×　∫[x=a,b]f(x)dx=∫[x=a,b]dF(x)dx/dx=[x=a,b]{F(x)}=F(b)-F(a)
〇　∫[x=a,b]f(x)dx=∫[x=a,b]dF(x)dx/dx=∫[x=a,b]dF(x)=F(b)-F(a)

一行目の[x=a,b]{F(x)}は不要、というか間違い。なぜなら
ΣｄF＝F(x1)-F(a) + F(x2)-F(x1) + ・・・ + F(b)-F(xn) ＝F(b)-F(a)として導出できるものだから。
それ以外にはない。

∫はΣの極限なので
dの表記があればΣ＝∫となるので同値である。

[世界一正しくて、それゆえ世界一分かりやすい積分の定義と導出]
定積分とは
∫ｆｄｘ(a→b)＝Σｆｄｘ＝ΣｄF／ｄｘ・ｄｘ＝ΣｄF＝F（ｂ）ーF（ａ）である。
ここでｆ＝ｄＦ／ｄｘであり、このＦを求めることをＦ＝∫ｆｄｘと表して
これを不定積分という。
（参考）ΣｄF＝F(x1)-F(a) + F(x2)-F(x1) + ・・・ + F(b)-F(xn) ＝F(b)-F(a)である。