>>700
バックグラウンドプロセス？
起動した状態で最小化するなりタスクトレイに入れるなりしないとメールチェックはできないぞ

タスクトレイに入れるなら
メニューボタン→設定→一般→システム統合→最小化した Thunderbird をタスクトレイにしまう