌ⊂Ψ⊂Ω、のような包含関係の場所で、理論を作る。
全部が基礎体ｋのガロア(正規かつ分離)拡大である。
Ψは分離閉包。すなわちΨ→Ωは純非分離拡大になってしまう最大のがΨ。

ガロア群Gal(L/K)とは、K⊂Lが体の拡大の時に、L→Lの全単射であって、Kの元を動かさず
和演算・積演算と保存整合するような写像、の全部が為す写像合成を積とする群。

類体論でガロア群は下から見るのではなく上を見て作る。G{K} = Gal(Ω/K)
これは無限群であって、下から見るGal(K/k)よりも内容が豊富で動かしやすい。
G{K}はA{K}に作用する。これは群の作用というものですぐ下に書く。

{K}は添字、各体Kごとにこれらが定まる。いうなればGとAは圏論の自然変換で
数論コホモロジーは同変コホモロジー。とても難しそうな言葉を言っているが意味は
単に添字と整合していること。数列のa_iも関数のf(x)もiやxは添字の一種で、これらを
扱う言葉であり、自然変換というのは添字がついてて適当に整合してる対象だと覚える。

[493 名無電力１４００１ 2021/09/12(日) 17:25:57.70]

話は変わるが、量子力学⇔類体論(数論コホモロジー)⇔リー群コホモロジー。
リー群と量子力学がつながるので何か新しいヒントがまたここにあるはずと思う。

イデール類群というものが出て来る。これはヒストグラムのことである。
横軸が素数、縦軸がその個数。有理数の分数を素因子に分解する様子を思えば
初等的な概念だなと思ってもらっていい。代数幾何の因子類群も同じものである。
G{K}が作用する相手の加群A{K}は、このイデール類群。

基礎体ｋが有理数体で、代数閉包Ωが複素数の部分体というのが類体論の
標準的な場所である。抽象理論になるとｋをｐ進数体にもとれる。

有理数体から代数閉包に体拡大していくときに、素数が壊れて行く。
i = √-1が入ると、5 = (2+i)(2-i)のようになってしまう。
√-5が入ると、6 = 2・3 = (1+√-5)(1-√-5)
素因数分解の一意性も怪しくなっている。実際一意性が失われていて
かわりに(2, 1+√-5)というようなイデアルが素数の役目を継承する。
これは、2 a + (1+√-5) b (a,b∈Z[√-5]) のような数全部の集合のことである。
√の中身が負の方が良い構造がある。類数というものの評価であり岩澤理論分野である。

ヒストグラムの横軸はこのように壊れてイデアルで置き換わって行く素数が担う。

さらに有理数と整数、Q[√-5]とZ[√-5]のようなものの違いにも注意する。
有理数を整数倍すると整数になるが、これを最高次係数が１の多項式の解が整数
でそうでないものが有理数という言い方と表現できる。
√-5をつけて拡張していくような時にもずっと同じ言い方が成り立つ。
集合をつくる時に、係数を有理数的か整数的か使い分けて概念をつくる。

以下ヒルベルトの理論と言うのと、類体論の定理群をきちんと書いて今日は閉める。
数論の他の理論でも使う一般的な話が多いので、大した行数でもないので
読んでおいてもらえればいいな。

[494 名無電力１４００１ 2021/09/12(日) 17:29:22.95]

類体論の主要命題は2つか3つで、(1)次数、(2)写像、(3)存在を表す。
Gal(L/K)が登場するが、Lの元に作用するなら普通の自己同型写像。
ここでは上で導入したA{L}に作用する。またGal(L/K) = G(K)/G(L)。

Gal(L/K) * A{L} → A{L}
群の作用、これを σ,x → f(σ,x) のように書いておこう。

(1)体拡大L/Kについて、L→Kという写像があり、ノルム写像という名がある。
ここではA{L}→A{K}という写像になる。

Gal(L/K)の元をσと呼び、
norm(A,L/K): A{L}∋x → Σ{σ∈Gal(L/K)} f(σ,x)
のことである。
作用の値域はA{L}だが、全部の写像について足すことでA{K}に入っている。

このとき、Gal(L/K)が可換群ならば、Gal(L/K) = A{K} / (norm(A,L/K) A{L})
が類体論の次数定理。分母は作用の像の群。高木のものである。
1と-1が同じものを作ることなどを無限素点という言葉で精密化して、
形式をまとめている。右辺の割り算は大学2年生の群論の意味の剰余群。
さらにパラメータを1つ入れて、Gal(L/K,m) = A{K,m} / (norm(A,L/K) A{L,m})
としてある。左辺は合同イデアル群という新しい名。mはKの任意のイデアル。

証明は本来の証明はともかく今は、群の作用の抽象論を作り、よくあることで
コホモロジーのところに答があるので、上の式までをまず定式化する。
その抽象論が適用されるための条件に候補A{K}の性質を示して当てはめる。
A{K}が体Kの可換乗法を加群と見るものが局所類体論。
A{K}が体Kのイデール類群というものと見るのが大域類体論と呼ばれる。

[495 名無電力１４００１ 2021/09/12(日) 17:33:30.36]

(2)(1)のような可換群の同型があるなら、同型写像を作れる。
これを相互写像、定理をアルティンの一般相互法則と言う。
調べたいのだがクンマー理論という別の理論との組み合わせで
平方剰余の相互法則を、任意次数に拡張した結果を出せるという。

相互写像 r{L/K}: Gal(L/K,m)∋σ → h(σ) mod (norm(A,L/K) A{L,m})
という形状をしている。hを定めるときに、付値という仕組みを一遍に扱う理論を作る。
付値とは、或る素数について何乗を因子を持っているかという量で初等的。
拡大しても素イデアルに関する話とはならなく有理素数(と∞素点)にのみ定義される。
G(K)→Zhatという行き先を巡回群の射影極限という物にして一遍に扱う。

この時、この付値が1の元σの行き先を、h(σ) = norm(M/K,m)(π_M)
という物にして、体の演算で拡張してhを定義する。
K⊂M⊂LはKを含みσが動かさない最大の体、π_MはMの素元で、取り方の任意性に
依存しないことが証明される。


(3)数学でしばしば存在定理というのがある。それは性質を内包的に要求して
理論を展開するときに、理論の適用される中身が空っぽでないことを示す。
その方法は集合論で外延を構成することである。

「このような組立ての集合の、直積と同値商と実数等への写像と、などの構成で
単純集合から始めて、内包性質を満たす集合構造体を作れる」、と。
代数閉包の存在証明がそうだった。１か月ほど前に無省略に書いてる。

類体論での存在証明は Gal(L/K,m)に対して右辺形式はあるが、そのLを示す。
順序立てると、上側を代数閉包Ωとし m⊂Kとの合同イデアル群から部分群をとり
Gal(Ω/K,m)の部分群H(m)に対し、或るLがあってH(m)=Gal(L/K,m)を充足
していること、そのようなLの構成法を具体的に示す物。

以上で、作用のイデール類群への様子、イデール類群が体拡大時に分岐して
変わる様子、以外の理論の全貌をだいたい語った。

[496 名無電力１４００１ 2021/09/19(日) 17:19:24.00]

素人にわずか数レスで分野の全体をつかみ取って、自信を持って廃炉の
スケジュール立てに運用に出来るようになって貰うシリーズ。今回はグラフ。
途中で時事政治が入る。

グラフ理論の難しさはおよそ位相空間論程度。即ちかなり簡単。
なので門外漢と言わず構成だけは理解しよう。用途がいっぱいある。
本当は位相空間よりは難しいが、演算も同値関係も極限も抽象構造も現れない。

グラフのデータ構造は G = (V, E) 頂点集合と辺集合。
辺、弧、矢、矢印、射などの同じ物を示す言い方がある。
点の方は点か頂点の呼び方だけ、対象と言うこともある。

辺には始点と終点がある。いわば向き。これを有向グラフと言う。
片や無向グラフは、全部の辺がどちら向きであっても成り立つ性質を扱う。
無向グラフは有向グラフの特殊な場合である。

行列で bi = Mij aj と書ける。添え字は頂点から取る。i,j∈V
2回現れる添え字を足すのは行列によくある省略法。

j→i 矢印の情報が、Mij成分に書かれるように形式化出来ている。
もし各矢印が何かの量を担うなら、行列のそこに書けばよいのである。
例えば流れの理論では、有向辺流量をそこに書ける。
ただ接続しているだけなら、0を置いておき、0と1の行列が接続行列と呼ばれる。

無向グラフはMijとMjiのどちらに置くかが曖昧になる。0.5ずつ置いたりもするが、
やはり有向グラフを基本にするのが余計な配慮もなくやりやすい。

2点i,jに対し i→j有向矢が p本までのグラフを p-グラフと言う。
1-グラフなら上の行列形式のまま。p-グラフは有向矢の分割で、1-グラフ化
することが出来る。p-グラフも良く考察される。都市間の道は1本でないので。

ここまでがデータ構造。グラフ理論の用語を書き連ねていく。包括的。

[497 名無電力１４００１ 2021/09/19(日) 17:24:10.82]

頂点の数|V|を位数という。頂点から出ている辺の数をその頂点の次数と言う。
全ての頂点の出入り辺の数が等しいグラフを正規と言う。
任意の2頂点がどちらかの矢でつながれているグラフを完全またはクリークと言う。
グラフはクリークの塊のような部分とそこから不完全に出る線と点と見られる。
n点クリークの頂点を隣接点が同じにならず彩色するにはn色が必要。

その点を去るとグラフが分断するような点を関節点と言う。
その辺を去るとグラフが分断するような点を橋と言う。
関節点を持たない連結極大な部分グラフをブロックと言う。
向きを度外視して輪になっているのを初等閉路と言う。
初等閉路の各頂点が或る点と辺の接続を持つとき車輪と言う。

辺に数値が付属しているものを輸送回路網と言う。点での湧き出しも有り得る。
電流や水流で発電所でも使われる構成である。容量上限値も付ける。
頂点ごとに値があってポテンシャルに出来る場合も扱う。

各点iに対して出辺がr(i)本、入辺がs(i)本でp-グラフとなっているような
グラフがあるとき、(r,s)をこのグラフの半次数と言う。
求めるアルゴリズムがFerrers図という一つの理論である。

除去するとグラフが連結でなくなる最小の頂点数を連結度と言う。
頂点数のことである。辺のことではないので注意。
除去するとグラフが連結でなくなる最小の辺数を辺連結度と言う。
全ての2点x,y間にx→yとy→x双方の有向道を作れるのを強連結グラフと言う。

辺集合Eの部分集合でどの2辺も隣接していないのをマッチング部分集合と言う。
対を作る問題の解析に使われる。全ての点が対相手を持つのを完全マッチングと言う。
辺に2種類あって交互に辿るのを交互道と言う。盤ゲームの状態図に使う。
整数c(i)の制約があって各点の次数がc(i)以下になる(V,E)の部分グラフを
求めるのをc-マッチング問題と言う。

[498 名無電力１４００１ 2021/09/19(日) 17:30:12.42]

双対グラフは、面の中心に点を取って、辺で接している場合つなぐ。
これは一意ではなく(V,E)の平面への投影の仕方による。
また辺の真ん中らへんに点を取って、同頂点を端としている場合につなぐ。
別の流儀である。後者の方が本来的。

ハミルトン閉路は全ての点を通る、オイラー閉路は全ての辺を通る。
Vの部分集合Sで、Sのどの2点も辺連結がない離散な時、安定と言う。
安定なSに取れる最大の点数を安定度α(G)と言う。
Vの部分集合Aが、V-Aの全ての点に対して、何らかの辺接続があるとき吸収的と言う。
吸収的Aの最小の点数を吸収数β(G)と言う。
Vの安定かつ吸収的な部分集合を核と言う。

グラフG=(V,E)に対し隣接点が同色にならない点の最小塗分け数を彩色数γ(G)と言う。
四色定理で双対の前者のグラフで国の真ん中に点をとった場合これになる。
接する辺が同色にならない辺の最小塗分け数を彩色指数q(G)と言う。
α(G)やγ(G)がクリーク(前述)、分割クリークの最小個数、クリーク形成頂点の最大数、
で表されるグラフをα完全、γ完全と言いα完全=γ完全という大定理がある。

隣接していない2点をつなぐ新しいグラフを連継と言う。
隣接2点を合体させて出入り辺を新点のものとする新しいグラフを縮約と言う。
点xに対し、xに接続する辺全部の集合をΓ(x)と書く。

グラフの直積は3通り考えられている。点については直積つまり個数は
個数の積 |V1|*|V2|*…*|Vn|。
辺は1つのグラフのからのみ継承、というのがデカルト和。
辺は全部のグラフから継承、というのがデカルト積。
部分集合I⊂Vを取り、I内点のみから継承するののあらゆるIについての和が正則積。
デカルト和では点構造は積だが斜め方向につながってる辺が何も無いのがイメージ。

点と線だけでなく点と線と面の高階グラフ理論もある。
これでだいたい基本的。飛ばして用途を書く。時事政治を言いたい。

[499 名無電力１４００１ 2021/09/19(日) 17:33:22.78]

皇室の方に文句を言いたいですねえ。
普通は一日でくたばるような仕事を、体を馴らしながら
毎日続けていくもの、それが職業です。
多くの人は十年近い訓練の後まともな定給を得れるようになる。それも高々数十万。
人生に関わるんだと思っての専門特訓ってやってますか。
社会活動は課外活動の延長ではないのですよ。

それをすると大切な物が壊れるからやめてくれと言われている時は
思いに耳を傾けるべきでしょう。ろくでなしが。
あなたみたいなバカな女何人も知ってるよ。
今回のお相手は凶悪犯罪者だと聞いていますがね。

専門の診察に任せますけれど彼女は適応障害ではないのですか。
依存症、嗜癖など複数の病理症状があるようです。真面目な人が陥った陥穽。
自己保全を含むまっとうな処世判断にも問題が生じていて、患者ご本人
の自主行動で動いてもらうことは容認しないほうがいいような状況に思います。
ほんと冗談じゃないですね。普通の見方なら両者精神科にその日のうちに放り込みます。

私は側室と不倫自由の回復派で貴族の自由意思否定派です。続く。
各国情報機関でも日本情勢の注視できれば影響行使を。

貴族はろくでなし人格に生まれた者が古来多いし、政治資源が近くにあるものだから、
ご本人が人生は一度しかないのだから、勝負！と政治行動を開始すると軋轢の元となる。
しかも政治好きはご勉強をされていない人に多い。ご本人がうっぷん晴らしして
社会が乱されることになるのです。藤原家の紫式部などは立派だったとは思いますが、
数多の何の内面美点すらも持ち得ぬような貴族が勝負のうっぷん晴らし行動をなされても、
社会が得る物は皆無です。ゆえに貴族が意思を持つことは原則として認めてはならないと結論されるのです。

[500 名無電力１４００１ 2021/09/19(日) 17:36:58.01]

頑張って政治以外の趣味世界に生き甲斐を見つけれるように努力してもらわなければならないし、
そう出来るよう手助けすることは周辺公務員の責務です。権力のニュアンスがあるから停止しなさいと、
誰か（権限者ではなく良識のある誰でもが発言者です）から言われることは、停止する必要があり
逸脱して、権力のニュアンスがあることを手助けすることは、公務員法違反です。

必要性を感じたらまた書きます。古来ある暴れ貴族の一事例として蟄居させるべきだと考えます。
処罰と更生の必要性を周囲がカンファしてコンセンサスを形成して臨めれば大した話ではないです。
手助けでも応援でも見守りでもなく処罰と更生そして医療措置だとまともな対応を望みます。
当然今回のご婚約未遂者は日本公共社会の敵でしかないです。
見た所日本の１億人がその意思を持ってるようで日本国憲法の主権者に則って私からも
進行停止と白紙化と正しい事件化を日本国家と天皇家と公務員に指示するものです。

老化の恐怖が大勢の女性をむしばむけれど相手にする必要がないもの。
もちろん医療的には商業機会を狙うけれど。
女性には老化の恐怖でハチャメチャなことをしているだけのようなおかしな人もいる。
ただ何かやりたいだけで、自分のやっていることをわかっていないんです。

病気の人と犯罪大量疑惑者の論理を通す道理はいささかもない。
大きな迷惑を蒙る日本社会のためにも、そんな軟弱なことをしてはならない。
かわいそうとかそんな問題じゃない。一人犠牲にしても仕方がない。
人はみなその立場を貰うのにどれだけ厳しい思いをするか、大学入学でも就職でも。
AV男優のようなのとくっつくことを許すと重要なものも一発で終わる。行政の仕方を不愉快に思う。

[501 名無電力１４００１ 2021/09/19(日) 17:40:52.31]

分子生物学から出て来るグラフ理論の問題。DNAを断片化して全読取りする。
部分一致によって断片と断片がつながれることがわかる。
断片集合をX、部分一致があるときE。これで断片を頂点とするグラフが作れる。
このグラフの特徴を抽象的に調べると、読取り総合のアルゴリズムを高速化できる。
分かっている特徴は三角グラフ、半順序、同一向き弧の存在が基本定理。
同一向き弧などはDNA問題なら当たり前。高分子薬理学にグラフ理論を入れたい。

グラフ理論はインターネットのモデル。ネット形式から見出し部を最適化など。
遺伝的アルゴリズムに対してグラフ分析により加速係数を投入する。
DNAのは実数分析なので、ルベーグ積分と同じである。ルベーグ積分を
その表現グラフの性質の極限として見ることで新しい定理を作れる。

ゲームの場面をグラフ点の情報として持つ。千日手やコウの存在を経験せずに予見的に出せる。
廃炉をゲームにして、状況をグラフ点に乗せれば、グラフ分析から
廃炉の抽象論を作れる。状況を書き下したいという願望がわき分析が進む。

一筆書き問題にすればゲームから作られる新しいゲームがある。
例えば４４トーラスオセロを考える。但し挟まれた石は除かれる。
右と左、上と下がそれぞれ同じ行、列に関して隣接している。
コンピュータプログラムを作って乱数打ちをすればずっと続くだろう。
なぜなら全マスが埋まるとき最後の石は他の石を取り終了状態にならない。

グラフの点にゲームの状態が乗っているとすると、ゲームの全状態は有限個
で有限有向グラフを作る。ではこの全状態を有向一筆書き問題として
全点辿る打ち方を求めてみよ。のような新ゲーム。
宇宙が時間の端でブラックホールが動き出して引っ繰り返るのだとすると
これと同じである。グラフ理論分析は新しい世界状態の捉え方を与えている。

粒子のファインマングラフとひものファインマングラフは構成が質的に異なる。
ひものファインマングラフでは頂点もはっきりしないまま分かれて散乱を記述し、
また開弦の境界に様々な接触的情報を有する。ひものが粒子のに還元されて両者の理論が
整合しているがグラフ理論としてどんな状況か。

[502 名無電力１４００１ 2021/09/26(日) 17:12:59.60]

ROS (Robot Operating System)
USB (Universal Serial Bus)
TCP/IP (Transmission Control Protocol/Internet Protocol)
を学んでみよう。我々の取り組むのはメカトロニクスという分野である。

思うにロボット業界はちょっと恥ずかしい。25年前のロボットがそのまま
日本のロボットとして代表格扱いに映像になっていると、
え開発進歩力はどうなの？ショーでなく実用になったの？
フロントランナーとして国際責任は果たした？

との心象を持たれる。国際質問には、すみません進んでないです。
と答えるしかないだろう。経済紙にも書かれてしまっている。
何かやれることがある。
一応、今回そこそこ勉強してみて、あと半年でロボット土建術の第一弾を解説できるぞ
との感触を抱いたので、個人的に宣言しておきたい。

間欠的にメカトロニクスを扱い、ブラックボックスの無いつまびらかさで
純素人がうなづけるような内容で、伝えられるようにしたいと思う。
我々は散文的な方法を取り、あっちこっち行き来するだろう。
WindowsとUNIXのデバイスドライバの回、材料力学のたわみの回、
ROS等と制御理論の融合の回、強化学習の回、土木機械論の回が今後多分ある。

ロボット土建術、これって廃炉そのものだというのはわかると思う。
発想としては難しくはなく、パソコンからリモート通信で分散プロセスを動かす。
分散というのは他の機械という意味である。リモートも遠隔。
Windowsパソコンでは、タスクマネージャーを起動すると、20以上のプロセスが
動いていることが確認できる。画像表示もプロセスである。

パソコンの画像やディスク操作に相当する、遠隔機械におけるそれを、
油圧アクチュエータやモーター操作とする。printfの代わりに、motor.rotate(a)
のようなコマンドをネットの向こうに送り、その通りにしてもらう。

[503 名無電力１４００１ 2021/09/26(日) 17:16:29.06]

鉱山やビル解体における土建機械の動きはこれでいい。
逆に向こうからセンサ値が返って来る。自動車でもそうなので理解されると思うが
今はあらゆるところに多くの情報やセンサが行きかっていて、機械と言っても
パソコン内部とあまり変わらないような状態になって来ている。

そこにモーターや油圧ポンプの動力をシステム内化すると実用機械になるのである。
外科手術機も同じである。以前にも書いたが原子炉建屋解体と歯の根幹治療が
同じようなものなので、アクチュエータの類別でスケールこそ大幅に違えど
同時完成出来るはずである。

原子力発電所と火力発電所も機械工学ではなく情報工学的なプロセスのアクチュエータ
として動くようにする案があるだろう。また、アクチュエータとセンサの情報行き来が
出来た後は、まあラジコンが出来たと言えるのだけれど、プログラミング的な操作術の
向上の話になる。そこを究めると逆にこんな機械がほしいと機械の提案がされる。
どんな機械がほしいか、つまり廃炉機械はソフトウェア的にロボットシステムを開発
した後でもう一度アイデアが出る。この機械と情報の相互切磋琢磨は、世界の情報化に
つながり哲学的なフィロソフィアとしての解釈があるだろう。

さて宇宙方面も面白いが、高齢者福祉機器を例にして機械と情報の双方向性を見よう。
手押し車は我が国で見掛けない日はないほどである。本質的に体重を支える機能のある
うば車である。情報性は全くない。また杖をついて歩く人も多数いる。これも機能だけで情報はない。

実は結構大きな事故や怪我が多いのである。手押し車は金属製なので、ソフト樹脂など
だと信用できないからだが、身体を挟んで動くと骨折してしまう。杖の方では、
路面の状態には対応しないものだから、滑ったり穴を開けて潜り込んだ時に、使用者
が思ったことと違い、やはり転ぶことがある。

これを情報化して、先に何が起きるかをパターンを登録しておいて、使用者に怪我を
させず、路面状態を見て杖先端が自動変化などを考えれる。
今回の動きにおいて、マイクロコンピュータを組み込んで、センサから怪我可能性の
察知と適切対応のデータを始動する、歩行補助器の実設計までを考えてる。
歩くことの覚束ない高齢者に廃炉してもらえる。

[504 名無電力１４００１ 2021/09/26(日) 17:19:17.11]

杖のAI化は登山者が下半身を長持ちさせることにも役立つ。林業農業も似たような機械化
だろう。人が登るのでなくカメラで見ながらジョイスティック林業し、除染も出来る。
ファミコンのコントローラのように、とまで言うと先走り過ぎだが、基礎技術から拾い上げて
気持ち程度の目標。潜水系のロボットも。海や湖の探査や炉内に潜るよう。
これを今後からは外観ではなく、システムとアクチュエータの仕様書として書いてみよう。

そんなことをメカトロ一般論にして、新知識が増え、また読む人が包括的に工学話題に
接することができて、5chのあそこで見たときはピンと来なかったが自分で取り組もうと
本を見たら、同じことが書いてあるじゃん、まとまってたんだ！という感じに思って
もらえるように工夫してまとめ書いてみたい。

一般にソフトウェアというのはOSとの交渉、メモリ管理、時間管理、エラー処理
の比重がとても大きく、一つの機能をしっかり提供していれば売り物になる。
そのためROSでも建築CADなどでも或る程度勉強すると単機能と感じるようになる。
今回触れるROSも最終的には単機能性を感じるだろう。
昔の通信管理ソフトでもエディタや表計算でも単機能性が強かったよね。

一方そのソースの全体は下部構造の全体が大きくとてもつかみにくい。
これを人に理解させるよう説明するAIを作れると万人のためにいい。
ファームウェアを解読し自然言語化するティーチングAIを作ってほしいものである。
学生からプロ、課題屋にまで皆に役立つだろうに。

結局ROSは、パソコン、電化製品組み込など用のワンボードマイクロコンピュータ、
カメラ、車輪、ロボットハンドを、プロセスの動く土台として捉え、
プロセス間通信としてコマンドとデータの動きを、使いやすく定めて現在標準的に
なっているものである。
ここでプロセス＝プログラム＝ノードで、通信方法は非同期と同期の二通りある。

[505 名無電力１４００１ 2021/09/26(日) 17:23:24.99]

関係するソフトとしてOpenCV、Gazebo、URDF、Xacro、Qt、rviz、gitが登場する。
OpenCV・・・グラフィック表示のソフト
Gazebo・・・3D-CG型のロボットシミュレータ
URDF・・・xmlに似たロボットの構造記述言語
Xacro・・・URDF用のマクロ、機能をまとめ簡易記述する
Qt・・・通信用のソフトで、TCP/IP以上でプロセス未満のレベル
rviz・・・プログラムのデータを見る
git・・・バージョン管理システム

どれもROS自体ではない。ROSはアプリケーションではなくシステムのソフトなので。
この中でGazeboは使いこなせるようになるときっと面白い。
それ以外はさもありなん程度の用途ソフト。Qtは非常に多機能。

ノード、メッセージ、トピック、サービス、パラメータ、ローンチファイルの概念がある。
ノード＝プログラム、メッセージ＝データ、ローンチファイル＝起動の簡易化。
トピックが基本。相手を特定せずただ発信する手法のこと。これを非同期と言う。
サービスは特定相手に受信後応答(同期)のある送信をすること。
パラメータは、実行時情報(環境温度明度、扱い法など)を付けるファイル手法。

インターネットではサーバとクライアントの概念がある。
これに類似してパブリッシュの送信と、サブスクライブの受信という概念がある。
コマンドやデータの送受信である。subscribeは申し込む、購読するの意味。
インターネットとは違い１対１か複数程度の互いによく見える環境ではある。

遠隔機器との通信それ自体には、より下部の機構を使っている。
C++言語、TCP/IP、USBケーブル、LANなどである。
これらを使い遠隔地間で普通のコマンドのように情報を送り合えるようにした提供品がROSである。
それを使ってロボットをより下部な煩雑部を隠蔽して動かせる。
カメラ画像を送り続けられプログラムにより千ぐらいの機能を同時実行できる。

なのでUSBとTCP/IPは原発ロボ用に別機会にこのスレで特集するのである。
またメモリ管理という視点を持っておくと構造把握の一つの切り口にはなる。

[506 名無電力１４００１ 2021/10/03(日) 17:26:14.10]

飛行機の理論を学ぼう。
Xを機首、Yを右弦、Zを胴体下方に取る。各々、ロール軸、ピッチ軸、ヨー軸と言う。
軸の側から見て反時計回りが、ロール回転、ピッチ回転、ヨー回転。

ともかくも角が３つあれば飛行機の向きをぴったり表せる。
コマのような物。機首の向きが２座標、残る軸回りが１座標使って。
ここまで暗記事項を書いたところで始めよう。

飛行機に似た物として船がある。飛行機語彙も多くは船から取っている。
客の立場より一歩踏み入って学ぶと、船的というのは気づく。
船も別の機会に書きたいと思う。
�@ウラン鉱石とキャスク貨物の輸送船、�A原子力船の製造、�B宇宙コロニーが船と同じ技術。
この観点から造船工学は中々重要である。

船は数千ｍの水面下で気密を保って活動できる。
飛行機は機械の要素が強いが、船は建築の要素が強い。
多少は遅くてもどんなことでも出来、液体空間なら地球どこでも活動出来る機動力。
小型にすればおもちゃになる。即ちロボット。

この要素が真空宇宙コロニーに要されるのと同じ要素というのは言われれば気づく。
廃棄物置き場の候補の一つとして真空宇宙コロニーがある。
ロケットの筐体も本質的には船である。
理屈でなく実物を作っている時、ロケットは船の方法で製作するのである。
宇宙物に興味がある人は造船を学ぶのが良さげである。

船の動力には数通りあるが、回転する立体渦巻が標準的である。
スクリュー、水力発電、風力発電、プロペラ機、ヘリコプター、ジェットタービン。
液体２つ、気体３つ、燃焼１つ。
他はボートのかい、板で水を送る。渦巻観点の統一視点があることはわかるだろう。
話題が航空や発電に近い。関連分野として幅広く押さえるといい。

[507 名無電力１４００１ 2021/10/03(日) 17:29:02.15]

ジェットタービンは飛行機的だが、仮に船にジェットタービンを付けると
ホバークラフトよりもずっと早くなる危険な乗り物になる。
未知の乗り物だろう。過密な地球水面上ではやばい乗り物だが、技術として
海水面に近い所でも波のある所でもまともに動作するよう仕上げることは、
副産物が期待され、航空船舶工学の良質なテーマである。

飛行機の形状の名。
胴体、主翼、水平尾翼、垂直尾翼、機首、機尾の言葉はいいはず。
翼には主に後縁に折れ曲がる部分が付いていて舵という。操作することを操舵という。
舵で空気流れを曲げることによる調整で飛行機は制御される。

水平尾翼の舵をエレベータ(elevator)・昇降舵という。
垂直尾翼の舵をラダー(rudder)・方向舵という。

主翼に関して５つ。まず後縁には２つ。
内側からフラップ(flap)、エルロン(aileron)
主翼上部に２つ。内側からスピードブレーキ、スポイラー。
前縁にスラットという前に出るものがあるが飛行時は使わない。

もう一つの垂直翼が主翼の辺に背びれの形で有る飛行機がある。
これをカナードと呼び、ラダー角に相当してカナード角がある。
以上、翼の操舵で８個も設定値があることがわかった。

この他にエンジン出力とその角で２。
現時点の大気に対する速度と角速度が各３成分で６。
以上１６個の値が状態入力になる。
入力から連立微分方程式で、速度変化、角速度変化がわかる。

この式をシミュレートすると飛行機模型はパソコンの中で動かせる。
ロボットのGazeboというソフトを前回紹介したが、これで飛行機ロボを扱いたい。

[508 名無電力１４００１ 2021/10/03(日) 17:31:07.92]

件の基本連立微分方程式とはどんなものになるのか。
力学に詳しい人ならば下の言葉だけで式が作られ理論が伝授される。

�@力から飛行機重心の運動がわかる
�A重心運動から緯度経度高さの推移がわかる
�B機体角速度が向きを時間変化させる
�C形状慣性と空気の非重心作用力が機体角速度を変化させる

ここで主役が３つあることにも注意する。
４行後に書くがその前に諸氏は答をわかるだろうか。

飛行機のボディを軸とする座標視点がある。
飛行機は大気の中を飛び、大気に対する運動が定まる。
大気は地球上で風速を持って存在している。
飛行機、大気、地球である。
�@�Aではこの３つの主役が相互速度を持って存在していることを扱う。

これだけの構造性を持つ方程式は重力場の方程式なみに複雑である。
シミュレーションはコンピュータに任せることにして、理論としては
安定点からの微小変化のときの線形応答を見る形を取り出す。

微小変化のみを見る時には、全微分の変数の数がやたら多いような形になる。
多いのは制御値が１０、現在状態値が６という数の多さによる。
全微分の偏微分展開のところにある係数を特に「安定微係数」と呼ぶ。

連立微分方程式は時間tについての方程式系である。
ラプラス変換するとsについての連立代数方程式系になる。

この段蛇足で、前にも触れたがラプラスパラメータsとは、意味は角振動数ωのi倍だが、
定義式を現在から無限未来までとし過去を積分範囲から外したものである。
代数方程式とは多項式的な表現に収まって微分積分が無い意味である。

[509 名無電力１４００１ 2021/10/03(日) 17:33:27.46]

制御入力項が多いのだった。翼の舵８、エンジン２。
飛行機の理論は制御機械の理論で、この先は制御工学っぽくなる。
その前にまだ見るべきことがある。
翼の舵の角度が変化した時、どういう実効値として方程式に入るのだろうか。

これは重大問題なのである。方程式にまで飛び込めば計算問題の情報制御だが
翼の効果を実際に完全に評価するのは難しい。
前に戻り、�@力から飛行機重心の運動がわかる
�C形状慣性と空気の非重心作用力が機体角速度を変化させる
とあった。

はて、ここはそう簡単じゃないぞ、と思うだろう。ただの積分ではないからである。
翼の舵をどれを何度変えて、方程式の入力にどの程度の重みで入るのだろうか。

この重みがまさに前発言の安定微係数である。
一つの制御値がほしい量に及ぼす影響の係数。
安定微係数の推算理論という航空工学の一つの分野になっている。

流体現象なので厳密には出来ないが、だからこそ数学の投入のしがいがある深い分野である。
安定微係数を求めるのは風洞実験や数値計算が早いが、推算テクニックも多数ある。
即ち、舵の角度、面積から揚力係数などへの関数形を定める。

飛行機体の状態は瞬時には変わらない。そのため０から制御を投入するときは
線形近似の係数と直接同定される。操作値と方程式の力入力が線形化された関係で捉えられる。
その比例定数が安定微係数。

ナビエストークス方程式の本質に迫って行く研究のように思う。
数値計算で理想的状況をシミュレートする。
既存試算式とは異なるものになる。その差を埋めるように試算式を改良する。
改良の背景の力学を解釈する。

ともかくもこの比例係数を掛けて方程式に入力される。

[510 名無電力１４００１ 2021/10/03(日) 17:35:27.63]

制御系をしっかり作ると、自動操縦で人間技を越えてどこまで性能を出せるのか、
また情報から機械に戻って、どんなアイテムで性能を改善出来るのかの知見が得られる。
ミニ飛行機を暴風雨の中ですいすい飛ばすことが可能になるかもしれない。
発電所の一大時に駆け付ける時に役立つだろう。
極限は定理として定まるはずで、追究すると面白い問題である。

制御工学の要点はラプラスパラメータｓの零点と極により、
振動性と塑性の(線形代数の意味の)固有変化が一目で見れることにある。
制御は振動塑性の範囲ではそれに対応すれば十分であるということも示される。

飛行機設計の制御工学的解析は、建築でいう構造解析に相当する。
力学が済んで実機を作っていいということである。
もちろん複雑形状機体と流体力学なので、単純な話では終わらない。
環境によって同一機体でも零点と極が動き回る。突風対応もある。

制御工学的なモード分類の話に行く。
長周期振動モード、短周期振動モード、スパイラルモード、ロールモード
ダッチロールモードなどがある。

話は連立微分方程式→線形化→ラプラス変換まで来ている。
入力を１変数ずつ変える。
例えばエルロン角を少し変えるときに、機体の速度・角速度はどうなるか。
これはエルロン角による微分のはずである。
ところでラプラス変換の世界では入力の角も出力の速度もｓの多項式になっている。
伝達関数＝出力多項式÷入力多項式、が制御系の全貌を表している。

これの分母の零点として長周期、短周期の振動モードが見つかる。
機体形状を総合的に見て、同一種類の入力や運動はまとめる。すると
伝達関数行列の特性方程式は４次方程式になる。その根全部として
スパイラルモード、ロールモード、ダッチロールモード２つが同時に導かれる。

[511 名無電力１４００１ 2021/10/03(日) 17:39:13.92]

ダッチロールとは何だろうか。
連成振動、多自由度系の極、不対称コマと種々の顔がある。
飛行機形状は３軸不対称のコマなので、力学でいうテニスラケットを放り上げて
制御性を失った状態を考える。変な回転を続ける場合。振動する場合。
飛行機のダッチロールは、変な振動を続ける場合。

またいくつかの振動が融合して、制御入力に反応してくれなくなった状態。
固い振動状態は、翼の舵をいくつか変えてみてもエンジン噴射してもそのまま。
もちろんタイミングを上手くやるとこれがコントロール出来る。人間にはできないが
自動操縦飛行機には人間を越えた乗り心地を提供できる。
荒れる大気の制御性を失う極小な航空機を自動ならどこまで制御できるのか興味深い。

機械工学でこのようなことは時々ある。振動工学が一分科になるほど。
風力発電で風車がこの状態になることがある。発電屋の学ぶ問題である。
またダッチロールを表す極は多変数ラプラス変換の世界に現われる。
というのは連成振動なので、連立方程式の解とは違う解図形解釈があると思う。
滑りと２軸の回転、計３モードの周期も異なる連成という。

前発言の意味のダッチロールモード２つは互いに複素共役である。
複素部を持っているため、機械自体が振動に対して減衰性と増大性の２通りの
特性を有している。バネなんかのイメージとは違う状況。

このようにある入力状態の時に、復元力が働かず変化が増大していく方向になる
こともある。これは偏微分の係数項が負の場合である。安定点が自発的に崩壊
するような運動モードを持つ状態。制御域近辺でこれが無いように飛行機設計する。

さらに、抗力、揚力、推力、揚力傾斜、迎え角、吹き下ろし角、空力係数、空力中心、
平均空力翼弦、アスペクト比、テーパー比、無次元化の言葉を学ぶと良いだろう。
無次元化は速度は巡航速度のU0で、力は1/2ρ U0^2 Sという量で割る。
制御にはもっと先の話題があり、ダッチロール極に関する数学解析、アドバースヨーとプロバースヨー。
空力中心というのは重心とは違う空気力学的な中心。
飛行機は手足を持たないが運動方程式はロボットとの類似も見れる。

[512 名無電力１４００１ 2021/10/10(日) 17:12:07.24]

確率論の話をする。６レスを１導入、２３ルベーグ積分、
４５マルチンゲールと確率過程と確率積分、６伊藤の公式について。

何かの積分について、密度を掛けて積分という感覚があることを言っておく。
存在密度があるとき、位置の期待値は ∫ x ρ(x) のようになる。
密度の位置に、後にルベーグ測度μ、確率測度 P が入る。

確率積分では、前もって準備された純粋ブラウン運動の密度関数 Bが入る。
より正確には P[B] と表現されるべきものである。
さらに、密度は点ではなく、領域についてのみ定義される。

いまだ理論的基礎が定まらない場の量子論と統計力学についても <…>が …に
密度を掛けての全領域積分である。確率論はそれへの中途道程にあると思う。


さて、原子核崩壊が確率だが、制御に使うことも重視している。
プラント制御である。火力、風力、タービン回り、他の機械でも重要。
飛行機の突風管理がある。落雷サージに送電がある。自動車エンジン。宇宙放射線。
そして振動の振幅。海岸建造物に地震。生態学と疾病。化学反応。土木劣化。
PID制御と融合した理論はまだないはずである。

作れば学問仕事になる。ここで素人は単純に状況に合わせて制御してよし、
とするんだが、何かの非自明構造を導入して、理論支配権がそこに移って
制御と確率が下になるとする。そんな目標を持つべきで、仕事になる理論作り
のささやかな一つのこつと思う。数学構造はそうやって発見されるのである。
駄文はいいから始めよう。

[513 名無電力１４００１ 2021/10/10(日) 17:14:11.28]

ルベーグ積分を２レスで語る。階段型関数を目的曲線に近接させていって
目的曲線の定積分を定義する。その際考慮されることが理論の内容である。
(R, BB, μ) という３つ組が積分定義の十分環境を与えることが結論になるのである。

実数 Rを定義域とする実数 R 値域関数を状況設定とする。
まず積分が不可能な関数があることを認識する。今、病的な関数の状況を観察して、
集合のみに基礎をおく積分論作りの要件を探っている。

有理数で0、無理数で1、となるような変な関数をどう扱えばいいだろうか。
まずこれは、片方を例外点として密度の小さい方、有理数点を捨てる発想をする。

すると (x^2-1)/(x-1) のような約分出来る分数式だがこの積分が定義される。
例外点が十分小さい密度なら捨てればいいのである。
特異点の次元が空間より低いときは捨てれるという形で応用がされる。

次に、f(x)の値が同じく 0か 1でありながら、見かけ一様っぽい形で
∫[0,1] f(x) dx = 0.5 となる関数を導入して扱えるだろうか。
扱えないのである。存在しない。見かけ一様でないなら簡単だが。
この辺のことを明言化する。積分可能集合を宣言する仕方を採る。
この段の例では {x |f(x)=0} や {x |f(x)=1}はその積分可能集合に入り得ない。


(R, BB, μ) という３つ組を導入し、測度空間と呼ぶ。
これは積分論が十分条件的に成立する環境のデータを与える。

BBはRの部分集合で積分可能なものの全部。これは宣言する必要のある物。
積分可能集合は特異点を抜いていくような意図なので、簡単な区間ではなく
閉区間や開区間が無限個合併しているようなものになる。これがBBの中身。

一字英字は集合、二字英字は集合の集合、ギリシャ字は「集合→値」の関数。
例外点が一点から可算無限個までなら捨てるので、μはRの或る程度以上大きな領域に
ついてのみ 0より大の値を持つ。ということでμの引数は点ではなく集合。

[514 名無電力１４００１ 2021/10/10(日) 17:16:18.28]

出発点のRを抽象集合Sにすると色々な抽象世界の積分になる。
μはBBの元に対し、それを積分区間(領域)とする関数 1の定積分値を与える。

このデータ(測度空間)の下で E∈BB を積分領域として、関数の定積分を定義。
定積分というのは述語論理学の形式論を見るとわかるんだが、∀や∃と同格の
基礎記号言語で、その内包要請をルベーグ積分が外延を与える、という
哲学的な意味を持って居て、十分な大業績。

階段型関数 f(x) の E∈BB を積分領域とする定積分値を
E = ∪ Ei と、fが同じ値を取る領域ごとの分割和として、
各 Ei∈BB が充たされる場合に、 Σ f(x∈Ei) μ(Ei) で定める。

↑単純なことしか言っていないので、置いて行かれないで状況をつかんで！
∪は合併集合を取る演算の意味。EiとEjなどが互いに重ならないことなどは前提。


μは密度に相当して入れること述べた。μが少し余計に思える。
区間の長さでいいのなら、単純区間なら端点の差でいいし、その非重なりな合併でも
足し算でいいし、μなんか使わずに直接書いたら、と。

しかし座標空間でないところで積分論を展開するために、一般論として入れる。
実数上においても、μを他の種類の「集合→値」関数ν(E)を使ってもいい。
非重なりな合併で足し算になるという性質は、独立対象にしておけば公理に出来る。
関数が「値→値」「集合→値」２種類出てることは注意する。

階段型関数の極限として現実の関数の積分を定める。Σの数行上の形状から
∫[E] f(x) μ(dx) と書かれるべきものだと分かる。
∫[E] f(x) dμ/dx dx　のようなニュアンスにも読む。dμ(x)とも書くし dμとも書く。
∫…dμ という術語はこうして定義されている。
以上がルベーグ積分の定義である。
εδ論法を使って各種の定理が証明される。
μに生きた物が導入されて確率積分が定義される。

[515 名無電力１４００１ 2021/10/10(日) 17:19:29.31]

μ(E)=0となるような集合Eについて、その値を無視する。零集合と呼ぶ。
零集合でのみ異なる２つの関数は、f = g (a.e.) または f = g (a.s.) と拡張等号で
等しいと見なされる。almost everywhere、almost surely

さて確率論。
マルチンゲールという言葉が出て来る。捉われなくていい。
代数学のイデアルなどと同じく只の、数学対象の名前である。

看護関係者でナイチンゲール女史というイギリス人も居たし
ナイチンゲールさんの仲間なんだなっと却って親しみが湧くというものだろう。
night+ingaleは鳥の一種である。mart+ingaleも動物関係の言葉。
ingaleで英和逆引きを調べると、他にも単語がある。

確率論用に (R, BB, μ) を (Ω, BB, P) と文字を換える。
確率論の世界観はシュレーディンガー方程式の世界観である。
ほぼずっとそれなので、数学は思ったほど深くはないと思ってもらっていいです。

「確率過程」というのが基本概念で、これは波動関数である。
ウィーナー過程(＝ブラウン運動)、マルチンゲール過程、有界変動過程、
マルコフ過程、Ornstein-Uhlenbeck過程、など全て波動関数型データの一類型。
確率積分がもう一つの基本概念。そして積分と作用素のやはり抽象論は有る。


f(x,t) を考察対象であるところの、確率を表す関数とする。
x∈X 空間変数、t∈T 時間変数である。
各時刻tごとに ∫[X] f(x,t) dx = 1 確率なのでその総和は1とする。
これと同じ物をω(X,t)やX(ω,t)と違う文字で書いてる文献もある。
また量子力学ならばφ(x,t)、ψ(x,t)とも書きたい。

時刻 tを定めると、点xにある確率が f(x,t)で与えられる。
点 xにあると言ってもいいし、観測値が xである確率と言ってもいい。
「ｆ」が確率過程である。

[516 名無電力１４００１ 2021/10/10(日) 17:21:22.89]

物事の切り口は複数ある。
f(x,t)は密度を与えて、観測者向きの量だった。
個別粒子の動きという、粒子主体の視点ならどうなるのだろう。
こうしてちゃんとした現代確率論が始まる。今言及しないが位相抜きの経路積分である。

各粒子はx(t)という軌道を取る。
量子力学の場合は一粒子についてすら、そのような軌道の無限個の重ね合わせになる。
確率論なので未来は定まらず、様々な要因で分岐していく。

一粒子の運動を判断するときに、軌道の束を持って来て、P()でそれを取る確率、
また時刻ごとの断面で、観測した時の値がf(x,t)、となれば構成よしだろう。
軌道一本では意味がないP()=0で、有意味には束密度が必要というのも注意。

これで説明された。一番基礎となる要素は軌道x(t)である。
軌道というとtごとに一点かのようだが、これ自体ばらつかせておく。
即ち、軌道x(t)と波動関数f(x,t)は同一物である。
その集合がΩである。Ωの部分集合で密度を定義可能なものの全体がBBである。
密度関数をPとする。

軌道や波動関数という少し複雑なものが確率論の考察対象であることは納得して
もらえばいいなと思う。確率過程のなす空間Ωをウィーナー空間と言う。

問題を定める。T=[0,+∞] 時刻はt=0から+∞まで。
ゲーム問題などでは、Tは離散自然数にすることもある。
t=0で原点にあるか与えられたf0(x)にあるとする。

波動関数f(x,t)に純粋ブラウン運動g(x,t)があらゆる時刻あらゆる点から足されると
違うものh(x,t)になるだろう。別の点に突き動かされるとそこのポテンシャルを
受けたりして後の時間では一般に違う挙動を示すだろう。
これが伊藤の確率積分だが、なるほどファイナンス的だなとも思えるが、
積分結果のh(x,t)もやっぱり波動関数型データの範疇にあることを心に留めたい。
理論家によっては古典力学＋これだけで量子力学の全部を導けると主張する。

[517 名無電力１４００１ 2021/10/10(日) 17:23:15.89]

マルチンゲール過程、確率過程の時間発展、確率積分についてもう少し説明する。
マルチンゲール性質は確率過程の中でも重要な意味があり、紹介する価値がある。

確率過程=波動関数=一般化経路は、f(x,t)型関数の形状のデータで、
t=0から時間発展している状況の素要素分解したもの、というのであった。
ところで未来がわからないのが本来の姿であるのだった。
経路の積分可能集合宣言BBを、BB(t)と時間情報を持たせることでこの思いを表わす。

特定のtについて、BB(t)の要素は、t以後のあらゆるf(x,t)がx,tに関して部分的に
のみ含まれているようなことは無くて、t以後の状況は常にまるごと含まれている
ような集合のみとする。
するとt1<t2ならt2の方が過去情報が多いので時間差の分だけBB(t)の分割が細かくなる。

積分可能集合が時間と共に細かくなっていくような設定において、t1<t2について
t2時刻での断面f2(x)をt1時刻のBB(t1)で計測した時、t1時刻での断面f1(x)と等しく
なっているような構成のf(x,t)がマルチンゲール過程と呼ばれる。
ゲームや金融論の公正がこの等号から導かれるという。

確率過程の時間発展について。力学的現象が背後にあり、tの増大につれ、
複数個の力学を受けf(x,t)が変化していくとしよう。
f(x,t) = g(x,t)自然力学 + h(x,t)制御入力 + i(x,t)乱雑化
と分解できないだろうか？できない。変化したものがたちまち自然力学の方に反映して
いって、全時間での足し算などには線形分解できない。
が、各時刻ごとの微小変化についてはこの分解ができる。

微小時間での変化を考察し、積分として複雑過程も求めることにして
引数は適宜省略して、df = dg + dh + di
環境によって係数もあるだろう。df = a dg + b dh + c di
iの代わりにブラウン運動(B)かもう少し一般の乱雑マルチンゲール
もう一方の文字流儀では、dX = a dM + b dV + c dB
この微分式は確率過程の半マルチンゲール分解と言う。
伊藤の公式の詳解と簡易証明はまたいつか。その公式に次元性解釈を付けたいんだがね。

[518 名無電力１４００１ 2021/10/17(日) 17:27:15.23]

リー群とリー代数の話をしてみる。
まず見取り図。リー群とは回転、これは実数座標の空間の操作だが
複素数、四元数、八元数にまで広げて操作を分類したものと言える。
元々の定義は、群であって連続性を持つものだが、分類が完成していて
結局は上記のものに帰結している。

群でありかつ直積などではない単純さを要求すると一様性の要求になる。
そうするとパターン数が少なくなり、トーラスなどは入らない。
逆に今後の数学としては、リー群とリー代数を参考にして、別の演算を導入して
もっと複雑な曲面を、一様性の要求の範疇で一気にたぐり寄せるような
理論が作れればと期待される。

リー群（分類の結果広義回転群）の無限小部分を代数として見たものが
リー代数である。リー環という呼称もあるが適切でない。
環は積を持っていて結合法則を満たす含意があるが、リー代数は違う。
括弧積、(歪対称な)積差、などと呼ばれるべき違う演算を持つ。

正方行列の世界でリー代数を作ることが出来る。
わかりやすいのでまずそれを見る。正方行列のA, B, Cを取って来る。
AとBに加法がある。AとBに乗法がある。これで正方行列は環になる。
加法と乗法は結合法則を満たし、加法は交換法則を満たす。

1番目の演算を加法、2番目の演算を積差 [A,B] = A B - B A として
正方行列のリー代数になる。積差が結合法則を満たさないことは
[[A, B], C] = (A B - B A) C - C (A B - B A) のように全部展開してみれば
判定される。代わりにヤコビ法則
[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0 を満たす。

正方行列に関して言えば、リー環化⇔包絡環の逆演算で、環とリー代数の
２種類が行き来される。そして結合法則とヤコビ法則が対応している。
あまり言及されないがこれは圏の双対の一つでもあると思う。

[519 名無電力１４００１ 2021/10/17(日) 17:29:25.60]

圏として代数幾何学のスキーム⇔環「⇔」リー代数⇔？と考えると、
現代数学でまだ拾われていない未知の幾何構造を隠しているかもと思わせる。

[A,B] は解析力学のポアソン括弧および量子力学の交換子積と同じ形である。
すると環の双対世界で力学が展開されていることになり、位相空間の体積や
不確定性原理に対応してそれを導くものが環の世界に存在するのではないか
とも思わせる。量子性の起源探索になる。楕円と双曲に近い気もする。

この双対は複素構造とシンプレクティック構造の双対とも呼ばれる。
またおそらくは同じ概念がミラー対称性という超ひも理論の言葉でも言及される。
代数幾何学の微分形式を複素からシンプレクティック的にした物が佐藤超関数である。

A B - B A は A方向にわずか、B方向にわずか 進むことと、その順序逆との
差を見ている。これは一般相対論のリーマンテンソルと同じことに気づく。
リー代数の積差演算は力学に近いと同時に一般相対論(微分幾何学)にも近い。
それは曲がった空間の無限小部分の数理を取り出した一つの形と思う。
実際にリー代数とリーマンテンソルで特異点にタッチ出来ることを再来週かその次に見る。

重力的な話よりもより原子力に近い所で、ゲージ理論がリー代数で書かれる。
α崩壊の核力はSU(3)、β崩壊の弱力はSU(2)、γ崩壊の電磁力はU(1)ゲージ力である。
それぞれリー群で、ラグランジアン密度は時空とは別にあるそのリー群空間の中を
動く無限小変換の作用素を、Aa Ta という項の形で含んでいる。

このリー群空間は高次元空間が隠されたものだとする視点がある。
そのような視点でゴーストやアノマリーを導く素粒子の研究があり得る。
超ひも自身にもゲージリー群が付いているので関連する整理がある。
原子力としてはπ中間子やK中間子という中々利用しにくい粒子の小さな差異である。
逆に双対連鎖で代数幾何学の方にまでこれらの量子論の影響が届くかどうかを判定する。

シミュレーションで理論にリー群リー代数があるので、コード化時にその数理を
書き込む知識が整理されていることが求められる。以上はイントロで次レスから０から始める。

[520 名無電力１４００１ 2021/10/17(日) 17:31:58.87]

|x1| = |cosθ -sinθ| |x0|
|y1| = |sinθ cosθ| |y0|
これは回転操作を表している。行列の所だけ、その全体がリー群SO(2)になる。
実質的に0≦θ<2πというθの円周的な空間である。
パラメータに関してテーラー展開して1次の項だけを見ると無限小線形部分を取れる。
| 0 -1 |　
| 1 0 |　
θが0に近い所で、θ→θ+δθと動いた時、行列の変化はおおよそ
上の行列×定数、と思える。
この考え方がリー代数で、上の行列はその生成子または次元の基底とよばれる。

より高次元で複素数や八元数を使い単純分解して色々な状況がある。
一方理論はそのような泥臭い所から探すのではなく、行列上のリー代数への写像、
随伴写像、半単純性、カルタン部分代数、ルート、ディンキン図形、などという
あまり思いつかないコースを通ってまとまっている。

ところで回転行列では転置行列が逆行列である。さらに行列式が1。
証明：3次元以上の任意回転でも上記型の2次元の回転の合成で表される。
2次元の回転ではそれが成り立っている。終。
複素数の場合は、転置複素共役行列が逆行列と等しいような行列全体の集合、
というように書き換えて個別のリー群の定義としてその言い回しを採用している。

リー群の無限小線形部分がリー代数、逆にリー代数の指数関数がリー群。
リー代数の積差演算は x y - y x と非交換度合いを直接評価しているもの。
局所でこのリー代数構造があると遠方で特定のリー群形状で閉超曲面になる。
類似の事情が宇宙でも成立している可能性がある。

リー代数は線形空間に、積差演算一つを付加した物。
その数学は、抽象代数を行列のリー代数に準同型写像して解析される。
今日は夜半まで粘る。駆け足で全概念と基本定理を述べたい。

[521 名無電力１４００１ 2021/10/17(日) 17:34:58.90]

大学1年で学ぶ線形代数は、係数体 Kと加法群 Vから成っていた。
Vはベクトルの空間であった。
ところがリー代数は、線形空間に演算一つと言いながら、見ている所はベクトルではなく
行列の方である。前レスで行列の所を主に見ていたことを思い起こしてほしい。
この気づきが必要である。行列の方だからこそ積も作れるのである。
実際に、行列の方も係数体 Kの線形空間になっている。

リー代数はリー群 Gの無限小部分(に非交換性を評価する積差演算を付けた物)
であり、文字ｇで慣用的に表される。準同型写像 f :ｇ→ρ(ｇ) を考える。
ρ(ｇ)は行列上に写像された像、それは正方行列全体の中の、演算構造で閉じている
ような或る部分集合。具体的なρの手続きはその都度決めるものとする。
f(x+y) = f(x)+f(y)、 f([x,y]) = [f(x),f(y)] が準同型性である。
左辺は抽象ｇでの和と積差、右辺には行列ρ(ｇ)での和と積差が現れている。

イデアル I⊂ｇとは、和について閉じ、[ｇ,I]⊂Iとなる部分集合。
[ｇ,I]⊂Iは、ｇのどの元x、Iのどの元yを取っても、[x,y]∈I というニュアンス。

ここから抽象構造に登って行く。短文なので読みに苦痛は無いはずである。

Ｄｇ = {[x,y]| x,y∈ｇ} というｇの部分集合を考える。
ＤＤｇ = {[x,y]| x,y∈Ｄｇ} と繰り返せる。
ｇが何回かの繰返しでＤＤ…ｇ = {0} と成る場合、可解リー代数という。

このＤはおおよそ半直積という構造分解を表している。
ｇは可解でなくともイデアルが可解のことはある。可解イデアルの最大のものが{0}
となるようなつまり可解性のある部分構造が何も無いｇを半単純リー代数と呼ぶ。

一方、単純リー代数とは真部分集合ｈ⊂ｇであってリー代数であるものが無いという
意味で、構造分解の流儀に違いがある。半単純の方がソフィスティケートな雰囲気。
あと随伴写像、内積、カルタン部分代数、ルート、ディンキン図形と定理を説明すればいい。

[522 名無電力１４００１ 2021/10/17(日) 23:37:21.75]

係数体 Kのことはもう固定されているものとして扱わない。
随伴写像について。随伴表現とも言う。
回転の所で、リー群やリー代数は、v = A u 的な線形代数式の
Aの所の構造を扱うもので、この気づきを持っておくべきだと述べた。
ところがuやvの所にも入るのである、そうして作られるのが随伴写像である。

線形空間 Vがあるとする。V→Vの一次変換がある。基底表示すると
一次変換は行列で書かれるが、行列の積は一次変換の合成になる。
[A,B] = A B - B A という積差演算をそこで定義して、gl(V)と呼ばれるべき
リー代数を作ることが出来る。任意のVについてこれが出来る。

リー代数ｇは積差演算を抜くと線形空間なので、gl(ｇ)というリー代数
を作ることが出来る。ｇ→gl(ｇ) が随伴写像である。
実はもう少し正確に言わないと一意には定まらないので、次のように述べる。
ｇ∋ x → (λy. [x, y]) ∈ gl(ｇ)

もう一言。gl(V)とはV→Vの一次変換である。
ということはその要素は、あるVの元に対し別のVの元を対応させる関数。
なので上記のλ式形。 x → (y → [x,y]) という書き方でもよし。
x に対し y → [x,y] を対応させる写像を正式に、随伴写像 ad と呼ぶ。
ｇの線形基底を取ると y → [x,y] も K成分の行列として書ける。
一般的には基底を使って行列にはしないまま、線形代数というのは運用する。

次に、trace (ad(x) ad(y)) という式を考察する。
ｇ∋ x, y に対し ad(x), ad(y) ∈ gl(ｇ) となっていて、その積のトレースは
基底の取り方によらずに定まる。これを x, y のキリング形式と言う。

キリング形式を B(x, y) または <x, y> と書いて内積と見なす。
v = A u の uやvの所の元の内積なら周知である。しかしｇは元来 Aの所の元
を扱っている。随伴写像で便宜上uやv位置にも置き換えたが本来 A。
その元の内積の作り方は手続きが必要で、上のように作る。

[523 名無電力１４００１ 2021/10/17(日) 23:38:56.53]

ｇ→gl(ｇ)のadという写像が準同型であることには
ad([x, y]) = [ad(x), ad(y)] を言う必要がある。
任意のz∈ｇに対し、左辺 = [[x,y],z]。
右辺 = ad(x) ad(y) z - ad(y) ad(x) z = [x,[y,z]] - [y,[x,z]]
ベクトルzに2回行列が掛かっている状況と見る。
その掛かった値が ad(y) z なら [y,z] で与えられる。
左辺=右辺はヤコビ法則。よってadはリー代数の準同型写像である。

カルタン部分代数、ルート、ディンキン図形はまたにしよう。
定理は、同一ディンキン図形を導くなら、もとのリー代数は同型。
制約によりディンキン図形は有限種類に確定する。
よってリー代数が同型を度外視して有限種類に確定する。

ノイマン環の分類定理、有限群の分類定理など似たような定理がある。
リー代数の分類定理では随伴写像とルートが主要道具だが、
他の定理では主要道具が何か、と対応をはっきりさせておくと、
超ひも理論、プラズマなど強結合系、数論などの分類問題において
道具概念候補の引き出しを持っておける。

[524 名無電力１４００１ 2021/10/24(日) 17:37:33.68]

ゲーデルの不完全性定理を話してみる。勉強中。
とりあえず下の二段落を読む。言い切りの部分は後から補足するので読み流す。

論理式 Aが証明可能ならば、論理式 provable (expr (code A)) が証明可能。
論理式 Aを not (provable (expr (code A))) というものに取る。
A = not (provable (expr (code A))) である。
一行目と合わせ、provable (…) と not provable(…) の双方が導かれ矛盾。
よって二行目のように取った Aは証明可能ではない。

ところで not (provable (expr (code A))) という意味を取ると、
A は証明可能ではない、と読める。これは上の推論の結果と一致している。
即ち、A は成立している。A が成立しているとき not A は証明可能ではない。
併せて、A も not A も証明可能ではない。

もう一回。
expr (code A) は論理式 Aのゲーデル数というコード化自然数を
ペアノ算術という0に1を超多数回足す関数形に書き換えて式の形状にしたものである。
簡単のために[A]と書く。

論理式 provable(…) という概念が出てる。
証明自体のゲーデル数を pとするとき、或るpがあって、pはAの実際証明形に
なっている、というのを証明図を比較的泥臭く見て関数にしてある。
証明のゲーデル数というのは後で言及。

A = not (provable [A]) に取るとある。式の内側に入っているとはどういう意味か。
不動点定理という補題がある。任意の一変数論理式φ(x)に対し A≡φ([A]) が証明可能
となる論理式 Aが存在する。後述。そして≡の双方向推論を略記したものが=。

さらに有言的なprovable等の論理式が実際の状況の関数化で作られる経緯。
以上を解説すれば不完全性定理が構築できる。証明本丸は上に既述。

[525 名無電力１４００１ 2021/10/24(日) 17:41:18.06]

イントロ、構成、基本定理の証明の3つがどの分野でも書かれるべきことである。
基本定理の証明の一部を先に書いた。戻って色々言ってみる。

福島で何に使うのか？機械系物ならこれに限らずロボットでも飛行機でも薬開発
でも何でもいいんだが、例えばもしかしたら廃炉は不可能なのかもしれない。
自己言及的な特殊な構造になっていてと。そうではないことを論理精査する。
機械が強環境で制御不能になる状況を論理的に調べてみる。

原子力は只の高エネルギー現象なのでこんな状況は洒落で実際は無いんだが、
薬開発ではある可能性がある。光速に近いロケットでもある可能性がある。
地球脱出や恒星間ロケットを考えたことがある人は制約のきつさを感じたと思う。
その究極の制約形の一つとしてありうる。さらに宇宙では量子論の不確定性原理に
相当して論理の自己言及性制約が形を決めている可能性がある。
するとそれはそれで物理学基礎理論の一つの構造なので、結果的に原子力に役立つ。
システムを記述する言語が外にあるのではなく内にある状況。

スケジューリングやITのフローチャート。建築やイベントでも工程表はある。
ITにはUMLというフローチャート言語を聞いたことがある。何通りもの
整理の仕方のまとめで結構内容があったような。述語論理と自然数のこの話を
一般論理やアルゴリズムや工程物に持ち込み、高度な論理で何かを改善できるかと。

証明が付かなくても成立していると思える命題もある。まさにそれが前レスの
にもあった。有言的な論理式の喋る内容は証明可能ではないのに成立。
そのまま信じていいのかと苦しまれるかもしれないが、形式の範囲内ではそのままそう。
すると命題の成立にも単なる成立呼びと証明がついているものとの弱強２通りある。
これを様相論理として捉えることが出来、証明理論を様相論理学として学ぶ。
新しい道具の投入があってコラボなので、新しい結果を取得できるかも。

来週セール双対、次代数曲面特異点、次量子素因数分解、次破壊力学、次OS作り。
破壊力学に論理を持ち込むことを検討している。実際、再帰連続現象と論理の
対応関係はガロア理論とモデル理論の対応として既に周知に言われている。

[526 名無電力１４００１ 2021/10/24(日) 17:44:32.46]

構成を述べる。考えている対象はどういうものか。
集合 Sの元 xで f(x) = 0 とはならないものがある。
∃x (x∈S & not( f(x)=0))
これだけで対象物を感じ取ってもらう。

記号は x S f 0 = ∈ not & ∃
&はand、∃は存在を主張するやや哲学的な記号。
他に→"ならば"、全てのを主張する∀がある。orもある"|"

変数x S、定数0、一変数関数f、二変数関係∈ があると見て、
論理記号を = ⊥ → ∃ の4つと整理する。
等号=は二変数関係の中でも特別と見て論理記号に格上げする。

⊥は矛盾と読む。A→⊥ は not A を表す。
andとorと∀も、上手くnotと→と∃で表わす。
高校数学のベン図やドモルガンの法則に近い考え方である。以上で記号が最小限の構成になる。

次にデータ構造の体系が整理される。
変数variableや定数constantや関数functionの値は一般データと見なされる。
一般データを関係relationの引数にした評価結果は真理値データである。
=や∈の値などはtrueかfalseの値を持っている。

真理値になっているデータを論理記号でまとめる。
簡易化して消してしまうが、andとorとnotと→がやっぱりわかりやすい。
任意のxに対して一変数関係φ(x)が成り立っている、∀x(φ(x))
一変数関係φ(x)を成り立たせるxがある、∃x(φ(x)) このように。

以上が論理式formulaの構成である。
次に証明proofの構成だが、論理式が単に一列に並んでいて、或る番のは
公理axiomか、それより前の適当な一つか二つから、AとA→BからB、
Aから∃xA のようないくつかの僅かな規則ruleか、または既成定理theoremをずばり適用した形で
導けるようになっているのをデータとしての証明と呼ぶ。

[527 名無電力１４００１ 2021/10/24(日) 17:47:57.44]

次にゲーデル数を定める。あらゆる言い回しが一つの「自然数」になる。
前レスで括弧のことが見えなくなっていた。その仕組みもある。
論理式を表現することが基本である。それを理解すれば証明の表現はちょっとした応用。

不完全性定理について言えば provable (expr (code A)) がゲーデル自然数の関数構造として表され
一変数関係φ(x)に対し A≡φ([A]) を充たす論理式 Aを取れる不動点定理を構成する所。
これをゲーデル数世界で表わせれば完成する。

定め方はプログラミングの変数やオブジェクト作りのようなもので、任意性が高い。
まず→を1、⊥を2、∃を3、=を4、変数vを<5,n>、関数fを<6,n>としておく。
nは登録番号で、<5,n>は(var n)と書いてあるのとも同じである。
・表し方
・括弧の扱い方

Aという変数が登録番号1だったとする。
A → ⊥ という論理式を、2^(2^5 * 3^1) * 3^1 * 5^2 と表わす。これがゲーデル数である。

記号数を最小にし、括弧を奥に押しやって、平板な記号並びにし
2から始めて、長さ分だけの素数を取って来る。
記号のコードを指数位置に乗せ、全部を掛けて返り値とする。

∃x((A→B)→C) は code(A→B) = 2^(2^5 * 3^1) * 3^1 * 5^(2^5 * 3^2)
code((A→B)→C) = 2^(code(A→B)) * 3^1 * 5^(2^5 * 3^3)
code(∃x((A→B)→C)) = 2^3 * 3^(2^5 * 3^4) * 5^(code((A→B)→C))

入れ子括弧は指数の位置になり、さらにその掛けた積もが次に指数扱いされ、と
素数列の指数の深みに入って行く。つかみにくくはなるが論理式が一つの自然数で表わされる。

どの素数まであるかというのが列の長さを表している。
証明のゲーデル数は全く同じで、証明見出しでも付けた後に、
2^() * 3^(code(formula1)) * 5^(code(formula2)) * … とでもすれば表せる。
もちろん列だけでなく前から導出される必要条件が要件とされる。

[528 名無電力１４００１ 2021/10/31(日) 17:11:25.19]

代数幾何学の大雑把なことを言う。微分の物理を代数を主体にすることで何かを探す。
クォークゲージ理論のリー代数のルートを代数幾何学でも使うので代数幾何学から
解明されている性質を持って来る意図。セールの双対定理まで主張は説明してある。
１層、２３層係数コホモロジー、４標準因子、５因子に付随する層と写像、６セール双対

層の定義を話す。球面や複雑な曲面を考えよう。一つの座標系で覆うことは出来ない。
開集合ごとにローカルな設定を準備するという手法を取る。

開集合は１次元なら両端を持たない区間で、２次元なら境界を持たない領域。
これは全部の点が平等な性質を持ち、全部の点が内部点と見なせる美点を持つ。
複雑な曲面には、それを覆いつくす開集合を与える手法を取る。
平たいパンケーキが張り付いているイメージ。

開集合ごとに、その領域を定義域として、特異性発散を持たないような関数の全体の集合
が作る加法群を設定。さらに他の開集合と共通領域があるならば、そこで一致する関数であり、
特異性をも許せば、全図形で定義されているような関数。そのデータが層である。

座標平面上の関数ならば一つの関数だけでいいが、一つの座標で扱えない曲面に
各開集合ごとの非特異な関数、その貼り合わせで全図形上の関数。こういう手法を取る。
その全体を図形に対して指定しておく。層の一つの要素とは、全図形上の関数と言える。

実際には層のデータは、集合を引数として群が値となる関数、開集合に対し
その領域上の関数の加法群、の形式を取る。
そこから元を取ると、部分領域で定義された関数で、かつ開集合の外側にも
共通領域での一致の原則で定義域が延長されるような全体、そんな関数である。
複素解析の解析的延長そのまま。この意味で多次元複素解析向けの起源を持つ。

[529 名無電力１４００１ 2021/10/31(日) 17:14:01.32]

層係数のコホモロジーというのを説明する。係数という語は深く考えない。
図形を全体として覆っている開集合の集合が有って、層というのはそのうちの
一つの開集合を指定すると、そこの領域で非特異な関数の全体を与えるのだった。

この状況で、代数的に関数全体のなす群を変形していく。その際に蛇の図式定理
という定理があり、任意の準同型写像に対し、その構造を代数的に解体していくことが
できるようになる。解体に縦横の次元があり話が2次元化する。

或る手法で、関数の加法群の商の商の商の…、というニュアンスの自然数添え字
の系列を作る。コホモロジーと言ったときはこの系列自体をおおよそ指す。
条件は次につなげる手法を2回続けると符号のかみ合いのような現象の結果で
0倍操作になること。

幾何学で三角形ABCの辺境界を取り、AB+BC-AC形式和、
辺の点境界を取り(A-B)+(B-C)-(A-C)、足すと0。
-ACになっている所は、ABCというそこの文字ソースとABというそこの原形から
隣接互換の繰返しで取得するとき-1倍が向きを評価して奇数回かかるものと捉える。

具体的にABC→ACB→CABの隣接互換で、1文字めと2文字めはAB→AC→CA、奇数回に-1。
幾何学では向きのかみ合いにより、境界演算の2回で消える。文字操作だけ見て
互換の回数として証明できる。この逆演算として2回0を要請。
こっちはホモロジー、使うのはコホモロジーでサインとコサインのペア語法。

そういう必要条件として、その自然数添え字の系列化（縦演算）の手法には何通り
もがあるが、大体結果は一致しているという実在性がある。
もう一つの演算の、準同型写像の構造分解（横演算）と20行下で合わせる。

[530 名無電力１４００１ 2021/10/31(日) 17:17:58.91]

手法の最も抽象代数的なのは、入射分解コホモロジー。名前だけ紹介。
2つの開集合の2足関数→3つの開集合の3足関数、というようにつなげていくのが
チェックコホモロジー。開集合間の手続きを作り、開集合共通領域でのR加法群または
ベクトル空間を作り、→→間の位置で商R加法群または商ベクトル空間を作る。

他にエタールコホモロジーは位相空間のトポスとサイトの流儀で開集合を写像と抽象集合
の代数的定義にしたものでチェックと似ている。グロタンディークの仕事。
計算式だけずばり与える流儀もある。→→で本来消える所を群の作用がそうではなくする分野。
グラフやファインマングラフはチェックに似て多分作れる。
グラフは要素が単純、ファインマングラフは要素の構造に分け入る物で違う。
クリスタルコホモロジーというのも聞いたことがあるな。何だろう。
ドラムとドルボーというのもある。微分形式と複素解析のzbar微分によるもの。

手法の違いはスペクトル系列という計算理論で統一される。これはさらに導来圏という
概念で再統一される。あまりきれいではないので導来圏概念は暫定的だという人がいる。
上の言葉でもてんでばらばらな言葉で導入されても、全部同一だと言うニュアンスを言った。
ファインマングラフに関して、コホモロジーにしてスペクトル系列で別の言葉に読み替えると
量子論の知らなかった展開形式を得れるかと思う。

さてこの分解系列はしばしば縦軸下方に向けて書かれる。扱うのがこっちだけの時は横にも書く。
R加法群やベクトル空間など対象間の「準同型写像」は、また別の系列分解として完全系列分解という、
横に左から右に行き、3つ並んだ後で、右から一段下の左に行きという折り返して続く系列を作る。
折返しを蛇図式が与える。

両者の結果、数学本のような図式になる。特に洋書なんか見ると文字が入ってこなくて
図だけが見えて、何やら書かれているなと。書かれているのはこういう構成の図である。

文法として引数は、自然数添え字の展開、開集合、対象となるもの(層・R加法群・ベクトル空間)、
そして流儀があった。流儀は先頭にして H(ch, n, U, F) とでも書けばいいだろう。
ともあれ特定的に述べるための引数はこれ。関数としてHの値は加法群やベクトル空間など。

[531 名無電力１４００１ 2021/10/31(日) 17:20:00.58]

f(z) dz = f(1/w) dz/dw dw
これは何だろう。積分の変数変換として学んだと思う。
z = 1/w の例に取ってしまったが、射影空間論の典型的な使い方だからの
偶々であり、任意なz = φ(w)で同じ。

zが∞の点が、右辺では定義域に入っている。
即ち変数変換で定義域の延長が出来る。わずか1点の延長だけれども。
証明自体は大学1年生の解析学でそれなりにするが、何か関数だけでなくdzやdwを付けて運用
することが、とても便利であるとの感じがつかめる。
dzの部分が何かを担ってくれている。それが何かを明確に定義したい。

ここでzとwは複素解析の用法である。xとyの複素数版。
量が複素数であるような図形で総合的に考える分野なため。

今は1点増しだったが変数変換しながらトーラスのような曲面全部を覆っていける。
もっとカラビヤウ多様体のような激しく複雑な図形も同様である。
このようにdzやdwを付けたまま、変数変換しながら曲面等図形の全部を
覆うものを微分形式と言う。関数のdzが付いた変形版。

もう少し見てみる。f(∞) dz = f(1/0) dz/dw dw ？結局定義されていないのでは
という疑問への答。zが無限大の近くで、dzはどんどん大きくなる。
dw/dz = - 1/z^2 を両辺に掛ける。するとf(∞)とdzにあり得る発散を
ちょうど抑えるような - 1/∞^2 となる。右辺は f(1/0) dw。
fも∞地点で原則は有限なような関数を扱うことにすれば万事問題なし。
さらに g(w) = f(1/w) dz/dw と関数形が替わって行くという見方もする。

f(z) dz = g(w) dw = ････ 同じ図形上に滑らかに変換しながら、つないで
行っているのだから、係数関数は全部同一と呼ぶべき対象物と思えるだろう。
するとその拡張されたf(z)が、図形上でf(z)=0なる点、f(z)=∞なる点が
普遍的な意味で定まると思える。さらにその位数も。

この拡張f(z)の零点と極またその位数のデータを標準因子と言う。

[532 名無電力１４００１ 2021/10/31(日) 17:24:57.97]

微分のdzの付いていない、一般の関数fの零点と極の位数のデータは因子と言う。
素因数分解で 316.8 = (2^4)(3^2)(5^-1)(7^0)(11^1)
これを(4,2,-1,0,1)と書くようなもの。

但し代数幾何学では素数が一点ではなく既約部分代数多様体になるので
その整数指数はまとめて書き出しておくことで少しでも役立てられる。
逆に素数がそのような図形性を持っている状況を使い、普通の整数論の状況を
分解したり、有理数や実数指数に拡張して補間された連続構造を調べられ、
係数体が拡大するとき素数が分解するのを部分多様体図形として描写する。

リーマンζのパートナーとなる幾何学系分野では、1点に対するこのような
各種の構造化が使えるためにリーマン予想が解けている。一つ付記すると
商による構造の導入もある。合同ζ、セルバーグζがそのようなの。
この上に保型関数も導入すると一杯盛り沢山だなと…。勉強したくなったね？


因子に付随する層とは。まず層とは開集合に対して、そこの上で特異性発散が無い
関数全体を与える、ひとつの関数なのだった。代数的な状況や複素数の正則性の
状況、位相の閉集合の状況など制約系統はあるが、関数全体は興味ある場合に
有限次元な有限個の基本関数の線形結合ベクトル空間になる。

コホモロジーは、この関数全体を扱い、それが商の商や図形の多図形辺縁操作
のようなもので、関数全体の構造が変化していく様子を扱う。特にベクトル空間の
次元は重要な表に出て来る量になる。

全空間に対し、零点の位数と極の位数を指定し、そこを原点としてそれより
零の数が多いのはよし、極があってはなし、という条件で関数全体の空間を
与えるのは別の層になる。中身関数の零点や極の様子が因子条件の分だけ異なるから。
この形のを因子に付随する層と言う。

[533 名無電力１４００１ 2021/10/31(日) 17:28:11.50]

セールの双対定理は個人的に代数幾何学の一中心と思っている定理である。
小平邦彦の小平の消滅定理はこの系として出る。
因子に付随する層、層係数コホモロジー、標準因子、そして層の値としての
ベクトル空間(より条件を減らすとR加群になる)で定理の記述が書かれる。

コホモロジーの流儀は一つ固定しておく。
f(z) dz を微分形式というが、微分形式の層、その因子に付随する層を考える。
微分形式という概念それ自体は標準因子というものを図形に対して定める。
f(z) dzの零点と極があるが、ここからf(z)の零点と極の分を差し引くのである。
dz/dwで零点や極の概念を取り込んで変わって行く分だけ両者に差がある。

図形 Xの因子(既約部分図形による指数データ) Dを任意に取る。
図形Xというのを代数多様体Xとも言うが、こけおどし的でそこに何が含まれているのか？
と思わせてしまうので、特段そこから性質を引っ張り出さなくてもいいですよ
の意味で図形と言う。

Xの標準因子(微分形式構造自体がもつ零と極のデータ)を Kと書く。
因子 Dに付随するX上の層(最大限延長されて図形の極以外で定義される関数の
全体が為すベクトル空間)を O(D)と書く。
因子 Dに付随するX上の微分形式型の関数の層を Ω(D)と書く。

因子の分だけ関数の零極構造や含まれる関数は違うものになっている。
-Dや K-Dは指数ごとの整数演算として定める。
H(-, n, X, F) は層係数のコホモロジー。3レス前に述べた、代数変形で操作された
ベクトル空間。中身はやはり最大限延長された、X定義域の普通の関数。

セールの双対定理は、
H(0, X, Ω(-D)) = H(1, X, O(D)) = H(0, X, O(K - D))

引っ掛かりなく来れた人も居るのでは？
もしかしたらこんなのも常識化して素養を上げるのもいいのかも。
証明は蛇の図式と解析学を使う。

[534 名無電力１４００１ 2021/11/07(日) 17:17:58.90]

２次元以上の代数多様体についての分類と特異点の扱い。
代数幾何学に関する理解を雑多に書いてみる。
だいぶ原発から離れるな。まあ別の回に実地に近く炉物理や実用炉の機械構成でも扱う。
数学論理の現代の前線がどうなってるのか見るのもいいだろう。

この水準の数理で核構造が解明されることだって無いわけではない。
原子核構造←束縛スペクトル←関数解析論←極を幾何学的に解いた代数幾何学
接点を一個でも言って論述のraison d'etreを示したので本題に入る。

先週に代数幾何学の扱うものを述べた。
開集合とその領域で特異性を持たない関数の為す加法群または線形空間、こと層。
色々な方法で代数的展開されるコホモロジー、これも開集合上の関数の為す加法群。
それを縦展開として、横展開に相当するのは準同型写像を分解してコホモロジーの
高いｎの方にまで３つ並んで折り返して続いていく蛇の図式の方法。
因子という素数の指数に相当するもの。微分形式自体が図形に対して持つ標準因子。

言語はこれで全てである。代数幾何学の先の方はトーラスで言う穴の多い図形や、
高次元図形の分類と特異点の操作、そこから整数点などを選んだりして、
初等的問題に結果をつなげること。またｐ進数や数論で発達した構造を組み込むこと。

こんなものとしてここが今日の出発点。今日は残りの３分の２ぐらいを触れる。
２、３か月ほどおいて、その間に折をみて証明の個人フォロー度を増やして、全体的な
まとめまで書けるようにいけるか。今回も率直な書き方するので、そんなものかと思って
内容に親しみを持って、必要な時に一回はレクチャーを聞いたことがある分野として
想起して取り組んで工学にも扱えるようになっておいてもらえれば。

急行列車と各駅停車に相当するような二重化として、内包と外延という考え方がある
ことを知っておいてほしい。こういう性質のものを与える。それはその性質ゆえに
こうなる。というのが内包。一方、その性質を充たすものを実際により単純な集合から
極限やファイバー積なんていう方法、前層の層空間なんて方法で作るのが外延。
外延の部分は筋を辿るのが大変。だが急行路線もあることを知り全体を把握できる。
ということで２か月後に完成の回を持って来れるように今日は半分超を目指す。

[535 名無電力１４００１ 2021/11/07(日) 17:21:56.19]

ハーツホーン第3巻という定番書が積ん読だったのをだいぶ見た。
先週は多分30時間近く代数幾何をやって、見たと言っても30分とかじゃないので
理解しているわけではないと謙遜するほど理解が低いものでもないと思う。
この際に学びたいと思い普段よりもだいぶ多い時間を投入した。集中して
エネルギーを投入して、その後の長期間で引っかかる箇所だらけだった
ことをチョクチョクと解決していく姿勢での計算で、解決すべきことは
このような数学の場合は証明の追跡になるんだよな。

高級書と言われるけれど近場にあることを扱っている。
内容は無機化学や有機化学にも似た雑多感のある事実が多く述べられて構成されている。
射影空間P1とP1でP2がどう構成される、どの曲面は8個の特異点を持ち
ブローアップするとどういう図形になっていて、特性数の何が連続変形では
移りえないので分類を特徴づけている。
層係数コホモロジーと因子と微分形式を前提とした上で、この程度のことを扱っている。
定理もこの言語なので読者も自身で見れば、定理の題意はほぼつかんで行けると思う。

その雑多なことはさすがに原子力に直接つながるとは思えず、数のトリビアに
近いような雰囲気を持っている。化学物質カタログや法律判例構成にも似て、
暗記することで次につながっていくんだろうけれど、それを暗記していないので
今回書きにくいなという感じ。だから2か月後までに違う段階で言えるようにしたい。


トリビアや思い付きを書き連ねていく。図形性質と化学物質が似ている。全部が廃炉には
役立たず10分の1ぐらいしか全く使わない。それでも学ぶ。そういうスタンス。
では代数幾何学の内容とは、以下。あまり役立たないが積み上げると役立つ。

トーラスというのが面白い図形である。円周2つの直積の形を持っている。
どこかで十字に切れ目を入れて、切れ目を円周周回までさせると長方形の展開図になる。
縦横の長さの大小を逆転させるよう変形させて、もう一度対辺をつなぐと
同じトーラスを違う構成にできる。トーラスの腕回りだった円が穴回りになってる。
この変形をプログラムするのはCGの情報科学の良い課題である。

[536 名無電力１４００１ 2021/11/07(日) 17:30:30.56]

y^2 = x^3 + a x + b の3次方程式を見る。左辺はyの2次なので初等方程式論の3次式ではない。
複素数にすると実部と虚部に計2条件がつく。空間はxとyが各複素で4次元。
すなわちこの方程式の解は、4-2=2次元性を持つ解曲面になる。

無限遠を取り込む射影空間にした上で、連続変形をするとトーラスが見える。
実はこの点、自分でそれを確認したことがないし、直接図形の数式としての導出をしてみたい。
普通の説明では級数で導入される楕円関数を与えると、2重周期があって整理するとほら
3次方程式にできるでしょ、だからこの方程式は解の方は級数の2重周期が帰結するトーラスかつ
級数からどちらも導かれるものとして、3次方程式とトーラスはつながっているんだよ。
と説明され、方程式から出発して解の形がトーラスだと見せてくれていない。
CGとしても見たい。代数幾何学の前半の重要トピとして諸教科書ももっときちんと書くべき。

微分形式というのはf(x) dx と微分量をつけて運用する関数で、隣接領域の
べつの座標に対して、f(x) dx = f(x=φ(y)) dx/dy dy = g(y) dy のようにつなげる手法で
図形全部を覆うように構成された、モドキ関数だった。

トーラス上の適当な原点xでf(x) dxを1 dxに取りそこから全曲面につなげて作る。
これって複素化する前の本来の姿は1次元曲線だったので、トーラスのようなのを1次元多様体と言う。
またトーラスはこの条件を充足するdxで独立なのは1つだけという特徴づけを持つ。
1次元多様体であり、全体を覆える微分形式基底が1つだけの図形は、トーラスである。
一般に種数gという曲面のオイラー数でもある数の半分が、大域微分形式の
作る線形空間の次元、いわばdxの数である。

話を射影空間のものにするには、新変数を一個増やして同次化された方程式にする。
トーラスは y^2 z = x^3 + a x z^2 + b z^3 と同次化した3次方程式の解である。
結局、P2（x:y:zの比を座標として作る射影空間）内の3次方程式の解で
独立した微分形式の数が1というのがトーラスである。
なお、P2は実2次元、複素4次元、パラメータ数は複素3つ。Pnに対して n、2n、n+1と覚える。