厳密なことを書くとややこしくなるから、あくまで大まかな理解を促す感じで書くね。間違ってたら他のエロい人訂正よろしく

まずドライバーってのはOSさんにこの機器を使えるようにしますねって橋渡ししてくれるソフトのこと
https://youtu.be/nvTDBrAYkLw

ASIOは最もポピュラーなオーディオデバイスドライバーの一つ。オーディオデバイスドライバーってのはその名の通りオーディオデバイスとOS（DAW）を仲介してくれてるのね。
だから多くのオーディオインターフェースはASIOに対応しているのよ。規格名と言ってもいいね。

ASIO4ALLってのはASIO for allの名の通りASIOに対応してない機器もASIOに対応してるように見せかける汎用的なオーディオデバイスドライバーね。

次にquad capture自体のドライバーは、誤解恐れずにざっくりいうとそのインターフェースをそもそも動作・操作するためのもの。オーディオデバイスドライバーと別物って認識の方が理解しやすいと思う。
とはいえインストールする時に付属ASIOも一緒に入れてくれてると思う…。再インストールしたのは最新版だよね？
https://www.roland.com/jp/products/quad-capture/downloads/

設定で何か間違ってたら以下のキャプチャー貼ってくれれば誰かわかるかも
・quad captureのコンパネ画面
・cakewalk のデバイスの選択、デバイスの設定、オプション、録音／再生

あとは>>520の言うようにプレーンプロジェクトでどうなるか、って部分かな