週刊○福島廃炉
α=1486207162
β=1584849320
福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレγ
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1名無電力１４００１
2022/06/12(日) 23:45:11.76599名無電力１４００１
2025/01/26(日) 23:03:16.10 以上で手法について確信を持てるような説明をされたことで、読者も自分でも
1ヶ月くらい貰えば一般相対論の検証の式作れそうだなの感覚を結構持ったのでは？
言いたいことは、解かれている式、残った雑多な部分をまとめた微小量、運動方程式に絡ませたまま微小量を評価。以上。
その感覚でいいと思うよ。論理の段数は短くそのまま結論に到達します。さて中身。
○ハミルトンヤコビ方程式
ハミルトンヤコビ方程式に対しては、正準変換段階で理論に浸るのがいいと思う。
が進むとすると、ハミルトンヤコビ方程式は、H(q, ∂S/∂q, t) + ∂S/∂t = 0 これである。
文字の慣用は、K = H + ∂S/∂t、 S = W - E t。
Kは正準変換後のハミルトニアン、S(q,t)はハミルトンの主関数、Wは正準変換の母関数。
正準変換で座標を(q,p)から(Q,P)に変えるとする。母関数をq,Pと片方ずつで書くのが
浸るとなんとなくそうかなに成って来る所。この時、p=∂W/∂q で Q=∂W/∂P。
つまり独立変数のことを考えてpを置き換えたもの。∂S/∂t項は正準変換時に境界条件を満たす範囲で
Hという量を変化させられるが、その変化量は同時に母関数と時間依存項の和。
○ハミルトンヤコビ摂動論
S(q,t)はP=α(定数)として解かれ解になる。S(q,α,t)という形でありαは正準変換後の表記における運動量。
Sはt入りの母関数であるためβ=∂S/∂αで座標役の関数形も求まる(こういう計算が出来るのが母関数の意味)。
運動方程式は dβ/dt = ∂K/∂α、 dα/dt = - ∂K/∂βだが、K=0を解いて得てるものなのでどちらも右辺は0。
ここでHをH+λVに取り替える。そしてここまでの形式もいじらないとする。KにλVが増えているから
dβ/dt = λ∂V/∂α、 dα/dt = -λ∂V/∂β。
A(β,α)なる物理量の時間変化を求めると、dA/dt = Σ ∂A/∂β・dβ/dt + ∂A/∂α・dα/dt + ∂A/∂t
= λ{A, V} このように(β,α)正準系での2行上の運動方程式、正準変換におけるポアソン括弧の定義の不変性
から使えそうな式 dA/dt = λ{A,V} を得る。
さらに摂動Vが物理量Aの関数のとき、dAi/dt = λ{Ai,Aj} ∂V/∂Aj
正準変換後の(β,α)が正準座標となっている世界のイメージをまだ持ちにくいだろうがここまでで摂動式を得ている。
1ヶ月くらい貰えば一般相対論の検証の式作れそうだなの感覚を結構持ったのでは？
言いたいことは、解かれている式、残った雑多な部分をまとめた微小量、運動方程式に絡ませたまま微小量を評価。以上。
その感覚でいいと思うよ。論理の段数は短くそのまま結論に到達します。さて中身。
○ハミルトンヤコビ方程式
ハミルトンヤコビ方程式に対しては、正準変換段階で理論に浸るのがいいと思う。
が進むとすると、ハミルトンヤコビ方程式は、H(q, ∂S/∂q, t) + ∂S/∂t = 0 これである。
文字の慣用は、K = H + ∂S/∂t、 S = W - E t。
Kは正準変換後のハミルトニアン、S(q,t)はハミルトンの主関数、Wは正準変換の母関数。
正準変換で座標を(q,p)から(Q,P)に変えるとする。母関数をq,Pと片方ずつで書くのが
浸るとなんとなくそうかなに成って来る所。この時、p=∂W/∂q で Q=∂W/∂P。
つまり独立変数のことを考えてpを置き換えたもの。∂S/∂t項は正準変換時に境界条件を満たす範囲で
Hという量を変化させられるが、その変化量は同時に母関数と時間依存項の和。
○ハミルトンヤコビ摂動論
S(q,t)はP=α(定数)として解かれ解になる。S(q,α,t)という形でありαは正準変換後の表記における運動量。
Sはt入りの母関数であるためβ=∂S/∂αで座標役の関数形も求まる(こういう計算が出来るのが母関数の意味)。
運動方程式は dβ/dt = ∂K/∂α、 dα/dt = - ∂K/∂βだが、K=0を解いて得てるものなのでどちらも右辺は0。
ここでHをH+λVに取り替える。そしてここまでの形式もいじらないとする。KにλVが増えているから
dβ/dt = λ∂V/∂α、 dα/dt = -λ∂V/∂β。
A(β,α)なる物理量の時間変化を求めると、dA/dt = Σ ∂A/∂β・dβ/dt + ∂A/∂α・dα/dt + ∂A/∂t
= λ{A, V} このように(β,α)正準系での2行上の運動方程式、正準変換におけるポアソン括弧の定義の不変性
から使えそうな式 dA/dt = λ{A,V} を得る。
さらに摂動Vが物理量Aの関数のとき、dAi/dt = λ{Ai,Aj} ∂V/∂Aj
正準変換後の(β,α)が正準座標となっている世界のイメージをまだ持ちにくいだろうがここまでで摂動式を得ている。
600名無電力１４００１
2025/01/26(日) 23:05:30.77 では具体的な話。言い方は三角法に深入りしないために幾分あいまいだが正確ではあるはず。
太陽と水星だけのエネルギー式から、ハミルトンヤコビ方程式が立ち、その解関数S(q,α,t)が求まる。
これを使い、必要ならばt依存性部分を消して、正準変換の母関数とする。
これにより(r,θ,φ)の世界からβという世界に行くが、それほど突飛ではなく
(β1,β2,β3) = (近地点通過時刻, 近地点引数ω, 昇交点経度Ω)
長径、軌道面傾斜角、離心率が3つのαで作られる関数となっている。言葉は傾いた楕円の記述でまあいいでしょう。
つまり惑星系のハミルトンヤコビ方程式による素直な解は、長径、軌道面傾斜角、離心率と質量などを
適当に組み合わせたものが運動量扱いされているような世界。
これらに対して多くのポアソン括弧を計算しておくのが大事とは前レス最後部分からわかる。
解関数Sの形から始めて、三角関数や平方根を使う式としてどれも求まる。
○木星の影響
重力の影響は直接力と太陽を動かして力とが項として書ける。水星との関係で水星1周回で
効果が消滅する部分を分析して落とす。つまり永年に利かない振動かつ平均が0なのを分析で落とす。
これでλVの形が決まる。
春分点方向から測った水星の近日点経度はω+Ωであり、
前レス最後部分で、Aとしてω+Ωを取り、計算準備してあったポアソン括弧から、時間変化の式を得る。
金星地球土星火星の順の大きさで影響があり足すことと地球の独自運動分による視差を引く。
○一般相対論の影響
測地線は一般相対論的効果であり、測地線を変分で求める方程式から、一般相対論の効果がポテンシャル
-λV = c^-2 {μ (dr/dt)^2 / r + (v^2/2 + μ/r)^2 / 2}
但しμ=重力定数×太陽質量、 v^2 = (dr/dt)^2 + (r dθ/dt)^2。
同じく永年に利かない振動を分析してまず落とす。
そして本レス前半的なβαの正準変数に基本変数を合わせて行き、d(ω+Ω)/dtが求まり
この式の値 (6π G Msun) / (τ (1 - e^2) a c^2) が実際にいわゆる43秒角/100年。
τ,a,eはそれぞれ水星の公転周期,長径,離心率。
太陽と水星だけのエネルギー式から、ハミルトンヤコビ方程式が立ち、その解関数S(q,α,t)が求まる。
これを使い、必要ならばt依存性部分を消して、正準変換の母関数とする。
これにより(r,θ,φ)の世界からβという世界に行くが、それほど突飛ではなく
(β1,β2,β3) = (近地点通過時刻, 近地点引数ω, 昇交点経度Ω)
長径、軌道面傾斜角、離心率が3つのαで作られる関数となっている。言葉は傾いた楕円の記述でまあいいでしょう。
つまり惑星系のハミルトンヤコビ方程式による素直な解は、長径、軌道面傾斜角、離心率と質量などを
適当に組み合わせたものが運動量扱いされているような世界。
これらに対して多くのポアソン括弧を計算しておくのが大事とは前レス最後部分からわかる。
解関数Sの形から始めて、三角関数や平方根を使う式としてどれも求まる。
○木星の影響
重力の影響は直接力と太陽を動かして力とが項として書ける。水星との関係で水星1周回で
効果が消滅する部分を分析して落とす。つまり永年に利かない振動かつ平均が0なのを分析で落とす。
これでλVの形が決まる。
春分点方向から測った水星の近日点経度はω+Ωであり、
前レス最後部分で、Aとしてω+Ωを取り、計算準備してあったポアソン括弧から、時間変化の式を得る。
金星地球土星火星の順の大きさで影響があり足すことと地球の独自運動分による視差を引く。
○一般相対論の影響
測地線は一般相対論的効果であり、測地線を変分で求める方程式から、一般相対論の効果がポテンシャル
-λV = c^-2 {μ (dr/dt)^2 / r + (v^2/2 + μ/r)^2 / 2}
但しμ=重力定数×太陽質量、 v^2 = (dr/dt)^2 + (r dθ/dt)^2。
同じく永年に利かない振動を分析してまず落とす。
そして本レス前半的なβαの正準変数に基本変数を合わせて行き、d(ω+Ω)/dtが求まり
この式の値 (6π G Msun) / (τ (1 - e^2) a c^2) が実際にいわゆる43秒角/100年。
τ,a,eはそれぞれ水星の公転周期,長径,離心率。
601名無電力１４００１
2025/02/02(日) 17:15:26.11 ロボットにもっと権限を持たせていいような気がする。
先日、道路の大型の陥没事故があって深さ10m、幅50mもだそうだが、
どういう手段を取ればいいかわからなくなってしまうようなことが社会にはありがち。
下水管の傷に土が流れ込み、地下に空洞が出来て落ちたということだった。
これは平均的なインフラだから、今後劣化に伴い、同種の事故が起きて行くことは
避けられないことだろう。
また高いビルを建ててしまってその後どうするのというようなことも気になる。
一応非常に高いビルを壊す手段もあるにはあるけれど、
上の方に解体クレーン車を置いて、状況に合わせて工夫しながら壊しては下に降ろして
総重量を減らし、下に重心を移して行ってということらしい。
しかし解体話を見るとその都度かなりの工夫をしているし、その矩(のり)を超えて
システム外に陥った時にどうするかということが難しい。
我が国では中々システム外のときに直視しない気風があると言う。つまり人間でも難しい。
米国でも山火事があって当該国は途方に暮れているようだった。
最近のAIは一般人を総合知識で超えて来ると言う。
融合知を持っているから他で学んだ知識を淡いパラメータにして記憶して
持って来て具体手段化して適用出来るのだろう。
難関な資格試験まで通るのは確かに初等的構造の記憶ではない。
即ち状況を見させて、アクチュエータも持たせて、ロボット本人に方針まで出してもらい
行動したり、人に指示したり、自分にはこういう機能があるがこういう機能が無いから
製作して付けるとこうなるでしょう、のようなことを言ってもらう。
事故には時間の緊急性を要するものはかなり多い。
足りない部分もあろうが、そこに参加出来るぐらいの判断力をロボット(AI)は備えているのだから
基本的には参加させて救出度を上げる。
こういう実地での訓練が宇宙ステーションや原発の難度の高い現場へつながり
さらに今後にもある大型の災害の時にシステムが出来ていてよかった素晴らしい
となってくれるのではないかと思う。
不足していた部分をAI開発者に注文して出来るように解決してもらい
また日常ではビル建築で人型ロボットをどんどん投入するのがいいと思う。
今はまだ売り物にならないなら売り物にしないビルを作ってと。
先日、道路の大型の陥没事故があって深さ10m、幅50mもだそうだが、
どういう手段を取ればいいかわからなくなってしまうようなことが社会にはありがち。
下水管の傷に土が流れ込み、地下に空洞が出来て落ちたということだった。
これは平均的なインフラだから、今後劣化に伴い、同種の事故が起きて行くことは
避けられないことだろう。
また高いビルを建ててしまってその後どうするのというようなことも気になる。
一応非常に高いビルを壊す手段もあるにはあるけれど、
上の方に解体クレーン車を置いて、状況に合わせて工夫しながら壊しては下に降ろして
総重量を減らし、下に重心を移して行ってということらしい。
しかし解体話を見るとその都度かなりの工夫をしているし、その矩(のり)を超えて
システム外に陥った時にどうするかということが難しい。
我が国では中々システム外のときに直視しない気風があると言う。つまり人間でも難しい。
米国でも山火事があって当該国は途方に暮れているようだった。
最近のAIは一般人を総合知識で超えて来ると言う。
融合知を持っているから他で学んだ知識を淡いパラメータにして記憶して
持って来て具体手段化して適用出来るのだろう。
難関な資格試験まで通るのは確かに初等的構造の記憶ではない。
即ち状況を見させて、アクチュエータも持たせて、ロボット本人に方針まで出してもらい
行動したり、人に指示したり、自分にはこういう機能があるがこういう機能が無いから
製作して付けるとこうなるでしょう、のようなことを言ってもらう。
事故には時間の緊急性を要するものはかなり多い。
足りない部分もあろうが、そこに参加出来るぐらいの判断力をロボット(AI)は備えているのだから
基本的には参加させて救出度を上げる。
こういう実地での訓練が宇宙ステーションや原発の難度の高い現場へつながり
さらに今後にもある大型の災害の時にシステムが出来ていてよかった素晴らしい
となってくれるのではないかと思う。
不足していた部分をAI開発者に注文して出来るように解決してもらい
また日常ではビル建築で人型ロボットをどんどん投入するのがいいと思う。
今はまだ売り物にならないなら売り物にしないビルを作ってと。
602名無電力１４００１
2025/02/02(日) 22:47:15.90 宇宙工学関係では多くとも１０問も力学問題を学べば相当の実力がつく。
典型問題があるだけである。それをこのスレで今回は導入だけになってしまっても
いずれ読者共々に学んだ形態を作ろう。今日は間違っている部分もあろうが現状理解。
ラグランジュ点問題。静止系なら単なる重力ポテンシャルだがどれも公転していて
その速度は中心星の質量とそこからの距離が決めている。軌道は楕円化もする。
実はこの問題の直接解説が探して無かったのである。科学門外の人には元から無縁だろうが
どちらかというと内部側の者として見つけていいはずが、無い。
どこかで見たことあったはずだが。まあ書店に行って新本探せばあるのかも。
これほど重厚な力学のどこにも無いなら丁寧にまとめねば。まとめる価値がある感じ。
地球・月・人工物の系か、太陽・地球・人工物の系がラグランジュ点の典型。
見かけの力によってそこでポテンシャル極小？その点に入って行く引力がある？
もしこうなら銀河と大マゼランなど伴銀河の間でもラグランジュ点があって、
物が溜まっている地帯と思われるから、各このような系について天体観測し
その観測データから重力について新規情報はあろう。
PC内に太陽と地球を置いて、人工物を様々に投入して特徴的な動きをするものとして
数値実験からそれは発見できるものか？この時複数個、何百点を同時に入れればいい。
軽量物は互いに独立だから粒子扱いにして、同時計算表示が人間の目として
同時に概要把握は出来るものだし、グラフィックスとしても綺麗そう。
フライバイ航法はPCで計算してしまって、この時期はこれが便利とソフト的に全体を取れる。
ヒルの方程式は、軌道上でドッキングする時にコリオリ力によって制動と直角の力が働く動作。
ランベルトの定理は、地点間の飛行時間が長さパラメータ数個のみの関数とする。
カルマンフィルタで、計測誤差の構造を現代制御理論の方法で取り入れた改善制御が与えられる。
クォータニオン数週前にやってこれなの？と思った人。確かに角度のちょい技巧だけだった。
あなたのその疑問。3次元空間を四元数の虚数部に、時間を四元数の実数に、運動やローレンツ変換を
四元数世界の曲線と見て力学を入れてしまう方法。剛体の向きに関する複雑なこと。も課題化。
典型問題があるだけである。それをこのスレで今回は導入だけになってしまっても
いずれ読者共々に学んだ形態を作ろう。今日は間違っている部分もあろうが現状理解。
ラグランジュ点問題。静止系なら単なる重力ポテンシャルだがどれも公転していて
その速度は中心星の質量とそこからの距離が決めている。軌道は楕円化もする。
実はこの問題の直接解説が探して無かったのである。科学門外の人には元から無縁だろうが
どちらかというと内部側の者として見つけていいはずが、無い。
どこかで見たことあったはずだが。まあ書店に行って新本探せばあるのかも。
これほど重厚な力学のどこにも無いなら丁寧にまとめねば。まとめる価値がある感じ。
地球・月・人工物の系か、太陽・地球・人工物の系がラグランジュ点の典型。
見かけの力によってそこでポテンシャル極小？その点に入って行く引力がある？
もしこうなら銀河と大マゼランなど伴銀河の間でもラグランジュ点があって、
物が溜まっている地帯と思われるから、各このような系について天体観測し
その観測データから重力について新規情報はあろう。
PC内に太陽と地球を置いて、人工物を様々に投入して特徴的な動きをするものとして
数値実験からそれは発見できるものか？この時複数個、何百点を同時に入れればいい。
軽量物は互いに独立だから粒子扱いにして、同時計算表示が人間の目として
同時に概要把握は出来るものだし、グラフィックスとしても綺麗そう。
フライバイ航法はPCで計算してしまって、この時期はこれが便利とソフト的に全体を取れる。
ヒルの方程式は、軌道上でドッキングする時にコリオリ力によって制動と直角の力が働く動作。
ランベルトの定理は、地点間の飛行時間が長さパラメータ数個のみの関数とする。
カルマンフィルタで、計測誤差の構造を現代制御理論の方法で取り入れた改善制御が与えられる。
クォータニオン数週前にやってこれなの？と思った人。確かに角度のちょい技巧だけだった。
あなたのその疑問。3次元空間を四元数の虚数部に、時間を四元数の実数に、運動やローレンツ変換を
四元数世界の曲線と見て力学を入れてしまう方法。剛体の向きに関する複雑なこと。も課題化。
603名無電力１４００１
2025/02/09(日) 17:17:57.82 歳差運動の基本的な所をまとめる。実例ではコマを使う。
コマでは位置エネルギーの項 m g l cosθが動力(源)。
地球では傾く回転楕円体に対して太陽の引力の差がもたらす軸を立てる傾向の力が動力。
原子核では球形にも関わらず持つ磁気双極子性、それと外部磁場との -μ･B 項が動力。
空間座標を<x><y><z>とする。ベクトル性を意識する必要があり明快記号にて区別。
コマに付着した座標を<1><2><3>とする。枠とも呼ぶ。<i><j><k>の流儀も。
初め両者は重なっている。回転はいつも反時計。L<3>は3軸回りの角運動量とする。
エネルギーE保存、L<3>保存、L<z>保存から以下結論を導く。
入る前に3軸、z軸回りのLを変える力は無いから保存されることは洞察しておいてほしい。
これはもちろん作用からも導かれ単に変化させる項が無いからそうなる。
オイラー角θφψ立体イメージ。以下10行分ぐらいはしっかり読んで。
<y=2>軸回りにθ度回転する。<z>と重なる<3>軸が<x>に向けて倒される。
<z>軸回りにφ度回転する。これで<3>軸方向が決定する。
<3>軸回りにψ度回転する。
はじめの手続き後
<3> = cosθ <z> + sinθ <x>
<1> = cosθ <x> - sinθ <z>
<2> = <y>
次の手続き後
<3> = cosθ <z> + sinθ (cosφ<x> + sinφ<y>)
<1> = cosθ (cosφ<x> + sinφ<y>) - sinθ <z>
<2> = (cosφ<y> - sinφ<x>)
<3><1><2>という枠ベクトルが動いたのちの指している先座標を右側が座標表示とも読める。
3番目の手続き後はおもしろくない数式形だし歳差の語りに不要。書かない。
というか歳差は2回操作をしたここで計算システムを作るので。
コマでは位置エネルギーの項 m g l cosθが動力(源)。
地球では傾く回転楕円体に対して太陽の引力の差がもたらす軸を立てる傾向の力が動力。
原子核では球形にも関わらず持つ磁気双極子性、それと外部磁場との -μ･B 項が動力。
空間座標を<x><y><z>とする。ベクトル性を意識する必要があり明快記号にて区別。
コマに付着した座標を<1><2><3>とする。枠とも呼ぶ。<i><j><k>の流儀も。
初め両者は重なっている。回転はいつも反時計。L<3>は3軸回りの角運動量とする。
エネルギーE保存、L<3>保存、L<z>保存から以下結論を導く。
入る前に3軸、z軸回りのLを変える力は無いから保存されることは洞察しておいてほしい。
これはもちろん作用からも導かれ単に変化させる項が無いからそうなる。
オイラー角θφψ立体イメージ。以下10行分ぐらいはしっかり読んで。
<y=2>軸回りにθ度回転する。<z>と重なる<3>軸が<x>に向けて倒される。
<z>軸回りにφ度回転する。これで<3>軸方向が決定する。
<3>軸回りにψ度回転する。
はじめの手続き後
<3> = cosθ <z> + sinθ <x>
<1> = cosθ <x> - sinθ <z>
<2> = <y>
次の手続き後
<3> = cosθ <z> + sinθ (cosφ<x> + sinφ<y>)
<1> = cosθ (cosφ<x> + sinφ<y>) - sinθ <z>
<2> = (cosφ<y> - sinφ<x>)
<3><1><2>という枠ベクトルが動いたのちの指している先座標を右側が座標表示とも読める。
3番目の手続き後はおもしろくない数式形だし歳差の語りに不要。書かない。
というか歳差は2回操作をしたここで計算システムを作るので。
604名無電力１４００１
2025/02/09(日) 17:22:00.24 角速度は角度の無限小部分で、無限小ならば接平面のようなもので線形空間として足せる。
角速度と角運動量は軸性ベクトルというもので、方向が回転軸、長さが回転の大きさ。
角に関する言葉が2つ出て来ていることに注意。これが物理である(問題を解くシステムという意味)。
角速度ω = dθ/dt <2> + dφ/dt <z> + dψ/dt <3>
θφψで他2つを固定し1つだけを微小変える。例えばθを少し変えると最初の回転が少し大きい。
その回転軸は<y=2>だったが2はyから遊離して動いて行く。但しこれは構成の話であって
最終的な<2>の位置があるしそこにてθを少し大きくしたというような話。項の形は妥当。他は容易。
ω = θ' <2> + φ' (cosθ<3> - sinθ<1>) + ψ' <3>
= - φ' sinθ <1> + θ' <2> + (ψ' + φ' cosθ) <3>
= ω1 <1> + ω2 <2> + ω3 <3>
'は時間微分。ω1ω2ω3はここでそう定義。前レス後半の<z>を解いて代入してある。
角運動量は L = I ω。 Iは慣性モーメント(能率とも)。
この式は本来3ベクトル = 33行列 3ベクトルのデータ型だが、<1><2><3>を物体の対称軸に
取っているとIが対角行列になり、L = I1 ω1 + I2 ω2 + I3 ω3 などのように書き出せる。
ベクトル性に関してきちんと書くことは必要ではある。
慣性能率Iは角運動量がL = I ω、回転エネルギーがE = 1/2 I ω^2 と書かれる量で
単純力学での質量mに相当する。但し33成分化しているというのは述べた。
回転させにくさ、止めにくさ。行列形のため任意軸での回転させやすさ度がこれでわかる。
コマについて形から I1 = I2 = I(新しく)としていい。
L<軸性> = I ω1 <1> + I ω2 <2> + I3 ω3 <3>
= - I φ' sinθ <1> + I θ' <2> + I3 (ψ' + φ' cosθ) <3>
角速度と角運動量は軸性ベクトルというもので、方向が回転軸、長さが回転の大きさ。
角に関する言葉が2つ出て来ていることに注意。これが物理である(問題を解くシステムという意味)。
角速度ω = dθ/dt <2> + dφ/dt <z> + dψ/dt <3>
θφψで他2つを固定し1つだけを微小変える。例えばθを少し変えると最初の回転が少し大きい。
その回転軸は<y=2>だったが2はyから遊離して動いて行く。但しこれは構成の話であって
最終的な<2>の位置があるしそこにてθを少し大きくしたというような話。項の形は妥当。他は容易。
ω = θ' <2> + φ' (cosθ<3> - sinθ<1>) + ψ' <3>
= - φ' sinθ <1> + θ' <2> + (ψ' + φ' cosθ) <3>
= ω1 <1> + ω2 <2> + ω3 <3>
'は時間微分。ω1ω2ω3はここでそう定義。前レス後半の<z>を解いて代入してある。
角運動量は L = I ω。 Iは慣性モーメント(能率とも)。
この式は本来3ベクトル = 33行列 3ベクトルのデータ型だが、<1><2><3>を物体の対称軸に
取っているとIが対角行列になり、L = I1 ω1 + I2 ω2 + I3 ω3 などのように書き出せる。
ベクトル性に関してきちんと書くことは必要ではある。
慣性能率Iは角運動量がL = I ω、回転エネルギーがE = 1/2 I ω^2 と書かれる量で
単純力学での質量mに相当する。但し33成分化しているというのは述べた。
回転させにくさ、止めにくさ。行列形のため任意軸での回転させやすさ度がこれでわかる。
コマについて形から I1 = I2 = I(新しく)としていい。
L<軸性> = I ω1 <1> + I ω2 <2> + I3 ω3 <3>
= - I φ' sinθ <1> + I θ' <2> + I3 (ψ' + φ' cosθ) <3>
605名無電力１４００１
2025/02/09(日) 17:28:00.93 L<軸性>と<z>の内積を取ると角運動量のz成分L<z>が分かる。
前々レスの次の手続き後という表示を使い<1><2><3>を<x><y><z>にして
またω3は回転体にぴったり付属している量なので変数として残すことにする。
L<z> = L<軸性>・<z>
= I ω1 (<1>･<z>) + I ω2 (<2>･<z>) + I3 ω3 (<3>･<z>)
= I ω1 (- sinθ) + I ω2 0 + I3 ω3 cosθ
= I φ' (sinθ)^2 + I3 ω3 cosθ
エネルギー保存則。lはコマの足と重心の距離とする。
回転エネルギーは下の第1項のようなものなのだった。それは3項の足し算で。
E = 1/2 [I] ω^2 + m g l cosθ
= 1/2 I φ'^2 (sinθ)^2 + 1/2 I θ'^2 + 1/2 I3 ω3^2 + m g l cosθ = 一定
これで解ける。未知数φ'とθ'の連立微分方程式。φ'が歳差運動。
L<z>式とE式を時間微分し保存則だから0と置ける。
ω3 (I3 ω3でも同じ)は時不変という最初の洞察使用。ω3自転速度は実は定数。
L<z>' = I φ'' (sinθ)^2 + 2 I φ' θ' sinθcosθ - I3 ω3 θ' sinθ = 0
E' = I φ' φ'' (sinθ)^2 + I φ'^2 θ' sinθcosθ + I θ' θ'' - m g l θ' sinθ = 0
上式のφ'倍から下式を引きθ'で割る。1項以外sinθでまとめれる。
I θ'' = (I φ'^2 cosθ - I3 ω3 φ' + m g l) sinθ
章動θ'が0の条件で臨界条件を定める。そのとき右辺の2次方程式を解いてφ'がθで表される。
その根号の中が実物理として0以上の条件。θは90度を越えないからcosθは正という条件も。
この時θの値に応じてφ'が2つ定まり速い歳差と遅い歳差という解。遅い歳差が本来ので、
速い歳差はその次の近似のθを復活させた章動と共に現象でも観察される。
前々レスの次の手続き後という表示を使い<1><2><3>を<x><y><z>にして
またω3は回転体にぴったり付属している量なので変数として残すことにする。
L<z> = L<軸性>・<z>
= I ω1 (<1>･<z>) + I ω2 (<2>･<z>) + I3 ω3 (<3>･<z>)
= I ω1 (- sinθ) + I ω2 0 + I3 ω3 cosθ
= I φ' (sinθ)^2 + I3 ω3 cosθ
エネルギー保存則。lはコマの足と重心の距離とする。
回転エネルギーは下の第1項のようなものなのだった。それは3項の足し算で。
E = 1/2 [I] ω^2 + m g l cosθ
= 1/2 I φ'^2 (sinθ)^2 + 1/2 I θ'^2 + 1/2 I3 ω3^2 + m g l cosθ = 一定
これで解ける。未知数φ'とθ'の連立微分方程式。φ'が歳差運動。
L<z>式とE式を時間微分し保存則だから0と置ける。
ω3 (I3 ω3でも同じ)は時不変という最初の洞察使用。ω3自転速度は実は定数。
L<z>' = I φ'' (sinθ)^2 + 2 I φ' θ' sinθcosθ - I3 ω3 θ' sinθ = 0
E' = I φ' φ'' (sinθ)^2 + I φ'^2 θ' sinθcosθ + I θ' θ'' - m g l θ' sinθ = 0
上式のφ'倍から下式を引きθ'で割る。1項以外sinθでまとめれる。
I θ'' = (I φ'^2 cosθ - I3 ω3 φ' + m g l) sinθ
章動θ'が0の条件で臨界条件を定める。そのとき右辺の2次方程式を解いてφ'がθで表される。
その根号の中が実物理として0以上の条件。θは90度を越えないからcosθは正という条件も。
この時θの値に応じてφ'が2つ定まり速い歳差と遅い歳差という解。遅い歳差が本来ので、
速い歳差はその次の近似のθを復活させた章動と共に現象でも観察される。
606名無電力１４００１
2025/02/16(日) 17:15:36.28 新しい数学の可能性を。
4元数は [Ai,Aj] = εijk Ak という構造を持つ。
4元数ではAを外した虚数名にしてεは±2か0の。
こういう構造はリー代数全般にある。εは構造定数といい一般の形に拡張される。
8元数は [Ai,Aj] = εijk Ak という構造を持つ。
虚数は7つあって同じくεは±2か0だが、(x y) z = - x (y z)となる反結合則の所が入る。
左辺は積差であり[x, y] = x y - y x
{x, y} = x y + y x という積和も導入する。
リー代数論や超対称論の2はこの辺の2である。左辺が2項もので構成されてるがため。
スピンが1/2というのも合わせ、公式の係数を1にすると両条件に関係がついてるかも。
超対称性を含む代数は {Ai,Aj} = εijk Ak という構造を持つ。
偶奇を持たせ両方奇のとき{}、片方以上偶のとき[]に戻るというルール。
先の理論はこれをも使って構成されるという主張が多い。
さてしかし見ると、[]だけを使って反結合則を使うという拡張スタイルもあることがわかる。
どの半単純リー代数も反結合則を使う拡張があって、先の理論の本命はこっちの可能性は？
また対称性の破れはリー代数の中に起源が無ければならないと思う。
ヒッグスを多く導入してとも言うがその起源が不分明。
SU(3)ぐらいなら基底に平等性があるがそれでも実際に正規基底（これはガロア理論の言葉で
平等的で内積などの関係式も平等になっている取り方のこと）
を確認するのは簡単ではなく、より複雑なリー代数では正規基底が存在しない。
するとゲージ粒子としては最初からクラスターがあって平等ではなく、くりこみをすると
自然に分かれて行って、数字の差が質の差を発生させるところで群が分かれ力が分かれると思う。
後者の考え方と4元数には8元数を伴わせる、のような仕方で物事の新整理ができそう。
線形代数の正規は長さ1で別。SU(2)パウリ行列が技巧的なのがもっと複雑にと。
昇降演算子には超幾何関数(そのリー群は何)への拡張も。昇降→超幾何作成→他のパラメータの意味を見る。
4元数は [Ai,Aj] = εijk Ak という構造を持つ。
4元数ではAを外した虚数名にしてεは±2か0の。
こういう構造はリー代数全般にある。εは構造定数といい一般の形に拡張される。
8元数は [Ai,Aj] = εijk Ak という構造を持つ。
虚数は7つあって同じくεは±2か0だが、(x y) z = - x (y z)となる反結合則の所が入る。
左辺は積差であり[x, y] = x y - y x
{x, y} = x y + y x という積和も導入する。
リー代数論や超対称論の2はこの辺の2である。左辺が2項もので構成されてるがため。
スピンが1/2というのも合わせ、公式の係数を1にすると両条件に関係がついてるかも。
超対称性を含む代数は {Ai,Aj} = εijk Ak という構造を持つ。
偶奇を持たせ両方奇のとき{}、片方以上偶のとき[]に戻るというルール。
先の理論はこれをも使って構成されるという主張が多い。
さてしかし見ると、[]だけを使って反結合則を使うという拡張スタイルもあることがわかる。
どの半単純リー代数も反結合則を使う拡張があって、先の理論の本命はこっちの可能性は？
また対称性の破れはリー代数の中に起源が無ければならないと思う。
ヒッグスを多く導入してとも言うがその起源が不分明。
SU(3)ぐらいなら基底に平等性があるがそれでも実際に正規基底（これはガロア理論の言葉で
平等的で内積などの関係式も平等になっている取り方のこと）
を確認するのは簡単ではなく、より複雑なリー代数では正規基底が存在しない。
するとゲージ粒子としては最初からクラスターがあって平等ではなく、くりこみをすると
自然に分かれて行って、数字の差が質の差を発生させるところで群が分かれ力が分かれると思う。
後者の考え方と4元数には8元数を伴わせる、のような仕方で物事の新整理ができそう。
線形代数の正規は長さ1で別。SU(2)パウリ行列が技巧的なのがもっと複雑にと。
昇降演算子には超幾何関数(そのリー群は何)への拡張も。昇降→超幾何作成→他のパラメータの意味を見る。
607名無電力１４００１
2025/02/16(日) 23:17:01.38 アルキメデスが宇宙の大きさを100光年と見積もったというのは本当なのかな。
文献とかは知らないしその話は半分に聞いて、推測で検討してみよう。
1地球の大きさ、2月の距離、3太陽の距離、4恒星の距離。
1を省略できたりする。話は3または4段階。
文明的な道具は無くとも多少の人手と或る程度の根性があれば。
地球の大きさ。これは簡単。月と太陽を見て地球も球形かもと推測できる。
古代でも3000kmの移動はできる。南北に離れて同じ日の太陽の南中高度を計測。
計測の仕方はピンホールを通して細くなった光線の着地先を見て1分角の正確な角度まで。
直径約13000kmの球とわかるし、繰り返してもそのくらいとわかったら、
船の中央柱に目盛りを付け任意の距離に置いて予測される見え方の程度とで検算。
この世界が現実物の世界である以上、研究値は一つの収束値を指し示して確定する。
ちなみにバーチャルなら揺らぐだろうがこういうのは確定するから現実っぽいのである。
球であることがわかると相対感を持つ。欧州中世が遅れていただけのことで
遥か昔から月は地球と平等という思想は例えば我々の知る童話にもあるし
星は遠い太陽というのもよく見ると古い科学者がみんな自分の本の中で言っている。
では次にするのは太陽系構造。何十年もの観測から星図の中の惑星の通り道が
思料データになる。仮定を取替えながらこういう仮定ではどうかと、
それを解釈するモデル作りをしてみる。地球の動不動も仮定で取捨どちらも考察。
やはり真に最適なモデルはその中で見つかる。見つかるのである。
現実の物は追い込めば蓋然度が固まるから。
太陽系はこういう風に動いているのか、地球はこうなのか。ここまで通常の人の感覚で得られる。
そして多くの文明がその暇の中でこれをしていた。
文献とかは知らないしその話は半分に聞いて、推測で検討してみよう。
1地球の大きさ、2月の距離、3太陽の距離、4恒星の距離。
1を省略できたりする。話は3または4段階。
文明的な道具は無くとも多少の人手と或る程度の根性があれば。
地球の大きさ。これは簡単。月と太陽を見て地球も球形かもと推測できる。
古代でも3000kmの移動はできる。南北に離れて同じ日の太陽の南中高度を計測。
計測の仕方はピンホールを通して細くなった光線の着地先を見て1分角の正確な角度まで。
直径約13000kmの球とわかるし、繰り返してもそのくらいとわかったら、
船の中央柱に目盛りを付け任意の距離に置いて予測される見え方の程度とで検算。
この世界が現実物の世界である以上、研究値は一つの収束値を指し示して確定する。
ちなみにバーチャルなら揺らぐだろうがこういうのは確定するから現実っぽいのである。
球であることがわかると相対感を持つ。欧州中世が遅れていただけのことで
遥か昔から月は地球と平等という思想は例えば我々の知る童話にもあるし
星は遠い太陽というのもよく見ると古い科学者がみんな自分の本の中で言っている。
では次にするのは太陽系構造。何十年もの観測から星図の中の惑星の通り道が
思料データになる。仮定を取替えながらこういう仮定ではどうかと、
それを解釈するモデル作りをしてみる。地球の動不動も仮定で取捨どちらも考察。
やはり真に最適なモデルはその中で見つかる。見つかるのである。
現実の物は追い込めば蓋然度が固まるから。
太陽系はこういう風に動いているのか、地球はこうなのか。ここまで通常の人の感覚で得られる。
そして多くの文明がその暇の中でこれをしていた。
608名無電力１４００１
2025/02/16(日) 23:20:31.33 その次が月の距離測定。これはどうするか。月と太陽は視野角が約30分角である。
水に映った月を見たことがあるだろう。あれの大きさはどうだったろうか？
答は無いのである。おぼんぐらいだと思っていたら間違い。
人の目から30分角を取りその断面が大きさなので、距離によって違う。
即ち、水面から離れて見て、水面の中には格子を描いておく。
これにより月の模様を写し取ることが可能になる。
これを同じ日、同じ時の3000km離れた地点でする。
すると1m離れたビー玉を自分も1cm動いて見て、その模様差を判別するようなもの。
差があることが確信できる。繰り返して確定しすぐに距離がわかる。
望遠鏡以後は科学者がパーソナルでつまり一人か二人でできるようになった。
月をとても大きく拡大して紙に写しスケッチすれば、三角法の使い所がいくらでもあり
常に同じ距離値を示す。
月を上の太陽モデルの一つに当てはめる。おそらくは月の距離はわかっても
それだけでは金星の距離はわからないようなこともあるかもしれない。
しかしスケール的に100倍以上は遠いだろうということはすぐ感じられ
なんだかそういうことが当たる仕組みになってる。現実の金星距離もそんなもの。
モデルの中の太陽距離もわかり、桁のゆらぎはあってもそんなものかまではわかる。
力学以後はそういう推論の隙間は埋まる。力学と望遠鏡はあまりに強力。その前の話。
月と太陽が大きさが同じことを使い、明るさの比を調べる仕組みを作る。
鏡と凸面鏡。凸面鏡は反射光を拡散させる。その度合いは計算され調整もされる。
洞窟の中に暗室を作り、凸面鏡数連チャンと穴通し、これで遥かに弱い光線にして
人の目でこのくらいというのは数連で感じる。
但し星としての性質が違うから、明るさの比では直接距離のことはわからない。
太陽系モデルはシンプルモデルの指針でそれまでに確信していても、そのスケールを
固める方法は見つけにくいだろう。金星距離を上ので下限を推測するくらい。
一つわかれば他もわかるから望遠鏡も無い時代にそれをどうするか。
水に映った月を見たことがあるだろう。あれの大きさはどうだったろうか？
答は無いのである。おぼんぐらいだと思っていたら間違い。
人の目から30分角を取りその断面が大きさなので、距離によって違う。
即ち、水面から離れて見て、水面の中には格子を描いておく。
これにより月の模様を写し取ることが可能になる。
これを同じ日、同じ時の3000km離れた地点でする。
すると1m離れたビー玉を自分も1cm動いて見て、その模様差を判別するようなもの。
差があることが確信できる。繰り返して確定しすぐに距離がわかる。
望遠鏡以後は科学者がパーソナルでつまり一人か二人でできるようになった。
月をとても大きく拡大して紙に写しスケッチすれば、三角法の使い所がいくらでもあり
常に同じ距離値を示す。
月を上の太陽モデルの一つに当てはめる。おそらくは月の距離はわかっても
それだけでは金星の距離はわからないようなこともあるかもしれない。
しかしスケール的に100倍以上は遠いだろうということはすぐ感じられ
なんだかそういうことが当たる仕組みになってる。現実の金星距離もそんなもの。
モデルの中の太陽距離もわかり、桁のゆらぎはあってもそんなものかまではわかる。
力学以後はそういう推論の隙間は埋まる。力学と望遠鏡はあまりに強力。その前の話。
月と太陽が大きさが同じことを使い、明るさの比を調べる仕組みを作る。
鏡と凸面鏡。凸面鏡は反射光を拡散させる。その度合いは計算され調整もされる。
洞窟の中に暗室を作り、凸面鏡数連チャンと穴通し、これで遥かに弱い光線にして
人の目でこのくらいというのは数連で感じる。
但し星としての性質が違うから、明るさの比では直接距離のことはわからない。
太陽系モデルはシンプルモデルの指針でそれまでに確信していても、そのスケールを
固める方法は見つけにくいだろう。金星距離を上ので下限を推測するくらい。
一つわかれば他もわかるから望遠鏡も無い時代にそれをどうするか。
609名無電力１４００１
2025/02/16(日) 23:25:00.99 それでも太陽距離はもうオーダー推測ついているし、次の恒星とは光量比の測定。
-26等と-1等では100億倍の比であるが、まず単純思考でこの比は100万どころじゃなく
もっと上で1億ではどうかわからないな。は普通的推論。
これが意外と当たっている。上の金星のと同じで。そんな仕組みが。
1億としてしまうと距離は1万倍で太陽1.5億kmから1.5兆km、0.15光年。
測定を凸面鏡と暗室数連と計算でしても、人の感覚だが星はここまで暗くは無いという
下限超えな減衰のときも察して、オーダーでは似たようなものに。
全天で一番明るい星がそれで、些末かに見える星は遠いのだろうと。
そんな推論をしてどの星も太陽と同じ明るさという仮定が入っているが
100光年が全宇宙とするのは悪くないのでは、という提言にまで至れる。
まじめな科学者の率直な推論でそうなると言える数字である。
どうだろうか。ある文明がここまで作っていればよしよしと言いたくなる感じするよね。
自分でやっても力学望遠鏡以前はそうなりそう。
太陽系内の距離がこうしてわかると、木星の衛星の隠れ時刻など木星関連の現象が、
計算から30分ほどずれる様子がわかる。これは何だろう。これは光の速度である。
こうして光の速度まですぐわかった。
一旦そのようなことがありうると概念として取り出されれば、
他の事象からも同じことが見られるはずと再検討の観測が積み重ねられ
科学知識は瞬く間に固まっていく。
このように昔の人は数少ない道具を使って立派な推論を広げた。
現代もその精神を引き継いで今ある道具を使いこなせば、できないと思っていたことができるかも。
ほら福島のあれとかね。その他の宇宙論にも。
先の物を見つける手がかりは1/1000というような偏差に入っているということも。
そこを怠惰を廃して確定すれば進むと。精度を上げて三角法に反応させるってそういうこと。
-26等と-1等では100億倍の比であるが、まず単純思考でこの比は100万どころじゃなく
もっと上で1億ではどうかわからないな。は普通的推論。
これが意外と当たっている。上の金星のと同じで。そんな仕組みが。
1億としてしまうと距離は1万倍で太陽1.5億kmから1.5兆km、0.15光年。
測定を凸面鏡と暗室数連と計算でしても、人の感覚だが星はここまで暗くは無いという
下限超えな減衰のときも察して、オーダーでは似たようなものに。
全天で一番明るい星がそれで、些末かに見える星は遠いのだろうと。
そんな推論をしてどの星も太陽と同じ明るさという仮定が入っているが
100光年が全宇宙とするのは悪くないのでは、という提言にまで至れる。
まじめな科学者の率直な推論でそうなると言える数字である。
どうだろうか。ある文明がここまで作っていればよしよしと言いたくなる感じするよね。
自分でやっても力学望遠鏡以前はそうなりそう。
太陽系内の距離がこうしてわかると、木星の衛星の隠れ時刻など木星関連の現象が、
計算から30分ほどずれる様子がわかる。これは何だろう。これは光の速度である。
こうして光の速度まですぐわかった。
一旦そのようなことがありうると概念として取り出されれば、
他の事象からも同じことが見られるはずと再検討の観測が積み重ねられ
科学知識は瞬く間に固まっていく。
このように昔の人は数少ない道具を使って立派な推論を広げた。
現代もその精神を引き継いで今ある道具を使いこなせば、できないと思っていたことができるかも。
ほら福島のあれとかね。その他の宇宙論にも。
先の物を見つける手がかりは1/1000というような偏差に入っているということも。
そこを怠惰を廃して確定すれば進むと。精度を上げて三角法に反応させるってそういうこと。
610名無電力１４００１
2025/02/23(日) 17:15:24.80 ラグランジュ点問題と力学の方程式の応用のまとめ。
運動は並進か回転かで表される。速度や加速度も単なる時間微分でそう。
並進加速度は重力と数理同一視される。回転だけを考えれば(要素的には)いいはず。
(1)座標系が空間とは別に加速度を持って動く場合の見かけの力
(2)剛体のいわゆるオイラー運動方程式
これらをまず求める。(1)を求める途中で(2)を拾える構成。
回転は見かけの力を起こすので加速度現象と捉えるのが相当である。
回転軸を空間z軸とする。ベクトルuの足を原点と一致させる。初めuはxz平面内とする。
zとuのなす角をθ(北極側から測る緯度)。u先端のz軸からの距離は|u|sinθ。
uが乗っている回転(物体固有)座標系が反時計に角速度ωで空間内動作する。微小時間後どうなるか？
微小時間後ω△tだけ回転していてuのy正方向の増分がこうなる。
△u = |u|sinθ・ω△t
ωに向き性まで入れて角速度ベクトル扱いにするとωはz正方向。
上の右辺をベクトル外積スタイルで書いて下式を得る。
du = (ωdt)×u または du/dt = ω×u
座標効果を計算した上の結果に加えて、本質的な外力の効果も受けるとする。
本質外力の方を主役にして上の結果をついでに足す扱いに。dを空間、d'を回転座標に充てて
du = d'u + (ωdt)×u
(内側から見る)本質外力分なd'uを0にすると式は上の式に戻り、足し方は正当である。
角運動量Lの運動方程式は、Nを力のモーメントとして dL/dt = N
すると物体固有座標系では d'L/dt + ω×L = N
外の空間を忘れてこの式だけを考えオイラー方程式と言う。
運動は並進か回転かで表される。速度や加速度も単なる時間微分でそう。
並進加速度は重力と数理同一視される。回転だけを考えれば(要素的には)いいはず。
(1)座標系が空間とは別に加速度を持って動く場合の見かけの力
(2)剛体のいわゆるオイラー運動方程式
これらをまず求める。(1)を求める途中で(2)を拾える構成。
回転は見かけの力を起こすので加速度現象と捉えるのが相当である。
回転軸を空間z軸とする。ベクトルuの足を原点と一致させる。初めuはxz平面内とする。
zとuのなす角をθ(北極側から測る緯度)。u先端のz軸からの距離は|u|sinθ。
uが乗っている回転(物体固有)座標系が反時計に角速度ωで空間内動作する。微小時間後どうなるか？
微小時間後ω△tだけ回転していてuのy正方向の増分がこうなる。
△u = |u|sinθ・ω△t
ωに向き性まで入れて角速度ベクトル扱いにするとωはz正方向。
上の右辺をベクトル外積スタイルで書いて下式を得る。
du = (ωdt)×u または du/dt = ω×u
座標効果を計算した上の結果に加えて、本質的な外力の効果も受けるとする。
本質外力の方を主役にして上の結果をついでに足す扱いに。dを空間、d'を回転座標に充てて
du = d'u + (ωdt)×u
(内側から見る)本質外力分なd'uを0にすると式は上の式に戻り、足し方は正当である。
角運動量Lの運動方程式は、Nを力のモーメントとして dL/dt = N
すると物体固有座標系では d'L/dt + ω×L = N
外の空間を忘れてこの式だけを考えオイラー方程式と言う。
611名無電力１４００１
2025/02/23(日) 19:36:08.37 無重力・真空中でテニスラケットを外力無しに不測な回転をさせる問題。
回転体に乗る座標系に移り'はもう落とし、オイラー方程式からは
dLx/dt + (ωy Lz - ωz Ly) = Nx などが出る。
ラケット♀上下軸、左右軸、画面を貫く軸の3つの軸がある。
その回転のしやすさをA,B,Cと書こう。以前はI1,I2,I3と書いた。
A<B<Cのように感じられる。平面板の定理というのでA+B=Cで実際その不等号である。
Lx = A ωx というように代入して、Nx=0などで
A dωx/dt + (C - B) ωy ωz = 0
ここで以前のコマの問題に戻る。C dωz/dt + (B - A) ωx ωy = 0 について
軸対称ならA=Bで ωzが一定になる。こういう条件を先々週使ったのだった。先々週のをラグランジュコマと言う。
また軸対象A=Bではさらにこれとは別個に A dωx/dt + (C - A) ωy ωz = 0 と A dωy/dt + (A - C) ωz ωx = 0 から
ωxとωyが三角関数のcosとsinで表される解が容易に導かれる。
この右辺が全く0ばかりのコマをオイラーコマと言う。
そしてωxとωyの動きはその意味からオイラーコマの歳差運動である。
ラグランジュコマの歳差運動はエネルギー関数が動力として起こした。
オイラーコマの歳差運動はそれは全く無い設定で、実回転軸が本来的な対称軸と一致していないときに
自発的にそのような運動を始める種類の歳差運動である。
本質的に違うことに同じ名が付いていることを興味深く思ってほしい。
さらにラグランジュコマについて保存則ではなく直感的に捉えるもう一つの考え方がある。
それはジャイロ法というもので、地面の上に回っている傾いている遊戯コマを考える。
重力は軸を下に引っ張る。するとジャイロはそれと直角に動く。即ち軸は
ジャイロ機構により歳差と章動のコースを辿って行く。
これはオイラー方程式の右辺に項を入れ、適切な簡易化しながら解を出す方法で出せる別解法である。
テニスラケットはオイラーコマのより対称性の落ちた版。
A<B<Cを使い、回転軸をyの近辺としωy以外は微小と仮定する。するとオイラー式の3つの1つよりωyは定数。
残りはωxとωzのパラメータABCを持つ連立方程式だが符号を追うとこの解は指数関数。すると微小の仮定は壊れて不測の動きをして行く。
回転体に乗る座標系に移り'はもう落とし、オイラー方程式からは
dLx/dt + (ωy Lz - ωz Ly) = Nx などが出る。
ラケット♀上下軸、左右軸、画面を貫く軸の3つの軸がある。
その回転のしやすさをA,B,Cと書こう。以前はI1,I2,I3と書いた。
A<B<Cのように感じられる。平面板の定理というのでA+B=Cで実際その不等号である。
Lx = A ωx というように代入して、Nx=0などで
A dωx/dt + (C - B) ωy ωz = 0
ここで以前のコマの問題に戻る。C dωz/dt + (B - A) ωx ωy = 0 について
軸対称ならA=Bで ωzが一定になる。こういう条件を先々週使ったのだった。先々週のをラグランジュコマと言う。
また軸対象A=Bではさらにこれとは別個に A dωx/dt + (C - A) ωy ωz = 0 と A dωy/dt + (A - C) ωz ωx = 0 から
ωxとωyが三角関数のcosとsinで表される解が容易に導かれる。
この右辺が全く0ばかりのコマをオイラーコマと言う。
そしてωxとωyの動きはその意味からオイラーコマの歳差運動である。
ラグランジュコマの歳差運動はエネルギー関数が動力として起こした。
オイラーコマの歳差運動はそれは全く無い設定で、実回転軸が本来的な対称軸と一致していないときに
自発的にそのような運動を始める種類の歳差運動である。
本質的に違うことに同じ名が付いていることを興味深く思ってほしい。
さらにラグランジュコマについて保存則ではなく直感的に捉えるもう一つの考え方がある。
それはジャイロ法というもので、地面の上に回っている傾いている遊戯コマを考える。
重力は軸を下に引っ張る。するとジャイロはそれと直角に動く。即ち軸は
ジャイロ機構により歳差と章動のコースを辿って行く。
これはオイラー方程式の右辺に項を入れ、適切な簡易化しながら解を出す方法で出せる別解法である。
テニスラケットはオイラーコマのより対称性の落ちた版。
A<B<Cを使い、回転軸をyの近辺としωy以外は微小と仮定する。するとオイラー式の3つの1つよりωyは定数。
残りはωxとωzのパラメータABCを持つ連立方程式だが符号を追うとこの解は指数関数。すると微小の仮定は壊れて不測の動きをして行く。
612名無電力１４００１
2025/02/23(日) 23:18:32.12 dは空間座標で見る変化量、d'は物体固定座標で見る変化量なのだった。
d'(ωdt)=0としておくがωを変数にしたら1項増えるの各自で。
前々レス du = d'u + (ωdt)×u を繰り返し使いコリオリ力と遠心力を導く。
dU = d'U + (ωdt)×U の左辺Uにduを、右辺Uにd'u + (ωdt)×uを入れる。
ddu = d'(d'u + (ωdt)×u) + (ωdt)×(d'u + (ωdt)×u)
= d'd'u + 2 (ωdt)×d'u + (ωdt)×((ωdt)×u)
第2項がコリオリ力、第3項が遠心力。
回転系で2階微分項はこういう見かけの力を出すということである。
右辺の'を落とし逆に時間微分に使ってしまい(dt)^2で割ると u'' + 2 ω×u' + ω×(ω×u)
ラグランジュ点問題に進む。uは人工物の3成分位置座標rとするのである。
月の公転で一緒に動いて地球と月を静止しているように見る回転座標系を取る。
質量を地球m1、月m2、人工物m3。月は角速度ωの円軌道。
地球と月の合計の重心を原点に取ると、地球位置(-a,0,0)、月位置(b,0,0)と書けるだろう。
二体問題の理論より a m1 = b m2。比例定数でm1 = k b、m2 = k aかつb = a cを置く。
運動方程式は r'' + 2 ω×r' + ω×(ω×r) = - G m1 (r+a)/|r + a|^3 - G m2 (r-b)/|r - b|^3
本当は両辺m3が掛かっているが最初から割ってある。
右辺分母は3成分ものを伝わるだろう範囲で略記している。
方針は遠心力もポテンシャルにして合わせてポテンシャルU(r)として、
∂U/∂x = ∂U/∂y = ∂U/∂z = 0 の解の位置つまりポテンシャル関数の停留点がラグランジュ点。
コリオリ力と遠心力の形をω=(0,0,1)の時定める。外積の計算。
ω×r = (0,0,1)×(x,y,z) = (-y,x,0)
ω×(ω×r) = (0,0,1)×(-y,x,0) = (-x,-y,0)
ω×r' = (0,0,1)×(x',y',z') = (-y',x',0)
それぞれω大きさの1乗か2乗を適当につけて現実に戻す。
d'(ωdt)=0としておくがωを変数にしたら1項増えるの各自で。
前々レス du = d'u + (ωdt)×u を繰り返し使いコリオリ力と遠心力を導く。
dU = d'U + (ωdt)×U の左辺Uにduを、右辺Uにd'u + (ωdt)×uを入れる。
ddu = d'(d'u + (ωdt)×u) + (ωdt)×(d'u + (ωdt)×u)
= d'd'u + 2 (ωdt)×d'u + (ωdt)×((ωdt)×u)
第2項がコリオリ力、第3項が遠心力。
回転系で2階微分項はこういう見かけの力を出すということである。
右辺の'を落とし逆に時間微分に使ってしまい(dt)^2で割ると u'' + 2 ω×u' + ω×(ω×u)
ラグランジュ点問題に進む。uは人工物の3成分位置座標rとするのである。
月の公転で一緒に動いて地球と月を静止しているように見る回転座標系を取る。
質量を地球m1、月m2、人工物m3。月は角速度ωの円軌道。
地球と月の合計の重心を原点に取ると、地球位置(-a,0,0)、月位置(b,0,0)と書けるだろう。
二体問題の理論より a m1 = b m2。比例定数でm1 = k b、m2 = k aかつb = a cを置く。
運動方程式は r'' + 2 ω×r' + ω×(ω×r) = - G m1 (r+a)/|r + a|^3 - G m2 (r-b)/|r - b|^3
本当は両辺m3が掛かっているが最初から割ってある。
右辺分母は3成分ものを伝わるだろう範囲で略記している。
方針は遠心力もポテンシャルにして合わせてポテンシャルU(r)として、
∂U/∂x = ∂U/∂y = ∂U/∂z = 0 の解の位置つまりポテンシャル関数の停留点がラグランジュ点。
コリオリ力と遠心力の形をω=(0,0,1)の時定める。外積の計算。
ω×r = (0,0,1)×(x,y,z) = (-y,x,0)
ω×(ω×r) = (0,0,1)×(-y,x,0) = (-x,-y,0)
ω×r' = (0,0,1)×(x',y',z') = (-y',x',0)
それぞれω大きさの1乗か2乗を適当につけて現実に戻す。
613名無電力１４００１
2025/02/23(日) 23:21:00.49 3成分の方程式として
x'' - 2 ω y' - ω^2 x = - G k {b (x+a)/|r + a|^3 + a (x-b)/|r - b|^3}
y'' + 2 ω x' - ω^2 y = - G k y {b/|r + a|^3 + a/|r - b|^3}
z'' = - G k z {b/|r + a|^3 + a/|r - b|^3}
初めz=0とすればずっと0だし、有限値にしても負号によりそれは安定。z=0とする。
1/t = ω/t0と新しいスケール変換した時間を使えば左辺はω^2の係数が常に掛かる。
左辺ω^2と右辺G kの比因子を長さx,y,z,a,bの同時スケール変換で飛ばす。
x'' - 2 y' = x - {b (x+a)/|r + a|^3 + a (x-b)/|r - b|^3}
y'' + 2 x' = y - y {b/|r + a|^3 + a/|r - b|^3}
右辺を0とおけばよい。右辺はそれぞれ∂U/∂xと∂U/∂yであり遠心力の有効ポテンシャルの議論は略せる。
直前から第2式はy=0 か b ((x+a)^2 + y^2)^-3/2 + a ((x-b)^2 + y^2)^-3/2 = 1
第1式は b (x+a) ((x+a)^2 + y^2)^-3/2 + a (x-b) ((x-b)^2 + y^2)^-3/2 = x
y = 0を代入してみる。
b (x+a)^-2 + a (x-b)^-2 = x
b (x-b)^2 + a (x+a)^2 = x (x+a)^2 (x-b)^2
5次方程式を得た。ラグランジュ点の理論から近い所にいる。
但しy=0でない方を使うべきでこのとき14次式が出現。
これ以上意味の無い文字羅列は書くべきではないが、aとbをパラメータとしxとyを未知数とする連立方程式は
解かれるべき形でそこにある。ラグランジュ点の連立方程式である。
エネルギー値により井戸に閉じ込められるの考察もできる。
重力の法則を x/|r|^3のような書き方をしているのは1次元問題ではない時はこの方法が必要である。
高校生はこれ知らないだろうが大学1年を前期半年もやってればもう知っている。流儀はよし。
x'' - 2 ω y' - ω^2 x = - G k {b (x+a)/|r + a|^3 + a (x-b)/|r - b|^3}
y'' + 2 ω x' - ω^2 y = - G k y {b/|r + a|^3 + a/|r - b|^3}
z'' = - G k z {b/|r + a|^3 + a/|r - b|^3}
初めz=0とすればずっと0だし、有限値にしても負号によりそれは安定。z=0とする。
1/t = ω/t0と新しいスケール変換した時間を使えば左辺はω^2の係数が常に掛かる。
左辺ω^2と右辺G kの比因子を長さx,y,z,a,bの同時スケール変換で飛ばす。
x'' - 2 y' = x - {b (x+a)/|r + a|^3 + a (x-b)/|r - b|^3}
y'' + 2 x' = y - y {b/|r + a|^3 + a/|r - b|^3}
右辺を0とおけばよい。右辺はそれぞれ∂U/∂xと∂U/∂yであり遠心力の有効ポテンシャルの議論は略せる。
直前から第2式はy=0 か b ((x+a)^2 + y^2)^-3/2 + a ((x-b)^2 + y^2)^-3/2 = 1
第1式は b (x+a) ((x+a)^2 + y^2)^-3/2 + a (x-b) ((x-b)^2 + y^2)^-3/2 = x
y = 0を代入してみる。
b (x+a)^-2 + a (x-b)^-2 = x
b (x-b)^2 + a (x+a)^2 = x (x+a)^2 (x-b)^2
5次方程式を得た。ラグランジュ点の理論から近い所にいる。
但しy=0でない方を使うべきでこのとき14次式が出現。
これ以上意味の無い文字羅列は書くべきではないが、aとbをパラメータとしxとyを未知数とする連立方程式は
解かれるべき形でそこにある。ラグランジュ点の連立方程式である。
エネルギー値により井戸に閉じ込められるの考察もできる。
重力の法則を x/|r|^3のような書き方をしているのは1次元問題ではない時はこの方法が必要である。
高校生はこれ知らないだろうが大学1年を前期半年もやってればもう知っている。流儀はよし。
614名無電力１４００１
2025/03/02(日) 17:15:18.11 今日のテーマは超対称性というもの。年初からの宇宙10回シリーズ。
ホーキングの理論などで基礎物理にそういう性質があるときどうなるかなど
実力をつけたいと思ったから。まずスレの本旨である我々の問題への関係を述べ
物質現象としても使えると。それから純粋数理としての解説をしていこう。
原子核を物質として見たときに、励起状態の量子化という
解析方法がある。量子化？何をすること？
これは大学2年の初等量子力学。バネのように変位に比例する引き戻し力がある時
変位と、基本的には通常ので、問題によっては理論に特化した形の運動量
を代表的な変数として、x p - p h = i hbarを設定する。
その設定は物質の性質から導かれるものと仮定する。
式は不確定性原理という名前で、この設定を置くことを量子化と呼ぶ。
xとpが励起状態を記述する何かの変数というところがこの方法のミソ。
するとxとpの、問題に応じた様々な時には抽象的な取り方。
そのどれにも調和振動子という数理が現れる、
x p - p h = i hbarという設定からエネルギー関数が通常の数ではない何らかの基底の
無限次元の行列になり、行列に伴う固有値、これがエネルギースペクトルで、
それが等間隔という状況が現れる。
こうして現象としての離散スペクトルな振る舞いを無限次元行列から得て、
その隣接固有値の間で系を変化させるように振る舞うもの、これを粒子とみなす。
そういう手続きが、言われているところの量子化である。
この時にボース粒子とフェルミ粒子を理論内に置くことが出来る。
代表的な議論として、相互作用するボソン模型というもの。励起状態を量子化すると
ボース粒子になる。しかもそれは運動し、その似非粒子が互いに相互作用する。
核子自体はフェルミ粒子であり、励起粒子と核子に対称性を仮定してみる。
ホーキングの理論などで基礎物理にそういう性質があるときどうなるかなど
実力をつけたいと思ったから。まずスレの本旨である我々の問題への関係を述べ
物質現象としても使えると。それから純粋数理としての解説をしていこう。
原子核を物質として見たときに、励起状態の量子化という
解析方法がある。量子化？何をすること？
これは大学2年の初等量子力学。バネのように変位に比例する引き戻し力がある時
変位と、基本的には通常ので、問題によっては理論に特化した形の運動量
を代表的な変数として、x p - p h = i hbarを設定する。
その設定は物質の性質から導かれるものと仮定する。
式は不確定性原理という名前で、この設定を置くことを量子化と呼ぶ。
xとpが励起状態を記述する何かの変数というところがこの方法のミソ。
するとxとpの、問題に応じた様々な時には抽象的な取り方。
そのどれにも調和振動子という数理が現れる、
x p - p h = i hbarという設定からエネルギー関数が通常の数ではない何らかの基底の
無限次元の行列になり、行列に伴う固有値、これがエネルギースペクトルで、
それが等間隔という状況が現れる。
こうして現象としての離散スペクトルな振る舞いを無限次元行列から得て、
その隣接固有値の間で系を変化させるように振る舞うもの、これを粒子とみなす。
そういう手続きが、言われているところの量子化である。
この時にボース粒子とフェルミ粒子を理論内に置くことが出来る。
代表的な議論として、相互作用するボソン模型というもの。励起状態を量子化すると
ボース粒子になる。しかもそれは運動し、その似非粒子が互いに相互作用する。
核子自体はフェルミ粒子であり、励起粒子と核子に対称性を仮定してみる。
615名無電力１４００１
2025/03/02(日) 19:35:24.35 超伝導はフォノンという音を量子化したものを使う。その手法は上の
そのもので、音がある状態は励起状態、振動がずっと続いている状態。
フォノン同士も、フォノンが電子や正孔とも相互作用する。
相互作用とは？エネルギー演算子は時間発展状態を作る演算子で
演算子が現在状態に作用する。エネルギー演算子に3粒子の積項がある場合に、
状態に作用すると1粒子を2粒子に分けたり2粒子を1粒子に合体させたりする。
エネルギー演算子は、形は1 + E t というような形の演算子即ちtを掛けて
指数関数に乗せるような形で作用するので微小時間では微小分だけその効果を
起こす整合性がある。この効果が粒子の相互作用を表示している。
また共形対称の理論というものでは、ボース粒子を指数関数に乗せる即ち
多粒子状態を1/n!の比重で足し合わせるとフェルミ粒子を表す。
プラズモン・マグノン・ロトンというのも励起を量子化したもので、
それぞれ電気性、磁気性、回転性の力学量をx pと定義してする。
このような例でボース粒子とフェルミ粒子が同時に現れる。
ボースフェルミが同じものの別の現れとする対称性を仮定するとき超対称性と言う。
理論の遊びであり必ず仮定するようなものではなく、普通はせずに念のため入れて
試したチェックもしておく程度の扱いが多いとのことである。
基礎物理では励起や指数ではなくそれ自体が粒子としての現れをするとそのような超対称性の形が期待されている。
一般相対論の解は一般相対論の本では通り一遍でどの本も似たようなことが書かれている。
しかしその各方向の極限究極を探っていくと、チェックの手法が必要になってくる
ことがある。例えばブラックホールに回転や電荷を詰め込んでいくとどういう
現象によって限界が来るのか？興味ある人でもそこをなかなか押さえていないだろう。
小さなブラックホールは。また温度やエントロピーは。情報は。もつれは。スピンは。
古典時代に発見された特異点カオスは。高次元を低次元に落とした時に
曲率がゲージ理論の場やゲージ対称性を導いているのだろうか。
この辺確認が甘く、またゲージ理論は我々の原子力の場。
よってこういうものをチェックするための手法増やしとしても学んでおくこと。
そのもので、音がある状態は励起状態、振動がずっと続いている状態。
フォノン同士も、フォノンが電子や正孔とも相互作用する。
相互作用とは？エネルギー演算子は時間発展状態を作る演算子で
演算子が現在状態に作用する。エネルギー演算子に3粒子の積項がある場合に、
状態に作用すると1粒子を2粒子に分けたり2粒子を1粒子に合体させたりする。
エネルギー演算子は、形は1 + E t というような形の演算子即ちtを掛けて
指数関数に乗せるような形で作用するので微小時間では微小分だけその効果を
起こす整合性がある。この効果が粒子の相互作用を表示している。
また共形対称の理論というものでは、ボース粒子を指数関数に乗せる即ち
多粒子状態を1/n!の比重で足し合わせるとフェルミ粒子を表す。
プラズモン・マグノン・ロトンというのも励起を量子化したもので、
それぞれ電気性、磁気性、回転性の力学量をx pと定義してする。
このような例でボース粒子とフェルミ粒子が同時に現れる。
ボースフェルミが同じものの別の現れとする対称性を仮定するとき超対称性と言う。
理論の遊びであり必ず仮定するようなものではなく、普通はせずに念のため入れて
試したチェックもしておく程度の扱いが多いとのことである。
基礎物理では励起や指数ではなくそれ自体が粒子としての現れをするとそのような超対称性の形が期待されている。
一般相対論の解は一般相対論の本では通り一遍でどの本も似たようなことが書かれている。
しかしその各方向の極限究極を探っていくと、チェックの手法が必要になってくる
ことがある。例えばブラックホールに回転や電荷を詰め込んでいくとどういう
現象によって限界が来るのか？興味ある人でもそこをなかなか押さえていないだろう。
小さなブラックホールは。また温度やエントロピーは。情報は。もつれは。スピンは。
古典時代に発見された特異点カオスは。高次元を低次元に落とした時に
曲率がゲージ理論の場やゲージ対称性を導いているのだろうか。
この辺確認が甘く、またゲージ理論は我々の原子力の場。
よってこういうものをチェックするための手法増やしとしても学んでおくこと。
616名無電力１４００１
2025/03/02(日) 20:37:27.28 基本的な計算を示してなるほどそうなのかと思わせれるといいんだが
学習途中なのでそれは来週まで待って。
おそらく来週までにはもう少し言えること増えるから。
読者が素粒子本を見てて、電弱力ぐらいまではわかるような気がしても
超対称性や超弦のことになると何の問題を扱っているのか見当がつかない
ような事情があると自他共に気がして、そこを攻略して、楽しんで
超対称性と超弦本を見れるようになれればいいなという狙いである。
実際新参者に優しい感じの本が無くて内輪を向いているでしょうと言うような。
途中まででも説明を。最終的な確認は、対称性を仮定してそれを満たすような
ラグランジアンから、それはゲージ粒子からクォークから様々な複雑な現象を
ひとつ式から予言するので、粒子散乱をさせたり束縛状態のエネルギーを予測したり
それが実験式を当てるということで示される。
一応はクラインゴルドン場φ、ディラック場ψ、ゲージ場Aμの知識を仮定する。
これらの多項式のラグランジアンに対して、超対称性変換の形を仮定して
それにより不変（変換前後の差異部分だけ見ると消滅する）というようなのは
工夫すればできそう。こういうのをAIに作らせるのもいいがまずそれが作られた。
次にそのような理論はほぼ全てが時空に実数ではない折りたたまれてスピノル量
というのだけになった新しい次元の時空があるとして整理されるとわかった。
ディラック方程式の結果と共通しているようだった。
では時空をそう拡張した超時空にある量として、その対称性とディラック方程式は
居場所がきちんと定まるのか。そして一般相対論の計量やその平方根技巧の四脚場
もそのような超時空にあるとしたら、今まで知らなかった部分はどんな形をして
いるのか。こういうことの興味が出てくる。
あ、すごい必要だ、ともう実感が持たれたことだろう。計量の未知な超の部分が問題を解くかもしれない。
曲率としての一般相対論にそんな拡張部分があるなんて。それを含めた一般相対論解は。
だから宇宙シリーズ内で間に合わなくても、きちんと究めた式をここで書くつもり。
学習途中なのでそれは来週まで待って。
おそらく来週までにはもう少し言えること増えるから。
読者が素粒子本を見てて、電弱力ぐらいまではわかるような気がしても
超対称性や超弦のことになると何の問題を扱っているのか見当がつかない
ような事情があると自他共に気がして、そこを攻略して、楽しんで
超対称性と超弦本を見れるようになれればいいなという狙いである。
実際新参者に優しい感じの本が無くて内輪を向いているでしょうと言うような。
途中まででも説明を。最終的な確認は、対称性を仮定してそれを満たすような
ラグランジアンから、それはゲージ粒子からクォークから様々な複雑な現象を
ひとつ式から予言するので、粒子散乱をさせたり束縛状態のエネルギーを予測したり
それが実験式を当てるということで示される。
一応はクラインゴルドン場φ、ディラック場ψ、ゲージ場Aμの知識を仮定する。
これらの多項式のラグランジアンに対して、超対称性変換の形を仮定して
それにより不変（変換前後の差異部分だけ見ると消滅する）というようなのは
工夫すればできそう。こういうのをAIに作らせるのもいいがまずそれが作られた。
次にそのような理論はほぼ全てが時空に実数ではない折りたたまれてスピノル量
というのだけになった新しい次元の時空があるとして整理されるとわかった。
ディラック方程式の結果と共通しているようだった。
では時空をそう拡張した超時空にある量として、その対称性とディラック方程式は
居場所がきちんと定まるのか。そして一般相対論の計量やその平方根技巧の四脚場
もそのような超時空にあるとしたら、今まで知らなかった部分はどんな形をして
いるのか。こういうことの興味が出てくる。
あ、すごい必要だ、ともう実感が持たれたことだろう。計量の未知な超の部分が問題を解くかもしれない。
曲率としての一般相対論にそんな拡張部分があるなんて。それを含めた一般相対論解は。
だから宇宙シリーズ内で間に合わなくても、きちんと究めた式をここで書くつもり。
617名無電力１４００１
2025/03/09(日) 17:31:43.74 宇宙10回目。推測されていたかもしれないが宇宙物理の新理論作りまで
狙いを定めて集中的に取り組んだのだけれど、
量子力学と一般相対論と超弦理論とまとめるの、届きませんでしたね。
最初から届くはずはないものだけど、所感としては改めて拾いに行く
べき素材は無いほど準備はできていると思っていて、歴史的には
この水準で新理論が開かれるくらいと思う。
素材を集めては取り組みを繰り返す今後も底流に流すものとして、
来週からは別のテーマにしながらこのことも続けたいな。
数回目のチャレンジで何か進歩も出来るのでは？
3/16-4月は類体、ペンローズ特異点、メカトロ、詰め碁、ゲーデル完全性定理、統計
などを適当に。バイオ化学は新スレへの切り替わりを待っているんだけど。
原子力はメカトロからの展開が近い。
勉強量だけは程々してあるからそんな人の雑エッセイとして今日のところは。
何十個も質問点が出てきて、そういうのの解決が大事で肝心なんだと思う。
数学物理は巻末までパラ見してもピンと来ないという状態に陥りがち。
その先をどう取り組み仕上げるのかという、そこの所をきちんとやっているから
ほぐして説明すれば参考になるだろうという。
今回(と言ってもここ3週間ぐらい)超重力理論・超対称性理論・テクニカラー理論
などを学び何度もなぞり、分野として開放系のイメージから閉鎖系のイメージに
変わるぐらいにはなぞり把握もした。初めてではなく今回自体が数回目だけど
いきさつは関係なくわかった感が大事で知識として閉鎖系のわかった感。
そして著者がぼそっと書いているようなのとか、この結果が知られているとか
あるのをきちんと詰めていかないと進まないな、この印象で、それを底流(パソコン
で言う別スレッド)にして、小問解きを続けないとという所。コールマン定理とか、
(1,1/2)と(1,3/2)のどちらで組むかとか、RからFFを出すとかの所ね。微分幾何の内包化とか。
狙いを定めて集中的に取り組んだのだけれど、
量子力学と一般相対論と超弦理論とまとめるの、届きませんでしたね。
最初から届くはずはないものだけど、所感としては改めて拾いに行く
べき素材は無いほど準備はできていると思っていて、歴史的には
この水準で新理論が開かれるくらいと思う。
素材を集めては取り組みを繰り返す今後も底流に流すものとして、
来週からは別のテーマにしながらこのことも続けたいな。
数回目のチャレンジで何か進歩も出来るのでは？
3/16-4月は類体、ペンローズ特異点、メカトロ、詰め碁、ゲーデル完全性定理、統計
などを適当に。バイオ化学は新スレへの切り替わりを待っているんだけど。
原子力はメカトロからの展開が近い。
勉強量だけは程々してあるからそんな人の雑エッセイとして今日のところは。
何十個も質問点が出てきて、そういうのの解決が大事で肝心なんだと思う。
数学物理は巻末までパラ見してもピンと来ないという状態に陥りがち。
その先をどう取り組み仕上げるのかという、そこの所をきちんとやっているから
ほぐして説明すれば参考になるだろうという。
今回(と言ってもここ3週間ぐらい)超重力理論・超対称性理論・テクニカラー理論
などを学び何度もなぞり、分野として開放系のイメージから閉鎖系のイメージに
変わるぐらいにはなぞり把握もした。初めてではなく今回自体が数回目だけど
いきさつは関係なくわかった感が大事で知識として閉鎖系のわかった感。
そして著者がぼそっと書いているようなのとか、この結果が知られているとか
あるのをきちんと詰めていかないと進まないな、この印象で、それを底流(パソコン
で言う別スレッド)にして、小問解きを続けないとという所。コールマン定理とか、
(1,1/2)と(1,3/2)のどちらで組むかとか、RからFFを出すとかの所ね。微分幾何の内包化とか。
618名無電力１４００１
2025/03/09(日) 20:37:11.52 思いつきをあれこれ言おう。(1)ボトムアップ弦理論
弦の教科書では(σ,τ)世界面座標でその位置Xを作用による運動量Πとの間に
不確定性原理を置いてXの量子化を得ている。そしてどう低エネルギー標準模型に落とすのか、様々な粒子をどう出すかと
悩んでいるのだが、超対称性を入れるように弦を下なエネルギーから入れればいいはず。
つまりフルセットの場の量子論に対してφ(x)がφ(x+近辺フーリエ展開)とする。
この展開を系統的に取り出して、エネルギーを上げて行った時に、通常よりも
良いまとまりをするように状況を決める。何かいじれる新しいものがあるのだから
必ず何かを解決するような新内容はあると言える。
こういう仕方で作っているトピックが見た範囲に無かったので言ってみる。
(2)拘束とゴースト、質量あるときにも
初等力学では斜面上や円周に固定された単振り子。解析力学ではラグランジュ未定係数。
また電磁場ではゲージ変換で移れる範囲だけが同じでそれによる商が葉層構造を作る。
これらも弦などの高級理論も量子化により拘束条件自体が粒子化する。
それをゴーストと呼び、存在すると自由度が減る観測されない粒子である。
ゲージ理論においてはゲージ変換のパラメータが幾何学的な超対称型パラメータと
量のみを指示する実数との積となり、前者をBRSパラメータという言い方もする。
前段落のも含め任意の拘束条件にこのような量子化法が可能。
超対称性がこのような起源を持つとすると同等変換自由度だけがあって内容はこの世界と
等値な実在の高次元がある。(起源は違う可能性もある)
拘束の量子化は、拘束式λ f(x,φ)を書き換えたゴースト作用をc δ(b f)とする。
bという反ゴースト場、δというBRS変換、未定係数や変換量を書き換えたゴースト場c
さらにその性質をδb = Bとして補助場B。またδB = 0 とδc = c cを要求。
こういう拘束をゴースト作用化した式に、ゲージ場の場合はさらにゲージ固定を
ラグランジアンにさらに b c + B f という形で足す。
この処方がラグランジュ未定係数を場の量子論に進めたものだとされる。
多くの散乱振幅などがこの形が矛盾なく出るという。重力でもこれらの手法を使う必要がある。
弦の教科書では(σ,τ)世界面座標でその位置Xを作用による運動量Πとの間に
不確定性原理を置いてXの量子化を得ている。そしてどう低エネルギー標準模型に落とすのか、様々な粒子をどう出すかと
悩んでいるのだが、超対称性を入れるように弦を下なエネルギーから入れればいいはず。
つまりフルセットの場の量子論に対してφ(x)がφ(x+近辺フーリエ展開)とする。
この展開を系統的に取り出して、エネルギーを上げて行った時に、通常よりも
良いまとまりをするように状況を決める。何かいじれる新しいものがあるのだから
必ず何かを解決するような新内容はあると言える。
こういう仕方で作っているトピックが見た範囲に無かったので言ってみる。
(2)拘束とゴースト、質量あるときにも
初等力学では斜面上や円周に固定された単振り子。解析力学ではラグランジュ未定係数。
また電磁場ではゲージ変換で移れる範囲だけが同じでそれによる商が葉層構造を作る。
これらも弦などの高級理論も量子化により拘束条件自体が粒子化する。
それをゴーストと呼び、存在すると自由度が減る観測されない粒子である。
ゲージ理論においてはゲージ変換のパラメータが幾何学的な超対称型パラメータと
量のみを指示する実数との積となり、前者をBRSパラメータという言い方もする。
前段落のも含め任意の拘束条件にこのような量子化法が可能。
超対称性がこのような起源を持つとすると同等変換自由度だけがあって内容はこの世界と
等値な実在の高次元がある。(起源は違う可能性もある)
拘束の量子化は、拘束式λ f(x,φ)を書き換えたゴースト作用をc δ(b f)とする。
bという反ゴースト場、δというBRS変換、未定係数や変換量を書き換えたゴースト場c
さらにその性質をδb = Bとして補助場B。またδB = 0 とδc = c cを要求。
こういう拘束をゴースト作用化した式に、ゲージ場の場合はさらにゲージ固定を
ラグランジアンにさらに b c + B f という形で足す。
この処方がラグランジュ未定係数を場の量子論に進めたものだとされる。
多くの散乱振幅などがこの形が矛盾なく出るという。重力でもこれらの手法を使う必要がある。
619名無電力１４００１
2025/03/09(日) 21:26:11.00 (3)局所ローレンツ変換と一般座標変換
ローレンツ変換は虚時間を空間と見るときは単なる4次元の回転。
これはいいとする。その生成演算子は xμ ∂ν - xν ∂μ
μとνを1,…,3にとって、何か場φに作用させると
μ方向腕の長さとν方向変化の積、νμを入れ替えたものとの差。
斜め方向に一般化されているモーメントの式みたいと。
それを前提にして(3,1)もの4次元を(2,0)もの2次元回転に落として話をする。
重力について一般座標変換のゲージ場だなんて言われるが
クォークグルーオンの方は良くてもこっちは何を言ってるかわからんとなるだろう。
この答として、4次元一般座標変換16自由度は局所ローレンツ変換6、
等軸スケール変換4、そしてせん断変形(x∂+x∂)6だろうと。多分。それとも共形？さっさと保型入れる？
2次元もので一般座標変換はx' = f(x,y)、 y' = g(x,y)
これは0近傍では
|△x| = (∂f/∂x, ∂f/∂y) |dx|
|△y| = (∂g/∂x, ∂g/∂y) |dy|
こういうヤコビアン(大学1年の解析多変数の章)を表している。
一方、局所ローレンツ変換はx' = (cosθ x, sinθ y)
y' = (-sinθ x, cosθ y)
これの0近傍cosの展開の変化分の最初は2次からだから
|△x| = (0, θ) |dx|
|△y| = (-θ, 0) |dy|
自由度が4と1で確かに違う。2つスケール変換を付けれる。それでも1違う。
そして変換全体は一般座標変換は集合が位相空間としてコンパクトではない。
ゲージ変換は局所ローレンツ変換に近い。ゲージ変換はラグランジアンを定め
運動量との間に不確定性原理を置いて粒子を得る。正確には動ける方向がゲージ粒子、動けない方向がゲージゴースト。
一般座標変換に対し状況を気をつけながらやはり調和振動子を得ることで重力の粒子とゴースト。
一般座標変換の残りの自由度と非コンパクト性に注意しながら量子化し離散スペクトルを得て
理論を作ってみてほしい。有志へである。まだその理論は出来ていない可能性がある。
ローレンツ変換は虚時間を空間と見るときは単なる4次元の回転。
これはいいとする。その生成演算子は xμ ∂ν - xν ∂μ
μとνを1,…,3にとって、何か場φに作用させると
μ方向腕の長さとν方向変化の積、νμを入れ替えたものとの差。
斜め方向に一般化されているモーメントの式みたいと。
それを前提にして(3,1)もの4次元を(2,0)もの2次元回転に落として話をする。
重力について一般座標変換のゲージ場だなんて言われるが
クォークグルーオンの方は良くてもこっちは何を言ってるかわからんとなるだろう。
この答として、4次元一般座標変換16自由度は局所ローレンツ変換6、
等軸スケール変換4、そしてせん断変形(x∂+x∂)6だろうと。多分。それとも共形？さっさと保型入れる？
2次元もので一般座標変換はx' = f(x,y)、 y' = g(x,y)
これは0近傍では
|△x| = (∂f/∂x, ∂f/∂y) |dx|
|△y| = (∂g/∂x, ∂g/∂y) |dy|
こういうヤコビアン(大学1年の解析多変数の章)を表している。
一方、局所ローレンツ変換はx' = (cosθ x, sinθ y)
y' = (-sinθ x, cosθ y)
これの0近傍cosの展開の変化分の最初は2次からだから
|△x| = (0, θ) |dx|
|△y| = (-θ, 0) |dy|
自由度が4と1で確かに違う。2つスケール変換を付けれる。それでも1違う。
そして変換全体は一般座標変換は集合が位相空間としてコンパクトではない。
ゲージ変換は局所ローレンツ変換に近い。ゲージ変換はラグランジアンを定め
運動量との間に不確定性原理を置いて粒子を得る。正確には動ける方向がゲージ粒子、動けない方向がゲージゴースト。
一般座標変換に対し状況を気をつけながらやはり調和振動子を得ることで重力の粒子とゴースト。
一般座標変換の残りの自由度と非コンパクト性に注意しながら量子化し離散スペクトルを得て
理論を作ってみてほしい。有志へである。まだその理論は出来ていない可能性がある。
620名無電力１４００１
2025/03/09(日) 23:03:13.36 (4)可換図式、チャーンサイモンズ形式、重力の双対物理、
アインシュタイン方程式の左右を同時に出す、圧力項と宇宙項は常識外れ
スピノル表現からCとPとT予言、ベクトルがスピノル2つに分解される
様々なゲージ対称性の直接ビラソロ化
ゲージ場の上位にある反対称テンソル(KalbRamond)場の世界、
(G+B+F)μνブレーン作用、テータ関数を出し逆にテータをいじって場を拡げる、
ケーラー対称性、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの対称性
古典解は局所解、経路積分から導く量子テレポーテーション
雑多なタイトルにして、それは明記した方が進むからである。
こういうことに興味ある人なら、真の研究者でなくてもタイトルから
問題意識の趣旨がつかめてしまうと思う。つかめない人、
こういうことに興味を持つ人たちの分野があるので、耳学問的に半分学びましょう。
弦理論の教科書の内容がこういうものなので、1、2回聞かされていると
うんうんと読めるようになると思う。上のタイトルはそれ以上の内容がある。
端点ゲージ場とブラックホールエントロピーとブレーン周辺の無矛盾力学から導く弦運動
はよく知らないからこれから勉強しとく。
原子力としては4、5行目の内容で超原子力に進めるといいね(高エネルギー過ぎてあまりよくない)。
意外にも書き出されると分かって来ちゃう人多いと思う。軽いコメントだけ。
ブレーン作用はGアインシュタインテンソル、B反対称テンソル、F世界面ゲージ場強さテンソル。
ひもを壁にくくり付けて振ってみる。壁が力を受けて向こうにエネルギーが出入りする。
こんな境界条件など単なる数理の工夫のようだが、数理の工夫の全てが粒子になるのが
素粒子物理らしい。あなたが何か工夫すればそれが粒子やオブジェクトになっている。
できるという事実が実存を表す。それでブレーンは存在する。保存則な無矛盾で
すぐ総和がテータ関数という現象が現れる。支配数理がこうなのだなと。
>-<という左から右への2-1-2粒子反応。超空間座標があると二重と言え真ん中部には四角形が現れる。
するとここは可換図式であることを証明する圏論が出て来る世界と。
アインシュタイン方程式は高級理論からは左右が同時に出され、圧力項を注意して学ぶとお勧め。
重力の双対は熱拡散。そっちが本当世界。
アインシュタイン方程式の左右を同時に出す、圧力項と宇宙項は常識外れ
スピノル表現からCとPとT予言、ベクトルがスピノル2つに分解される
様々なゲージ対称性の直接ビラソロ化
ゲージ場の上位にある反対称テンソル(KalbRamond)場の世界、
(G+B+F)μνブレーン作用、テータ関数を出し逆にテータをいじって場を拡げる、
ケーラー対称性、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの対称性
古典解は局所解、経路積分から導く量子テレポーテーション
雑多なタイトルにして、それは明記した方が進むからである。
こういうことに興味ある人なら、真の研究者でなくてもタイトルから
問題意識の趣旨がつかめてしまうと思う。つかめない人、
こういうことに興味を持つ人たちの分野があるので、耳学問的に半分学びましょう。
弦理論の教科書の内容がこういうものなので、1、2回聞かされていると
うんうんと読めるようになると思う。上のタイトルはそれ以上の内容がある。
端点ゲージ場とブラックホールエントロピーとブレーン周辺の無矛盾力学から導く弦運動
はよく知らないからこれから勉強しとく。
原子力としては4、5行目の内容で超原子力に進めるといいね(高エネルギー過ぎてあまりよくない)。
意外にも書き出されると分かって来ちゃう人多いと思う。軽いコメントだけ。
ブレーン作用はGアインシュタインテンソル、B反対称テンソル、F世界面ゲージ場強さテンソル。
ひもを壁にくくり付けて振ってみる。壁が力を受けて向こうにエネルギーが出入りする。
こんな境界条件など単なる数理の工夫のようだが、数理の工夫の全てが粒子になるのが
素粒子物理らしい。あなたが何か工夫すればそれが粒子やオブジェクトになっている。
できるという事実が実存を表す。それでブレーンは存在する。保存則な無矛盾で
すぐ総和がテータ関数という現象が現れる。支配数理がこうなのだなと。
>-<という左から右への2-1-2粒子反応。超空間座標があると二重と言え真ん中部には四角形が現れる。
するとここは可換図式であることを証明する圏論が出て来る世界と。
アインシュタイン方程式は高級理論からは左右が同時に出され、圧力項を注意して学ぶとお勧め。
重力の双対は熱拡散。そっちが本当世界。
621名無電力１４００１
2025/03/16(日) 17:24:29.41 今日は類体に取り組むんだけど、あれまた？と思われちゃいそう。
でも読者さんも興味ありますよね？
近代数学の大きな推進を邦人が担った話ですからね。
しっかり仕上がったらそのトピは終止で
しっかりまだしていないから私も気になって戻るんです。
宣言すると近日中に証明まで合わせて完成させられるだろうと。
本質的にはこれもキー部の言い回し一つだろうと予測してる。
数年前と比べたら準備された内容が増えたから行けるだろうと。
個人的な感触としても暗記こそしていないものの
基本的な所にある簡単めの理論に印象が変化したから。だから多分。
正確に理論を知っていれば読者がこれを使って各工学の理論を作る側に
回れることもあり、こうして今日はこれを書く話。
では先ほどまで準備した内容からひねり出して書いて行ってみよう。
我々の原子力へのつながりとしては、まずこの理論が
数の精密な性質を追い込むものであることを指摘する。
それはイデアル類という、根号等で拡張された四則数世界における
素数の形状パターン(そのパターン数が類数)、その十分一般的な
設定に対し対応するガロア拡大(ガロア拡大とは多項式の根を投入する
手法による数の拡大であり共役の意味で正規な拡大数系のこと)
が存在し、ガロア群が可換群の場合の全部がこの(対応するという)性質を持つ。
これが類体論の言明であり、何か物理現象と対応関係をつけられれば
工学の理論にもなるだろうというつながり。この段階で役立ち方がわからなくても
それは数学だからで、数の性質を抽象のはしごを登って増やして行っている以上
さらに登ったとこかどこかで本当に役立つだろうと。
プロ物理工学者がカオスでも素励起でも理論を作って使って原子炉用途に
用立ててくれればその段階で役立ったと言える。
でも読者さんも興味ありますよね？
近代数学の大きな推進を邦人が担った話ですからね。
しっかり仕上がったらそのトピは終止で
しっかりまだしていないから私も気になって戻るんです。
宣言すると近日中に証明まで合わせて完成させられるだろうと。
本質的にはこれもキー部の言い回し一つだろうと予測してる。
数年前と比べたら準備された内容が増えたから行けるだろうと。
個人的な感触としても暗記こそしていないものの
基本的な所にある簡単めの理論に印象が変化したから。だから多分。
正確に理論を知っていれば読者がこれを使って各工学の理論を作る側に
回れることもあり、こうして今日はこれを書く話。
では先ほどまで準備した内容からひねり出して書いて行ってみよう。
我々の原子力へのつながりとしては、まずこの理論が
数の精密な性質を追い込むものであることを指摘する。
それはイデアル類という、根号等で拡張された四則数世界における
素数の形状パターン(そのパターン数が類数)、その十分一般的な
設定に対し対応するガロア拡大(ガロア拡大とは多項式の根を投入する
手法による数の拡大であり共役の意味で正規な拡大数系のこと)
が存在し、ガロア群が可換群の場合の全部がこの(対応するという)性質を持つ。
これが類体論の言明であり、何か物理現象と対応関係をつけられれば
工学の理論にもなるだろうというつながり。この段階で役立ち方がわからなくても
それは数学だからで、数の性質を抽象のはしごを登って増やして行っている以上
さらに登ったとこかどこかで本当に役立つだろうと。
プロ物理工学者がカオスでも素励起でも理論を作って使って原子炉用途に
用立ててくれればその段階で役立ったと言える。
622名無電力１４００１
2025/03/16(日) 22:48:21.99 代数的数論と類体論の内容をいい加減にまとめる。
いい加減とは戦後の意味で、戦前の適切で良好の意味ではなく。
但し言葉は全部出そうと思う。
それほど難しいことを扱っているわけではなくて、ここのスレでも
出直せば完全な形のテキストは書けると思うし、理解力で言えば中学生なら挑める。
最高次が1の多項式の解の集合は
和差積で閉じていてこれを代数的整数と言う。つまり可換環を為す。
分母に来うる数を軽く設定してこれを可換代数的数体の環部分と思うことが出来て使われる。
多項式の次数を1次式に限定するとき、これを有理整数と言う。
代数的整数全体の部分集合で、有理整数から構成的に作られるものがしばしば扱われる。
Z[√-5]などが有名である。意味はつかめるだろう。左のを2次体という。
1の複素l乗根を全部投入してZを閉じさせるのを円分体と言う。
円分体まで来ればlを変えた時のその定義多項式の間の関係などが理論になる。
数を複数個取り全部の数のn乗根を加えて得るのをクンマー体と言う。
素数pを決めて1のpの自然数ベキ乗根つまりexp(2πi/p^n)を全部足し無限までの極限を
取るものを岩澤体と言う。いずれも代数的数体の部分体である。
複素単位円ではなく複素平面内の楕円曲線の点を使う拡大方法は最新である。
様々な代数的数体の部分体があることを以上で見た上で、素数概念の現れを見る。
5=(1+2i)(1-2i)である。これを分岐と呼ぶ。2=i(1-i)^2である。これを分解と呼ぶ。
体の拡大は元の体を係数とするベクトル空間になりその次元nを持つが
素数の現れ方を反映して、n = e f g という次元の積分解がされる。
この画期的な結果をヒルベルトの理論と呼ぶ。有名人なこの人の整数論での業績である。
アインシュタインヒルベルトで解析学や数学基礎論での仕事もしている。
有理整数のリーマンゼータ関数は代数的整数を住処とするときノルムのs乗分の1のΣ
という定義に拡張するといいことがわかりデデキントゼータ関数と言う。さらに分子に
周期的な係数を付けると都合がよく、ヘッケL関数と言う。
これを用いて解析学的な量の考察をまとめ上げる。
いい加減とは戦後の意味で、戦前の適切で良好の意味ではなく。
但し言葉は全部出そうと思う。
それほど難しいことを扱っているわけではなくて、ここのスレでも
出直せば完全な形のテキストは書けると思うし、理解力で言えば中学生なら挑める。
最高次が1の多項式の解の集合は
和差積で閉じていてこれを代数的整数と言う。つまり可換環を為す。
分母に来うる数を軽く設定してこれを可換代数的数体の環部分と思うことが出来て使われる。
多項式の次数を1次式に限定するとき、これを有理整数と言う。
代数的整数全体の部分集合で、有理整数から構成的に作られるものがしばしば扱われる。
Z[√-5]などが有名である。意味はつかめるだろう。左のを2次体という。
1の複素l乗根を全部投入してZを閉じさせるのを円分体と言う。
円分体まで来ればlを変えた時のその定義多項式の間の関係などが理論になる。
数を複数個取り全部の数のn乗根を加えて得るのをクンマー体と言う。
素数pを決めて1のpの自然数ベキ乗根つまりexp(2πi/p^n)を全部足し無限までの極限を
取るものを岩澤体と言う。いずれも代数的数体の部分体である。
複素単位円ではなく複素平面内の楕円曲線の点を使う拡大方法は最新である。
様々な代数的数体の部分体があることを以上で見た上で、素数概念の現れを見る。
5=(1+2i)(1-2i)である。これを分岐と呼ぶ。2=i(1-i)^2である。これを分解と呼ぶ。
体の拡大は元の体を係数とするベクトル空間になりその次元nを持つが
素数の現れ方を反映して、n = e f g という次元の積分解がされる。
この画期的な結果をヒルベルトの理論と呼ぶ。有名人なこの人の整数論での業績である。
アインシュタインヒルベルトで解析学や数学基礎論での仕事もしている。
有理整数のリーマンゼータ関数は代数的整数を住処とするときノルムのs乗分の1のΣ
という定義に拡張するといいことがわかりデデキントゼータ関数と言う。さらに分子に
周期的な係数を付けると都合がよく、ヘッケL関数と言う。
これを用いて解析学的な量の考察をまとめ上げる。
623名無電力１４００１
2025/03/16(日) 22:54:22.00 和を用いるmodという方法は知っているだろう。
この積を用いる版を作り合同類別と言う。詳しくはまた述べる。
積を用いるのは群のコホモロジーという現象を表していて、先にアルゴリズムが作られ
後からそれはコホモロジーであるとわかった。類体論をそっちの方から証明するのは最短コース。
単数という概念がある。a b = 1になるようなaを単数と言い、
Z[√-5]ですらも常識的な±1以外にありそうだなと思うだろう。
それを基底と体積として定理にするのをミンコフスキー定理と言う。この人も相対論に顔を出す。
実数性のと複素数性のがr1個とr2個と結果が表れ、
それぞれが絶対値概念の新しい形を与え、r1個とr2個の無限点という呼び方もする。
体積性を単数規準、無限点の設定を符号条件と呼ぶ。
難しいこと言っている部分は全く無くて、この文脈での整理にそんな名前を付ける。
根基・導手という概念は、a^m b^n のような数に対してa bという素因数1つずつだけ
にした数のことを言う。幾何学的考察で或る因数を外すのようなことを考える時に
1つだけ使っていれば十分性質を取れるから利用価値を持つ。
イデアルとは倍数の集合のことである。(2)と言えば偶数全部のこと。
これは素数概念を含み、その拡張を与える。(2,√-5)などは有理係数線形和だが
単一のものの線形倍なら元の数のことと思えるが、2つ以上の和ならそれでは表しえない
概念の拡張を与える。
代数的整数環の任意のイデアルは、一意に素イデアル積分解されるという定理がある。集合積は常識的定義。
これは素因数分解の一意性の美しい拡大概念である。証明そのうちここでまとめようかな。
イデアルは有理整数を代数的整数に拡張したときの数や素数を示す概念と思える。
そして類体論ではイデアルの合同類というのを作る。
或るイデアルmと素なイデアル全部の、本レス冒頭の意味の積で作る合同類。
またそのうちで単項生成なイデアルのもの。mによるmodで1と合同のもの。
これだけの概念で作るノルム剰余群Hなるものの類体なるものが
ガロア理論のより深淵な表現を与えているという定理である。
スタンダードな発展上にあり進んだ理論の源泉となり詳しくは今度。
この積を用いる版を作り合同類別と言う。詳しくはまた述べる。
積を用いるのは群のコホモロジーという現象を表していて、先にアルゴリズムが作られ
後からそれはコホモロジーであるとわかった。類体論をそっちの方から証明するのは最短コース。
単数という概念がある。a b = 1になるようなaを単数と言い、
Z[√-5]ですらも常識的な±1以外にありそうだなと思うだろう。
それを基底と体積として定理にするのをミンコフスキー定理と言う。この人も相対論に顔を出す。
実数性のと複素数性のがr1個とr2個と結果が表れ、
それぞれが絶対値概念の新しい形を与え、r1個とr2個の無限点という呼び方もする。
体積性を単数規準、無限点の設定を符号条件と呼ぶ。
難しいこと言っている部分は全く無くて、この文脈での整理にそんな名前を付ける。
根基・導手という概念は、a^m b^n のような数に対してa bという素因数1つずつだけ
にした数のことを言う。幾何学的考察で或る因数を外すのようなことを考える時に
1つだけ使っていれば十分性質を取れるから利用価値を持つ。
イデアルとは倍数の集合のことである。(2)と言えば偶数全部のこと。
これは素数概念を含み、その拡張を与える。(2,√-5)などは有理係数線形和だが
単一のものの線形倍なら元の数のことと思えるが、2つ以上の和ならそれでは表しえない
概念の拡張を与える。
代数的整数環の任意のイデアルは、一意に素イデアル積分解されるという定理がある。集合積は常識的定義。
これは素因数分解の一意性の美しい拡大概念である。証明そのうちここでまとめようかな。
イデアルは有理整数を代数的整数に拡張したときの数や素数を示す概念と思える。
そして類体論ではイデアルの合同類というのを作る。
或るイデアルmと素なイデアル全部の、本レス冒頭の意味の積で作る合同類。
またそのうちで単項生成なイデアルのもの。mによるmodで1と合同のもの。
これだけの概念で作るノルム剰余群Hなるものの類体なるものが
ガロア理論のより深淵な表現を与えているという定理である。
スタンダードな発展上にあり進んだ理論の源泉となり詳しくは今度。
624名無電力１４００１
2025/03/23(日) 17:15:22.67 さて一般相対論のPenrose=Hawking特異点定理。
初等的な概念で機構を作り、取っ掛かり概念を一つ適切につかむと解けている。
数学における証明の作り方はほぼこうである。
記法と定理の言明を導入していく。
I+、I-、I0、L+、L-
tとrをψとξ
事象PとQ、因果的な曲線C(λ)
文字だけ出ているけれど、I+は時間無限未来平面、I-は時間無限過去平面
平面という言葉は適切でないかもしれない。3+1次元からの適切な形。
I0は空間無限方向。L+は斜め上方向光円錐無限未来平面、L-は斜め下方向光円錐無限過去平面
Lの代わりに花文字Iも。因果的は時間方向にだけ延びる。光的を含むか含まないかの場合分けする。
ペンローズ図でtとrを組んでψとξの複素化のようにする。事象は4次元中の点でいいだろう。
I±は光的を含まない過去未来
J±は光的を含む過去未来、何のというふうに引数を取れる。
Sは時空の領域または任意の与えられた空間的な薄片
dotで領域の境界を表わす。
Jdot-(L+)
Jdot+(L-)
という概念が大切
前段落までは初等的な構図作りだったがこの辺から証明に関係しているのかなという
意味の取りにくいものになってくる。
生成子とコースティック
束K、束の断面積A(K)
捕捉閉曲面という概念を導入し、数列のコンパクト空間における収束で証明が仕上がるらしい。
初等的な概念で機構を作り、取っ掛かり概念を一つ適切につかむと解けている。
数学における証明の作り方はほぼこうである。
記法と定理の言明を導入していく。
I+、I-、I0、L+、L-
tとrをψとξ
事象PとQ、因果的な曲線C(λ)
文字だけ出ているけれど、I+は時間無限未来平面、I-は時間無限過去平面
平面という言葉は適切でないかもしれない。3+1次元からの適切な形。
I0は空間無限方向。L+は斜め上方向光円錐無限未来平面、L-は斜め下方向光円錐無限過去平面
Lの代わりに花文字Iも。因果的は時間方向にだけ延びる。光的を含むか含まないかの場合分けする。
ペンローズ図でtとrを組んでψとξの複素化のようにする。事象は4次元中の点でいいだろう。
I±は光的を含まない過去未来
J±は光的を含む過去未来、何のというふうに引数を取れる。
Sは時空の領域または任意の与えられた空間的な薄片
dotで領域の境界を表わす。
Jdot-(L+)
Jdot+(L-)
という概念が大切
前段落までは初等的な構図作りだったがこの辺から証明に関係しているのかなという
意味の取りにくいものになってくる。
生成子とコースティック
束K、束の断面積A(K)
捕捉閉曲面という概念を導入し、数列のコンパクト空間における収束で証明が仕上がるらしい。
625名無電力１４００１
2025/03/23(日) 22:06:01.31 研究者様の名のある定理をそうそうし続けられるものではなく
結局今日はできていないんです。周辺のことをして本題の準備をしていなく。
再取組みでできそうなので2、3週置いて戻る。
数学の定理の証明をおろそかにしている諸実務家研究者にも
それをつかませ基礎を付けさせるスレにしたいと思う。
そういうお役目には向いていると思う。
3/23ペンローズ特異点、30特異点の表現というもの、4/6広中の定理
13特異点のp進と超準による考察、20亀裂の破壊の力学、27論理と圏論の普遍性から
・作用量子化・無限次元リー代数で表される特異点
だからこれよりは遅れる。
文面からはまた大言壮語だがそれでもとっかかり作りでする方向。
できなかったという報告の言い回しになるだろうがするの意。
中途半端な所まではできる。課題が見えるだけでもよし。
原子力？それは一言入ってるでしょ。原子力のための研究です！
なぜこういうのかというと一般相対論の定理を改造できる可能性がある。
ペンローズというのはわりと光錘にばかりこだわる人だが、上でそのあとに
ならべた物は、手法の数倍もの膨張に帰結する。
オブジェクトとしての特異点に対し、表現では無限次元行列を持ってくる。
幾何学的な性質を写像で無限次元行列間の関係で表わす。
そうすると一般相対論ではリーマンテンソルとかリーマン微分幾何学という
一つの方法しか知らない人が大半なはずだが、
行列モデルが表現しているということが作れる。
本来幾何学と無縁に作った対象が幾何学を表わしている。
20世紀抽象代数幾何のように微分の直接な扱いから離脱した扱いが
もっとみんなで使う範囲であるだろうと言うことなのである。
結局今日はできていないんです。周辺のことをして本題の準備をしていなく。
再取組みでできそうなので2、3週置いて戻る。
数学の定理の証明をおろそかにしている諸実務家研究者にも
それをつかませ基礎を付けさせるスレにしたいと思う。
そういうお役目には向いていると思う。
3/23ペンローズ特異点、30特異点の表現というもの、4/6広中の定理
13特異点のp進と超準による考察、20亀裂の破壊の力学、27論理と圏論の普遍性から
・作用量子化・無限次元リー代数で表される特異点
だからこれよりは遅れる。
文面からはまた大言壮語だがそれでもとっかかり作りでする方向。
できなかったという報告の言い回しになるだろうがするの意。
中途半端な所まではできる。課題が見えるだけでもよし。
原子力？それは一言入ってるでしょ。原子力のための研究です！
なぜこういうのかというと一般相対論の定理を改造できる可能性がある。
ペンローズというのはわりと光錘にばかりこだわる人だが、上でそのあとに
ならべた物は、手法の数倍もの膨張に帰結する。
オブジェクトとしての特異点に対し、表現では無限次元行列を持ってくる。
幾何学的な性質を写像で無限次元行列間の関係で表わす。
そうすると一般相対論ではリーマンテンソルとかリーマン微分幾何学という
一つの方法しか知らない人が大半なはずだが、
行列モデルが表現しているということが作れる。
本来幾何学と無縁に作った対象が幾何学を表わしている。
20世紀抽象代数幾何のように微分の直接な扱いから離脱した扱いが
もっとみんなで使う範囲であるだろうと言うことなのである。
626名無電力１４００１
2025/03/30(日) 17:16:17.91 先日数学の賞のニュースがあって近い話題なのでコメント。
n次元の解析幾何学を思おう。
x1,…,xnを変数とする多変数多項式でその中の図は描かれる。
式1個で次元が1つ落ちる。
余次元lの図形ならl個の式の連立が図形を表現する。
不等式にしてプランニング等に使うこともある。もちろん内部外部。
楕円曲線はx^3+h(x)-y^2という式である。
この範囲でもクラインボトルなどどうなってると思う所は出て来る。
有志はクラインボトル類という多項式を求めてみよう。
後で述べる内包からの有理射になっているか確認すればいい。
今、複素数にする方法があり、放物線を超えて楕円と双曲線が
一つの式で扱える。放物線の超え方にはその様子に興味もあろう。
その様子を定式化して3次式以上の図形や高次元(変数が多い)
がその通りになっているかを確認する問題。
また交点を求めるのに根号やその入れ子が現れたりするのを
複素数だとその中身が見えたり、一周して戻ると違う分枝に
つながった方が自然だと自然にユークリッド空間ではない
違う形で整合された図形が現れる問題。
今、無限遠を表現するx0かx(n+1)か名前には関係ないがもう1個の
変数があり、それを小さくすることで無限を入手する。
(x,y)=(x,y,1)と再記され(x,y,z)=(a x,a y,a z)という約束を設定。
多項式は全部斉次化され、放物線x^2 + y + 1 → x^2 + y z + z^2
こうして無限遠が平等的に表れた数学世界で、無限遠から見た世界
を読む。このとき定理の場合分けが大幅に減る問題。
n次元の解析幾何学を思おう。
x1,…,xnを変数とする多変数多項式でその中の図は描かれる。
式1個で次元が1つ落ちる。
余次元lの図形ならl個の式の連立が図形を表現する。
不等式にしてプランニング等に使うこともある。もちろん内部外部。
楕円曲線はx^3+h(x)-y^2という式である。
この範囲でもクラインボトルなどどうなってると思う所は出て来る。
有志はクラインボトル類という多項式を求めてみよう。
後で述べる内包からの有理射になっているか確認すればいい。
今、複素数にする方法があり、放物線を超えて楕円と双曲線が
一つの式で扱える。放物線の超え方にはその様子に興味もあろう。
その様子を定式化して3次式以上の図形や高次元(変数が多い)
がその通りになっているかを確認する問題。
また交点を求めるのに根号やその入れ子が現れたりするのを
複素数だとその中身が見えたり、一周して戻ると違う分枝に
つながった方が自然だと自然にユークリッド空間ではない
違う形で整合された図形が現れる問題。
今、無限遠を表現するx0かx(n+1)か名前には関係ないがもう1個の
変数があり、それを小さくすることで無限を入手する。
(x,y)=(x,y,1)と再記され(x,y,z)=(a x,a y,a z)という約束を設定。
多項式は全部斉次化され、放物線x^2 + y + 1 → x^2 + y z + z^2
こうして無限遠が平等的に表れた数学世界で、無限遠から見た世界
を読む。このとき定理の場合分けが大幅に減る問題。
627名無電力１４００１
2025/03/30(日) 17:19:01.50 前レスからは続く一連。偏微分とは何だろう。
∂/∂xまたは簡単に∂xとも書かれるが、空間の各方向分だけある。
まずこれを座標世界が重複して在るとある世界だと思う。
座標x1,…に対して、∂x1,…の代わりにu1,…と書いてみる。
これを表象と言う。手法のことも言うしu1と書き直された物なども言う。
一つの∂に対しuとvの2つの表象が適切とする思想も。
こうして拡張された世界にて理論を立てるのが柏原の扱う分野である。
かなり粗雑な発想である。どう本物にしていく？
近似系列とその関連定理を示したり。
だがもう少し中身増やしは後の方にすることとして、
広中のは多項式、ペンローズのはアインシュタイン微分方程式
微分方程式は上記の方法で、変数を2倍か3倍にした多項式でまず性質を取る。
すると広中とペンローズを行き来させる場所に柏原が扱った分野がある。
この手法によって微分方程式について、広中の特異点解消が考えられるし
多変数多項式の少なくとも特殊な形のものについて、微分方程式と
同じ現象が起きているのかもしれないと思える。多項式と微分方程式は
微積分法への向き合い方も異なり互いの分野の結論が参考になる。
また代数学と微分方程式の中間の、この表象の方法で表して特異点に
向かっていくのは新たなアプローチを与えているし、
ペンローズ宇宙特異点に関する結論だってこの方法からはどう結論が出るのかは
研究を始めてしっかり把握しきってからでなくてはわからない。
新しい方法が使え見かけは代数学になってて、特異点解消系列、
層係数コホモロジー、イデアル類などが微分方程式扱いに使える。
∂/∂xまたは簡単に∂xとも書かれるが、空間の各方向分だけある。
まずこれを座標世界が重複して在るとある世界だと思う。
座標x1,…に対して、∂x1,…の代わりにu1,…と書いてみる。
これを表象と言う。手法のことも言うしu1と書き直された物なども言う。
一つの∂に対しuとvの2つの表象が適切とする思想も。
こうして拡張された世界にて理論を立てるのが柏原の扱う分野である。
かなり粗雑な発想である。どう本物にしていく？
近似系列とその関連定理を示したり。
だがもう少し中身増やしは後の方にすることとして、
広中のは多項式、ペンローズのはアインシュタイン微分方程式
微分方程式は上記の方法で、変数を2倍か3倍にした多項式でまず性質を取る。
すると広中とペンローズを行き来させる場所に柏原が扱った分野がある。
この手法によって微分方程式について、広中の特異点解消が考えられるし
多変数多項式の少なくとも特殊な形のものについて、微分方程式と
同じ現象が起きているのかもしれないと思える。多項式と微分方程式は
微積分法への向き合い方も異なり互いの分野の結論が参考になる。
また代数学と微分方程式の中間の、この表象の方法で表して特異点に
向かっていくのは新たなアプローチを与えているし、
ペンローズ宇宙特異点に関する結論だってこの方法からはどう結論が出るのかは
研究を始めてしっかり把握しきってからでなくてはわからない。
新しい方法が使え見かけは代数学になってて、特異点解消系列、
層係数コホモロジー、イデアル類などが微分方程式扱いに使える。
628名無電力１４００１
2025/03/30(日) 17:21:25.57 偏微分を新しい変数とする方法で何か表せるのはわかったろう。
精密化していかねばならない。
精密化は同値な状況を表す式を定め、それにより2n(または3n)次元空間を割り
商空間を扱う空間とする手法。
端的に、f(x)に対し、∂(x f) = f + x ∂f だし、任意fを消去して
[∂,x] = 1ということは言えるだろう。
ここで[,]は積差、[A,B] = A B - B A。
実は微分に関する状況はこれで取れててほかの関係式は無いので
この系譜の関係式はn個だから、商空間もn(または2n)次元になっている。
しかし商空間を具体的にはどう特徴づければいいのか。
これは研究しなければならずb多項式というものが表していると
結論づけられている。
次に∂というのは物理学の運動量の扱いと同じである(係数の虚数度外視で)。
商空間での変数変換を考える。構図を守るようなもの。
これは正準変換である。即ち正準変換をこうして何かもっと広大な世界から
落ちてきたものとして扱うことができる。そしてその作られ方に
b多項式という使えるかもしれない道具も新たに来てる。
もちろん使える。物理学者の知らない正準変換の扱いができる。
接触変換という言い方で正準変換を呼んでいることが多い。同語。
但しトリビアルなのを外しているというニュアンスが入っている。
座標だけ微分だけの混合は外し、合わせたものの中での変換。
なるほど正準の世界に来るとするとこの時点で自由度が2n残っている版のが
いいかもしれないというのは理系ならせめて納得されるよね。
正準世界の中の座標型だけの作る半分次元の世界がある。
これをラグランジュ部分多様体と呼ぶ。
精密化していかねばならない。
精密化は同値な状況を表す式を定め、それにより2n(または3n)次元空間を割り
商空間を扱う空間とする手法。
端的に、f(x)に対し、∂(x f) = f + x ∂f だし、任意fを消去して
[∂,x] = 1ということは言えるだろう。
ここで[,]は積差、[A,B] = A B - B A。
実は微分に関する状況はこれで取れててほかの関係式は無いので
この系譜の関係式はn個だから、商空間もn(または2n)次元になっている。
しかし商空間を具体的にはどう特徴づければいいのか。
これは研究しなければならずb多項式というものが表していると
結論づけられている。
次に∂というのは物理学の運動量の扱いと同じである(係数の虚数度外視で)。
商空間での変数変換を考える。構図を守るようなもの。
これは正準変換である。即ち正準変換をこうして何かもっと広大な世界から
落ちてきたものとして扱うことができる。そしてその作られ方に
b多項式という使えるかもしれない道具も新たに来てる。
もちろん使える。物理学者の知らない正準変換の扱いができる。
接触変換という言い方で正準変換を呼んでいることが多い。同語。
但しトリビアルなのを外しているというニュアンスが入っている。
座標だけ微分だけの混合は外し、合わせたものの中での変換。
なるほど正準の世界に来るとするとこの時点で自由度が2n残っている版のが
いいかもしれないというのは理系ならせめて納得されるよね。
正準世界の中の座標型だけの作る半分次元の世界がある。
これをラグランジュ部分多様体と呼ぶ。
629名無電力１４００１
2025/03/30(日) 17:24:00.86 これで柏原正樹さんのことは結構言えてて、
あわてて学ぶものはもう無いかも。
読者もこのくらいからじんわり熟成させて行ってほしいですね。
数学的道具をつなぎ合わせて自分の数学的世界を作ることをだよ。
微分方程式と言えば広大な世界であり、重力場も流体力学もKdV方程式も
あり、そこにはカオスも乱流も特異点もある。
これを変数を2倍か3倍に増やして式投入で同値商にすると正確に扱えて
微分現象が作る図形まで見えるから啓発的さらに
現代代数幾何学が全く足かせなく使える世界がある。
寝ても覚めてもここから果実を取り法則を取って行きたい
という人が出現しても不思議ではない。
ついでのことを言って今日はおしまいにしちゃう。
極大過剰決定系。これまでの通り代数幾何の方法と微分方程式の方法
が行き来して使えるんだが、微分方程式としてその本質的性質を取って
形を最も整理した形にできるよね。その意味でアルゴリズムの
結果として得られた連立微分方程式のこと。
D加群。xi等と∂xi等とで合わせて2n個の基本記号から積の全体を
集合として作れ微分作用素環と呼ぶ。積でも閉じ結合法則などまで確認できて
実際に環。数学的秘訣として環が加法的群に作用したとき最もうまく行く。
その作用する先はなにか、関数の集合である。
D加群とはn次元空間の点に対して値を取らせる通常n変数関数の集合であり、
漠然といつも同じようなものではなく勉強してみれば
状況をしっかり書き込み得るものであるとわかる。
実際、関数の適切な集合は定義域図形の性質も持つ。
あわてて学ぶものはもう無いかも。
読者もこのくらいからじんわり熟成させて行ってほしいですね。
数学的道具をつなぎ合わせて自分の数学的世界を作ることをだよ。
微分方程式と言えば広大な世界であり、重力場も流体力学もKdV方程式も
あり、そこにはカオスも乱流も特異点もある。
これを変数を2倍か3倍に増やして式投入で同値商にすると正確に扱えて
微分現象が作る図形まで見えるから啓発的さらに
現代代数幾何学が全く足かせなく使える世界がある。
寝ても覚めてもここから果実を取り法則を取って行きたい
という人が出現しても不思議ではない。
ついでのことを言って今日はおしまいにしちゃう。
極大過剰決定系。これまでの通り代数幾何の方法と微分方程式の方法
が行き来して使えるんだが、微分方程式としてその本質的性質を取って
形を最も整理した形にできるよね。その意味でアルゴリズムの
結果として得られた連立微分方程式のこと。
D加群。xi等と∂xi等とで合わせて2n個の基本記号から積の全体を
集合として作れ微分作用素環と呼ぶ。積でも閉じ結合法則などまで確認できて
実際に環。数学的秘訣として環が加法的群に作用したとき最もうまく行く。
その作用する先はなにか、関数の集合である。
D加群とはn次元空間の点に対して値を取らせる通常n変数関数の集合であり、
漠然といつも同じようなものではなく勉強してみれば
状況をしっかり書き込み得るものであるとわかる。
実際、関数の適切な集合は定義域図形の性質も持つ。
630名無電力１４００１
2025/04/06(日) 17:19:11.04 数学の色んな証明を学ぶことで、何をすることで物事が確定するのか
どんな風にして実際に学問が進んで行くという現象が起きるのか、
かろうじて分かったことをどうプロは咀嚼して基盤に変えて行くのか
こういうことを把握して行って見よう。
スレの末まで。ファイルサイズからあと1ヶ月半ぐらいかなに見えるから。
その次からは化学とITと建築をするからね。今はややこしいことを前スレに押し込めるような理数。
目下テーマは解説が主目的ではなくて自分が実際に基盤に変えたいからで、欲張って
ペンローズ特異、デデキント環、類体、岩澤、広中、逆関数定理、ゲーデル、リーマンロッホ
今、集中的にやって別のことをして戻って来た時に少し進歩しているという野心的算段。
そもそも証明は数学本の本体で学者が最も時間を掛ける所。
今はAIでこの分野にも攻略が進んでいる。
しかし外部者が単に情報を集めてわかった口を利くのに終わってしまう可能性もある。
もう少し中身を分析してみるべきだろうとも思う。
上記のは全部、証明までまともに取り組んだことはないけれど内容的にはわかってるにはわかってる
というものなので、雑談をしながらその分析まで今度の今シリーズで持って行きたい。
私としてはせっかくあれこれごちゃごちゃやっているから証明まで固めたいのである。
先週の内容で意外と必要以上に言葉は増えているものなのかなとは気づかれたと思う。
素粒子、化学物質、病気に名前を付けるように次々に名前を付けている面も実は数学にはある。
実際、難しさを解体する脱構築ではここを見る。脱構築は現代哲学語で今は数学に向けられる。
環の定義はいいとして、環には素イデアルの集合に双対世界とも言うべき図形位相の
構造を持たせられる定理がある。この定理を使いその性質を整理してスキームと名付け、
次からはスキームXに対して何を考えようのような話の構成をする。
そうすることで構成段階には確かにあったより基礎の話が切り離されて一段抽象になる。
15行ほど上の8個のうち、2,3,4,5,8番目と実に5つがスキームの話である。
どんな風にして実際に学問が進んで行くという現象が起きるのか、
かろうじて分かったことをどうプロは咀嚼して基盤に変えて行くのか
こういうことを把握して行って見よう。
スレの末まで。ファイルサイズからあと1ヶ月半ぐらいかなに見えるから。
その次からは化学とITと建築をするからね。今はややこしいことを前スレに押し込めるような理数。
目下テーマは解説が主目的ではなくて自分が実際に基盤に変えたいからで、欲張って
ペンローズ特異、デデキント環、類体、岩澤、広中、逆関数定理、ゲーデル、リーマンロッホ
今、集中的にやって別のことをして戻って来た時に少し進歩しているという野心的算段。
そもそも証明は数学本の本体で学者が最も時間を掛ける所。
今はAIでこの分野にも攻略が進んでいる。
しかし外部者が単に情報を集めてわかった口を利くのに終わってしまう可能性もある。
もう少し中身を分析してみるべきだろうとも思う。
上記のは全部、証明までまともに取り組んだことはないけれど内容的にはわかってるにはわかってる
というものなので、雑談をしながらその分析まで今度の今シリーズで持って行きたい。
私としてはせっかくあれこれごちゃごちゃやっているから証明まで固めたいのである。
先週の内容で意外と必要以上に言葉は増えているものなのかなとは気づかれたと思う。
素粒子、化学物質、病気に名前を付けるように次々に名前を付けている面も実は数学にはある。
実際、難しさを解体する脱構築ではここを見る。脱構築は現代哲学語で今は数学に向けられる。
環の定義はいいとして、環には素イデアルの集合に双対世界とも言うべき図形位相の
構造を持たせられる定理がある。この定理を使いその性質を整理してスキームと名付け、
次からはスキームXに対して何を考えようのような話の構成をする。
そうすることで構成段階には確かにあったより基礎の話が切り離されて一段抽象になる。
15行ほど上の8個のうち、2,3,4,5,8番目と実に5つがスキームの話である。
631名無電力１４００１
2025/04/06(日) 23:02:59.88 雑談をしながら証明の把握まで行く方向目指し。来週までに局所環と柏原教科書で
代数的に表示した時の特異点の構造の表れ方を読み解く方法を見るとしよう。
さてスキームは代数幾何の教科書に乗っていてやたら難しそうだがそれは間違い。
定義はきわめて簡単である。そのこと。これには内包と外延という考え方でテクストの
構成を脱構築する。(名物トピック。スキームの話をしたら感心されるでしょう)
スキームは多様体の代数版である。多様体はn次元ユークリッド空間の原点を含む素直な
凸な形の開集合、これを何枚も持って来て、貼り合わせて貼り合わせ関数も書いておくことで、
球や2穴トーラスやクラインボトルのような1枚座標では書けない図形を記述する。
このとき開集合を要求し、開集合複数個の貼りで作られる図形を位相空間と呼ぶ。
開集合とは全ての点が内点であり互いに均質であるような集合と特徴づけられる。
可換環の素イデアルを点と見なす。素イデアルの集まり(集合)に対して開集合かどうかを判定
する方法を定める。(実際には閉集合の補集合として表れ、閉集合は点列の極限が内部に入ると
いう定義だから、方程式で制限された低次元部分空間が閉集合で、そういう物で全て)
図形が開集合の貼り合わせであり、その開集合ごとに可換環が一つ存在して
素イデアルのなす開集合としてそれを得ている場合、この図形をスキームと言う。
上のが内包の定義。外延としてこの定義を充足するようなものを、可換環から分数環を作り
帰納的極限という並べて関係付けながら直積を作って1データと見なす方法で、
素イデアルごとに離散付値環という手法で芽を元とする茎環という構成、それを作り並べて、
するとこれは茎環が隣接近傍の情報をわずかに含むからスキーム位相になる
という言い方をする。これは難しい。
だが難しさの場所が内包を満たす外延を作る所にあるとわかる。
するとこれはちょっと脇に置けるからスキーム自体は結構簡単とわかる。
挫折していた人はこういう理解で先に進むといい。
代数的に表示した時の特異点の構造の表れ方を読み解く方法を見るとしよう。
さてスキームは代数幾何の教科書に乗っていてやたら難しそうだがそれは間違い。
定義はきわめて簡単である。そのこと。これには内包と外延という考え方でテクストの
構成を脱構築する。(名物トピック。スキームの話をしたら感心されるでしょう)
スキームは多様体の代数版である。多様体はn次元ユークリッド空間の原点を含む素直な
凸な形の開集合、これを何枚も持って来て、貼り合わせて貼り合わせ関数も書いておくことで、
球や2穴トーラスやクラインボトルのような1枚座標では書けない図形を記述する。
このとき開集合を要求し、開集合複数個の貼りで作られる図形を位相空間と呼ぶ。
開集合とは全ての点が内点であり互いに均質であるような集合と特徴づけられる。
可換環の素イデアルを点と見なす。素イデアルの集まり(集合)に対して開集合かどうかを判定
する方法を定める。(実際には閉集合の補集合として表れ、閉集合は点列の極限が内部に入ると
いう定義だから、方程式で制限された低次元部分空間が閉集合で、そういう物で全て)
図形が開集合の貼り合わせであり、その開集合ごとに可換環が一つ存在して
素イデアルのなす開集合としてそれを得ている場合、この図形をスキームと言う。
上のが内包の定義。外延としてこの定義を充足するようなものを、可換環から分数環を作り
帰納的極限という並べて関係付けながら直積を作って1データと見なす方法で、
素イデアルごとに離散付値環という手法で芽を元とする茎環という構成、それを作り並べて、
するとこれは茎環が隣接近傍の情報をわずかに含むからスキーム位相になる
という言い方をする。これは難しい。
だが難しさの場所が内包を満たす外延を作る所にあるとわかる。
するとこれはちょっと脇に置けるからスキーム自体は結構簡単とわかる。
挫折していた人はこういう理解で先に進むといい。
632名無電力１４００１
2025/04/06(日) 23:38:06.94 似たような未踏の脱構築は一般相対論のリーマン幾何学にもあるはず。
計量からクリストッフェル、リーマンテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率、アインシュタインテンソルと
段階を踏む。どうしてこんなに段階があるのか。不自然ではないのか。と思うとき
一言で言えるはずの何かの内包条件が未知のものとしてあり、我々はその外延的構成を作っているのだろう。
そういう構成を解として渡すと正しくなるような一言条件。
或いは構成的ボトムアップと要求的トップダウン。一般相対論には後者がまだ欠けている。
熱力学でエントロピーが後発概念で結構重要だったが、
一般相対論でこの一言なまだ未知の言い方もわりと重要だろう。
ついでに一般相対論についてもう一つ。アインシュタインヒルベルト作用から変分で
アインシュタイン方程式を出せる。作用があると正準運動量を直ちに求めれる。
すると正準位置変数と正準運動量で調和振動子ポテンシャルを構成しているかどうかは重要である。
計量変化を正準位置と見なすときの調和振動子ポテンシャル、またその空間と時間のこと
一般化座標で曲線での様子のこと、こういう話題が重力の量子の文献で無かったと思う。
このスジで行くと、エネルギーが整数差の重力量子を決めることができて、或いは実際には
数式的に重力量子を作ることができないことが証明されるかもしれないのだから、
アインシュタインヒルベルト作用からその形の所までを基礎として書き出しておく。
重力の量子化で計量を使ったり四脚場を使ったり流儀がまちまち。
これは指導指針が無いことが原因の一つ。しかし作用から正準運動量で、量子論前段階には
無ければいけない調和振動子が、実際はどういう数式の形か
計量、四脚場、または違うものを作ったら式が最もきれいになるのか。
こういう指針ですれば量子化の話は進むだろう。
(くりこみの高エネルギー発散については弦を出して、深非弾性散乱で複合粒子の非点が見えはじめる
のと同じように重力量子の非点が見えて、無限大ではない方向に収束するとすればいいのだから)
このように考えれば重力の量子論自体はもし答があるなら作っていけると思う。
そのようにしてから超対称性をもう一度入れれば、理論は本質的に現在よりは一段進むだろう。
計量からクリストッフェル、リーマンテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率、アインシュタインテンソルと
段階を踏む。どうしてこんなに段階があるのか。不自然ではないのか。と思うとき
一言で言えるはずの何かの内包条件が未知のものとしてあり、我々はその外延的構成を作っているのだろう。
そういう構成を解として渡すと正しくなるような一言条件。
或いは構成的ボトムアップと要求的トップダウン。一般相対論には後者がまだ欠けている。
熱力学でエントロピーが後発概念で結構重要だったが、
一般相対論でこの一言なまだ未知の言い方もわりと重要だろう。
ついでに一般相対論についてもう一つ。アインシュタインヒルベルト作用から変分で
アインシュタイン方程式を出せる。作用があると正準運動量を直ちに求めれる。
すると正準位置変数と正準運動量で調和振動子ポテンシャルを構成しているかどうかは重要である。
計量変化を正準位置と見なすときの調和振動子ポテンシャル、またその空間と時間のこと
一般化座標で曲線での様子のこと、こういう話題が重力の量子の文献で無かったと思う。
このスジで行くと、エネルギーが整数差の重力量子を決めることができて、或いは実際には
数式的に重力量子を作ることができないことが証明されるかもしれないのだから、
アインシュタインヒルベルト作用からその形の所までを基礎として書き出しておく。
重力の量子化で計量を使ったり四脚場を使ったり流儀がまちまち。
これは指導指針が無いことが原因の一つ。しかし作用から正準運動量で、量子論前段階には
無ければいけない調和振動子が、実際はどういう数式の形か
計量、四脚場、または違うものを作ったら式が最もきれいになるのか。
こういう指針ですれば量子化の話は進むだろう。
(くりこみの高エネルギー発散については弦を出して、深非弾性散乱で複合粒子の非点が見えはじめる
のと同じように重力量子の非点が見えて、無限大ではない方向に収束するとすればいいのだから)
このように考えれば重力の量子論自体はもし答があるなら作っていけると思う。
そのようにしてから超対称性をもう一度入れれば、理論は本質的に現在よりは一段進むだろう。
633名無電力１４００１
2025/04/13(日) 17:15:23.29 Dedekind環の素イデアル分解の存在一意の証明を紹介したいんだが1ヶ所引っ掛かってる。
困ったな。こういうことよくあるよね。普通は10ヶ所ぐらい引っ掛かり。
そうしているうちに消耗して他の所もフォロー力が無くなる。
しかし学問の進歩もそういうもので、普通はクリアには物は見えず、
概念に違いがある。新しい構造物の入る隙間がある。こんな気づきから段々精細度が上がる。
そんなもんだ。5/4まで数学の証明紹介をしたいと思うので完成はできるのあるか。
さて内容は或る程度は大学代数学の知識を仮定するが、代数的整数のなす環がDedekind環。
これはネータ環で素イデアルが極大イデアルという特徴を持ち整閉という性質を持つ。
素因数分解の一意性が発展してまとまった姿がこれである。
RSA暗号は素因数分解だが、代数的整数での素因数分解は関連するだろう。
(1)イデアルという概念
bがaを割るという概念を考えてみよう。土俵の特定は後回しで。これをb|aと書く。
この時期待すべき性質として、b|a1 & b|a2 ⇒ b|(a1+a2)。およびb|a ⇒ b|(c a)。
これは納得されると思う。
ここでなんと取る基本概念を転回させる。bで割れるような数の集合を定める。
その集合は要素を足した物はまた入り、定数倍した物はまた入る。
Kummerは理想数という新しい数をほしかったが、それはやめて集合でいいじゃんという
集合で運用を始める。イデアルの定義がまさにぴたりこれであることは教科書通り。
(2)割り切るの関係が集合の包含に置き換わること
b|a ⇒ ∃c. a = b c 或るcがあってa=bcである。aの倍数はbの倍数でもある。
単項イデアルについて(a)⊂(b)。こういう形に書ける。
全部の論理を集合でするのでイデアルについてA⊂Bならば、BがAを割り切る意味を
表しているものだと解釈する。aやbへの言及ももう無くす。
困ったな。こういうことよくあるよね。普通は10ヶ所ぐらい引っ掛かり。
そうしているうちに消耗して他の所もフォロー力が無くなる。
しかし学問の進歩もそういうもので、普通はクリアには物は見えず、
概念に違いがある。新しい構造物の入る隙間がある。こんな気づきから段々精細度が上がる。
そんなもんだ。5/4まで数学の証明紹介をしたいと思うので完成はできるのあるか。
さて内容は或る程度は大学代数学の知識を仮定するが、代数的整数のなす環がDedekind環。
これはネータ環で素イデアルが極大イデアルという特徴を持ち整閉という性質を持つ。
素因数分解の一意性が発展してまとまった姿がこれである。
RSA暗号は素因数分解だが、代数的整数での素因数分解は関連するだろう。
(1)イデアルという概念
bがaを割るという概念を考えてみよう。土俵の特定は後回しで。これをb|aと書く。
この時期待すべき性質として、b|a1 & b|a2 ⇒ b|(a1+a2)。およびb|a ⇒ b|(c a)。
これは納得されると思う。
ここでなんと取る基本概念を転回させる。bで割れるような数の集合を定める。
その集合は要素を足した物はまた入り、定数倍した物はまた入る。
Kummerは理想数という新しい数をほしかったが、それはやめて集合でいいじゃんという
集合で運用を始める。イデアルの定義がまさにぴたりこれであることは教科書通り。
(2)割り切るの関係が集合の包含に置き換わること
b|a ⇒ ∃c. a = b c 或るcがあってa=bcである。aの倍数はbの倍数でもある。
単項イデアルについて(a)⊂(b)。こういう形に書ける。
全部の論理を集合でするのでイデアルについてA⊂Bならば、BがAを割り切る意味を
表しているものだと解釈する。aやbへの言及ももう無くす。
634名無電力１４００１
2025/04/13(日) 19:10:36.73 (3)イデアルの和と積の定義
集合の要素をそれぞれ取って演算結果全体のなす集合。
これがイデアルであることは要証明。実際、積はそうならない。
A B = {Σ ai bi; ai∈A, bi∈B}
項数が有限個の項和として定義し直せばイデアルになる。
圏論的内包の外延実装と言う言い方も出来る。テンソル積でも同じ現象。
このように性質主導で定義を少し変じて行く手法が数学の高級部分を手繰り寄せる。
(4)素イデアル
n=ab & p|n ⇒ p|a or p|b これが素数。
単項イデアルで書くと
(ab)⊂(p) ⇒ (a)⊂(p) or (b)⊂(p)
中身を隠すと素イデアルの定義。
Pが素イデアルとは、任意のイデアルA,Bとその積について
A B⊂P ⇒ A⊂P or B⊂P
はて積の定義には既に工夫が入っていた。この先どうなるのだろう。
(5)ツォルンの補題
集合論の選択公理と同値な命題で、存在をひねり出すのによく使われる。
集合の包含関係の系列 …⊂B⊂C⊂D⊂…
集合の性質を限定すれば、右側が常に停止して上界を持つようにできるだろう。
この時その性質の集合の族は、その包含関係に関する極大な集合を持つ。
というのが定理の言明。何を言いたいのかわかりにくいが
極めて便利で必要ならば選択公理から証明が出来るので、そういう使われ方をする。
集合の要素をそれぞれ取って演算結果全体のなす集合。
これがイデアルであることは要証明。実際、積はそうならない。
A B = {Σ ai bi; ai∈A, bi∈B}
項数が有限個の項和として定義し直せばイデアルになる。
圏論的内包の外延実装と言う言い方も出来る。テンソル積でも同じ現象。
このように性質主導で定義を少し変じて行く手法が数学の高級部分を手繰り寄せる。
(4)素イデアル
n=ab & p|n ⇒ p|a or p|b これが素数。
単項イデアルで書くと
(ab)⊂(p) ⇒ (a)⊂(p) or (b)⊂(p)
中身を隠すと素イデアルの定義。
Pが素イデアルとは、任意のイデアルA,Bとその積について
A B⊂P ⇒ A⊂P or B⊂P
はて積の定義には既に工夫が入っていた。この先どうなるのだろう。
(5)ツォルンの補題
集合論の選択公理と同値な命題で、存在をひねり出すのによく使われる。
集合の包含関係の系列 …⊂B⊂C⊂D⊂…
集合の性質を限定すれば、右側が常に停止して上界を持つようにできるだろう。
この時その性質の集合の族は、その包含関係に関する極大な集合を持つ。
というのが定理の言明。何を言いたいのかわかりにくいが
極めて便利で必要ならば選択公理から証明が出来るので、そういう使われ方をする。
635名無電力１４００１
2025/04/13(日) 23:00:11.39 (6)ネータ環
任意のイデアルが有限生成で、任意のイデアル昇鎖が停止するというのが定義。
そのままの意味に捉えてもらえばいいんだけど。
イデアルI = {a1 i1 + … + an in ; a∈R, i∈I}
任意のイデアルIは有限個の基底があってその係数和の形の右辺で左辺が書かれる。
また …⊂I2⊂I3…⊂Im。全部がイデアルな集合包含列は右端となるイデアルがある。
分野の基本的な対象。ほとんどの物がネータ環。
(7)代数的整の概念
代数的数は有理数係数多項式を1つ決めて、その根全部を有理数に投入して
そこから四則演算で得られるもの、つまり体として閉じさせて得る。
根の一部でいい場合もあるが歪んでいて、面白いのは全部の場合。
一方、こうして得られる拡大された数体の要素についてそれを根とする方程式がある。
ところで最高次係数が1の根はその和差積も最高次係数が1な方程式の根となる。商は違う。
即ち和差積で閉じて環を代数的数体Kの中で為し、これを代数的整数環Oと言う。
一般に環O⊂体Kとしてこの状況を表す。代数的拡大一般にこの状況がある。
(8)逆イデアル
A^-1 = {x∈K ; (x A)⊂O}
O⊂KであるKの方でものを考え、それを掛けるとAのどの要素もOに入るようなKの要素。
元々イデアルは環の部分集合でA⊂O、よってx∈Oならば自明に(x A)⊂Oは成立。
O⊂A^-1 狭義に大きいということがわかる。(3)^-1 = (1/3)で1/3の倍数全部である。
(9)余因子行列との積
nn行列Aから、余因子こと(n-1)(n-1)行列からdetを取って符号を付けたもの
を並べて余因子行列A*を作れる。このとき (A*) A = (detA) I。
線形代数の定理である。
任意のイデアルが有限生成で、任意のイデアル昇鎖が停止するというのが定義。
そのままの意味に捉えてもらえばいいんだけど。
イデアルI = {a1 i1 + … + an in ; a∈R, i∈I}
任意のイデアルIは有限個の基底があってその係数和の形の右辺で左辺が書かれる。
また …⊂I2⊂I3…⊂Im。全部がイデアルな集合包含列は右端となるイデアルがある。
分野の基本的な対象。ほとんどの物がネータ環。
(7)代数的整の概念
代数的数は有理数係数多項式を1つ決めて、その根全部を有理数に投入して
そこから四則演算で得られるもの、つまり体として閉じさせて得る。
根の一部でいい場合もあるが歪んでいて、面白いのは全部の場合。
一方、こうして得られる拡大された数体の要素についてそれを根とする方程式がある。
ところで最高次係数が1の根はその和差積も最高次係数が1な方程式の根となる。商は違う。
即ち和差積で閉じて環を代数的数体Kの中で為し、これを代数的整数環Oと言う。
一般に環O⊂体Kとしてこの状況を表す。代数的拡大一般にこの状況がある。
(8)逆イデアル
A^-1 = {x∈K ; (x A)⊂O}
O⊂KであるKの方でものを考え、それを掛けるとAのどの要素もOに入るようなKの要素。
元々イデアルは環の部分集合でA⊂O、よってx∈Oならば自明に(x A)⊂Oは成立。
O⊂A^-1 狭義に大きいということがわかる。(3)^-1 = (1/3)で1/3の倍数全部である。
(9)余因子行列との積
nn行列Aから、余因子こと(n-1)(n-1)行列からdetを取って符号を付けたもの
を並べて余因子行列A*を作れる。このとき (A*) A = (detA) I。
線形代数の定理である。
636名無電力１４００１
2025/04/13(日) 23:02:28.71 (10)任意のイデアルA⊂Oに対し、それに(部分集合として)含まれる何かの素イデアルだけの積がある
そうでないイデアル全部の集合をＭと表してみる。
イデアルも集合だから集合の集合だけどその気持ちを全角文字に込めて。Ｍは空であるか？
代数的整数環Oはネータ環でそのイデアルの包含列は上の端を持つ。
これはツォルンの補題の前件を満たしＭには極大な集合Cが存在する。
Cが自身素イデアルならここに入っているはずが無いから素イデアルではなく
Cの元でないb,dであって(b d)∈CというようなOの要素が存在する。
その単項イデアルとCとの和で作られるイデアルをそれぞれB,Dとすると
どちらもCを含みCよりも狭義に大きい。
CはＭで極大なのでBとDにはそれに含まれる素イデアルだけの積がある。
ところが(B D)⊂Cが示され、これからCもＭに含まれるとの定義とは矛盾する性質を出せる。
Ｍが空でないとしたことが矛盾の元凶でＭは空である。
(11)任意のイデアルA⊂Oに対し、A⊂(P^-1 A)狭義に大きい
Aは有限生成だからその基底をa1,…,anとしてみる。x∈P^-1⊂Kを取る。
もし(P^-1 A) = Aなら、x ai = Σ cij aj と書ける。
移項して x δij - cij = Cij という行列と置く。[Cij] (aj) = (0i)
Cの余因子行列を左から掛けると(9)を使い、(detC) aj = 0 ∀j よりdetC = 0。
det(x δij - cij) = 0の解は代数的整数でありx∈O。
逆イデアルは(8)を使うとOより狭義に大きいのであるからxの取り方からは得られない結論が出ている。
これはもしの部分が間違っていてちょうど題意が証明される。
Oと0の混同あるかもしれないがほとんど間違えないと思う。
そうでないイデアル全部の集合をＭと表してみる。
イデアルも集合だから集合の集合だけどその気持ちを全角文字に込めて。Ｍは空であるか？
代数的整数環Oはネータ環でそのイデアルの包含列は上の端を持つ。
これはツォルンの補題の前件を満たしＭには極大な集合Cが存在する。
Cが自身素イデアルならここに入っているはずが無いから素イデアルではなく
Cの元でないb,dであって(b d)∈CというようなOの要素が存在する。
その単項イデアルとCとの和で作られるイデアルをそれぞれB,Dとすると
どちらもCを含みCよりも狭義に大きい。
CはＭで極大なのでBとDにはそれに含まれる素イデアルだけの積がある。
ところが(B D)⊂Cが示され、これからCもＭに含まれるとの定義とは矛盾する性質を出せる。
Ｍが空でないとしたことが矛盾の元凶でＭは空である。
(11)任意のイデアルA⊂Oに対し、A⊂(P^-1 A)狭義に大きい
Aは有限生成だからその基底をa1,…,anとしてみる。x∈P^-1⊂Kを取る。
もし(P^-1 A) = Aなら、x ai = Σ cij aj と書ける。
移項して x δij - cij = Cij という行列と置く。[Cij] (aj) = (0i)
Cの余因子行列を左から掛けると(9)を使い、(detC) aj = 0 ∀j よりdetC = 0。
det(x δij - cij) = 0の解は代数的整数でありx∈O。
逆イデアルは(8)を使うとOより狭義に大きいのであるからxの取り方からは得られない結論が出ている。
これはもしの部分が間違っていてちょうど題意が証明される。
Oと0の混同あるかもしれないがほとんど間違えないと思う。
637名無電力１４００１
2025/04/13(日) 23:05:31.21 (12)任意のイデアルは素イデアル分解され=で書かれる。
素イデアル分解されない全てのイデアルの集合をＭと書く。
Ｍが空でないなら(10)と同じく極大元C (元と言っているけど集合)が存在する。
一般に可換環ではツォルンの補題を使い任意のイデアルに対しそれを含む極大イデアル
が存在するが極大イデアルは素イデアルであり、
Cが素ではないはずなのだからC⊂P狭義に大きいの構図が成立。
Pについて(11)を使い P⊂(P^-1 P)⊂Oだが、Pは極大なのでP^-1 P = O。
C⊂(P^-1 C)狭義に大きい、とCとＭとの関係から、P^-1 Cは素イデアル分解を持つはずである。
するとそれにPを掛けた式はCの素イデアル分解である。集合の式としてこれを確認される。
(13)素イデアル分解は一意
イデアルC = P1 … Pr = Q1 … Qs の2通り素イデアル分解があるとする。
素イデアルの定義から P1はどれかのQiを割る。
Dedekind環では素イデアルは極大イデアルなので、P1=Qiでなければならない。
P1^-1を掛けると集合の式としてP1とQiが落ちた式になる。
最後の形はr=sで、落として行くP系とQ系の素イデアルは結局は同じ物が対応していなければならない。
以上で証明された。
という次第。
引っ掛かる所はあるんだけど、ここがどうだ、ここは、と数個も見つけられればあなたは中々。
別の所にこの証明一式を持っていって当てはめること。行き先探し。
楕円曲線暗号になると実際にこういうことを使いながら言うんだと思う。
素イデアル分解されない全てのイデアルの集合をＭと書く。
Ｍが空でないなら(10)と同じく極大元C (元と言っているけど集合)が存在する。
一般に可換環ではツォルンの補題を使い任意のイデアルに対しそれを含む極大イデアル
が存在するが極大イデアルは素イデアルであり、
Cが素ではないはずなのだからC⊂P狭義に大きいの構図が成立。
Pについて(11)を使い P⊂(P^-1 P)⊂Oだが、Pは極大なのでP^-1 P = O。
C⊂(P^-1 C)狭義に大きい、とCとＭとの関係から、P^-1 Cは素イデアル分解を持つはずである。
するとそれにPを掛けた式はCの素イデアル分解である。集合の式としてこれを確認される。
(13)素イデアル分解は一意
イデアルC = P1 … Pr = Q1 … Qs の2通り素イデアル分解があるとする。
素イデアルの定義から P1はどれかのQiを割る。
Dedekind環では素イデアルは極大イデアルなので、P1=Qiでなければならない。
P1^-1を掛けると集合の式としてP1とQiが落ちた式になる。
最後の形はr=sで、落として行くP系とQ系の素イデアルは結局は同じ物が対応していなければならない。
以上で証明された。
という次第。
引っ掛かる所はあるんだけど、ここがどうだ、ここは、と数個も見つけられればあなたは中々。
別の所にこの証明一式を持っていって当てはめること。行き先探し。
楕円曲線暗号になると実際にこういうことを使いながら言うんだと思う。
638名無電力１４００１
2025/04/20(日) 17:17:59.18 リーマンロッホというのをやりたくて取り組んだけどまるで準備ができていなくて
あたかも啓蒙本みたいな言い方で今日は済ませようと思う。
来週に本格的なことをする。
そもそも何？今シリーズでは特異点や数論を狙っていると言っていた。
この定理は無限遠にも素数を置いて図形を閉じさせる。
図形の具体は多項式と整数。多項式は既約多項式が素数、整数は通常の素数が素数。
図形のどっちにもだが、多項式÷多項式いわゆる有理式を考察対象とする。
整数でそれはどういうこと？多項式のｘに素数を入れた式で結果は普通の分数になるもののこと。
有理式だが分母の形に制限をする。素因数分解されるし、
整数ではなく代数的整数を土俵にしても素イデアル分解されるし、条件は付け易い。
各素因数ごとに負の何乗以上または0や正の何乗以上、つまり
分母が強過ぎるという意味のあまり特異なものを除外する。
このような有理式の全体はベクトル空間をなす。
それは足しても定数(それぞれの土俵での整数)倍しても、分母は強まらないから。
このベクトル空間の次元は如何？
が、リーマンロッホの定理。
条件のことを因子と言う。
無限遠を閉じさせているときは一つの座標や一回の言い方では語れない。
貼り合わせが必要になり一般化して、素数を点とみなして点の集合に定義域を持つ関数
そんなものの集約が実態をなしていると見なす。
この(点の開集合|→関数加群)対応を包括的に持つようなデータ構造を層と言う。
話題のは因子に付随する層という数学的対象に関する定理である。
あたかも啓蒙本みたいな言い方で今日は済ませようと思う。
来週に本格的なことをする。
そもそも何？今シリーズでは特異点や数論を狙っていると言っていた。
この定理は無限遠にも素数を置いて図形を閉じさせる。
図形の具体は多項式と整数。多項式は既約多項式が素数、整数は通常の素数が素数。
図形のどっちにもだが、多項式÷多項式いわゆる有理式を考察対象とする。
整数でそれはどういうこと？多項式のｘに素数を入れた式で結果は普通の分数になるもののこと。
有理式だが分母の形に制限をする。素因数分解されるし、
整数ではなく代数的整数を土俵にしても素イデアル分解されるし、条件は付け易い。
各素因数ごとに負の何乗以上または0や正の何乗以上、つまり
分母が強過ぎるという意味のあまり特異なものを除外する。
このような有理式の全体はベクトル空間をなす。
それは足しても定数(それぞれの土俵での整数)倍しても、分母は強まらないから。
このベクトル空間の次元は如何？
が、リーマンロッホの定理。
条件のことを因子と言う。
無限遠を閉じさせているときは一つの座標や一回の言い方では語れない。
貼り合わせが必要になり一般化して、素数を点とみなして点の集合に定義域を持つ関数
そんなものの集約が実態をなしていると見なす。
この(点の開集合|→関数加群)対応を包括的に持つようなデータ構造を層と言う。
話題のは因子に付随する層という数学的対象に関する定理である。
639名無電力１４００１
2025/04/20(日) 21:53:10.40 リーマンロッホは保型関数のパラメータの数を決めるのに使えるし
素粒子物理でも空間の大きさを評価して論理を追い込むのに使える可能性が高い。
そういう設定を作って問題を解けばいいんだなということは伝わったと思う。
無限遠を閉じることによって、大域は局所に存在するものをも制約し
ベクトル空間の意味で有限次元分の関数しか存在し得ない。
普通はベクトル空間の意味で無限次元分ある。
無限遠これは空間の意味とは限らない。値域の場合もあるし、
単なる閉集合を写像して無限部を持たせるようにしてもあり。
ということはゲージ群の次元も元々はこういう仕組みで決まっているかも知れない。
研究の意味では道具として突き詰める必要はあるだろうと。
問題としても簡単だよね？数学にはありがち。
変に権威じみたテキスト文面にしているが、中身はこんなもの。
D加群というのも関数の集合と前述べたが、層の形を取っている関数の集合で
大域的状況とかホモロジーとか極限とか複素解析の定理とかが成立しているようにするまでが理論。
だからこれも伝わったのではないか。数学から掘り返す人があってもよいと思う。
代数解析は1年以内ぐらいにシリーズ設定にしてしよう。
さて一応理系で理数をしっかりやっていた人ならば、複素関数論で
無限遠点まで含めて発散しない解析関数は定数しかない。
連結領域で定数でないような解析関数は必ず極を持つ。という定理を知っているだろう。
解析関数は有理式(多項式÷多項式の形)だけ使えば定理の状況は起こせるし
リーマンロッホのプロトタイプを為している。
つまりD=0(任意の素数に対して0)というような因子に付随する層の
ベクトル空間としての次元は0というのが、その定理を包含している。
素粒子物理でも空間の大きさを評価して論理を追い込むのに使える可能性が高い。
そういう設定を作って問題を解けばいいんだなということは伝わったと思う。
無限遠を閉じることによって、大域は局所に存在するものをも制約し
ベクトル空間の意味で有限次元分の関数しか存在し得ない。
普通はベクトル空間の意味で無限次元分ある。
無限遠これは空間の意味とは限らない。値域の場合もあるし、
単なる閉集合を写像して無限部を持たせるようにしてもあり。
ということはゲージ群の次元も元々はこういう仕組みで決まっているかも知れない。
研究の意味では道具として突き詰める必要はあるだろうと。
問題としても簡単だよね？数学にはありがち。
変に権威じみたテキスト文面にしているが、中身はこんなもの。
D加群というのも関数の集合と前述べたが、層の形を取っている関数の集合で
大域的状況とかホモロジーとか極限とか複素解析の定理とかが成立しているようにするまでが理論。
だからこれも伝わったのではないか。数学から掘り返す人があってもよいと思う。
代数解析は1年以内ぐらいにシリーズ設定にしてしよう。
さて一応理系で理数をしっかりやっていた人ならば、複素関数論で
無限遠点まで含めて発散しない解析関数は定数しかない。
連結領域で定数でないような解析関数は必ず極を持つ。という定理を知っているだろう。
解析関数は有理式(多項式÷多項式の形)だけ使えば定理の状況は起こせるし
リーマンロッホのプロトタイプを為している。
つまりD=0(任意の素数に対して0)というような因子に付随する層の
ベクトル空間としての次元は0というのが、その定理を包含している。
640名無電力１４００１
2025/04/27(日) 17:15:20.25 (1)射影空間、リーマン球面
複素平面に無限遠点を付けると等質な空間として閉じる。これをリーマン球面と言う。
その座標は原点中心のz座標と、通常の数を1/z=wとしてw座標と。
この2枚座標系を用意して貼り合わせがあるとすれば全部を記述できる。
dw = -1/z^2 dz にも注意。こっちの方を貼り合わせ関数にする手法もある。
複素(とは限らない)平面に無限遠直線を付けて、また原点から同一方向の点を同じに見なす
無限遠に射影していってその像が無限遠直線であるような図形体。
これが射影空間。詳細は各自。
どちらも閉じた図形体を作る方法である。このような方法を一般にコンパクト化と呼ぶ。
Riemann-Roch定理の準備ができたので構成していくよ。
チェックコホモロジーを使う方。ここにRiemannの名前が出て来るとはかなりの先取り者だと思う。
(2)完全系列exact sequence
写像の系列、→A→B→C→D→E→…
矢印にはどれも元の行き先を決める具体的な計算法が定義されているとする。
英大文字は集合でそれに何かの演算構造が入ったもの。またそれぞれ0を持つ。
Aのどの元も→→でCの0になる。
Cの0の逆像はBの部分集合だが、これはA全体の→による像と同一になる。
が条件。下のは上のを包含している。下のだけが定義条件。
我々は0→H0(D)→H0(D1)→H0(C)→H1(D)→H1(D1)→H1(C)=0
というチェックコホモロジーで標準的に作る系列が完全系列であることを証明し
奇数番目の次元の和＝偶数番目の次元の和からD帰納法的にRiemann-Rochに至る。
複素平面に無限遠点を付けると等質な空間として閉じる。これをリーマン球面と言う。
その座標は原点中心のz座標と、通常の数を1/z=wとしてw座標と。
この2枚座標系を用意して貼り合わせがあるとすれば全部を記述できる。
dw = -1/z^2 dz にも注意。こっちの方を貼り合わせ関数にする手法もある。
複素(とは限らない)平面に無限遠直線を付けて、また原点から同一方向の点を同じに見なす
無限遠に射影していってその像が無限遠直線であるような図形体。
これが射影空間。詳細は各自。
どちらも閉じた図形体を作る方法である。このような方法を一般にコンパクト化と呼ぶ。
Riemann-Roch定理の準備ができたので構成していくよ。
チェックコホモロジーを使う方。ここにRiemannの名前が出て来るとはかなりの先取り者だと思う。
(2)完全系列exact sequence
写像の系列、→A→B→C→D→E→…
矢印にはどれも元の行き先を決める具体的な計算法が定義されているとする。
英大文字は集合でそれに何かの演算構造が入ったもの。またそれぞれ0を持つ。
Aのどの元も→→でCの0になる。
Cの0の逆像はBの部分集合だが、これはA全体の→による像と同一になる。
が条件。下のは上のを包含している。下のだけが定義条件。
我々は0→H0(D)→H0(D1)→H0(C)→H1(D)→H1(D1)→H1(C)=0
というチェックコホモロジーで標準的に作る系列が完全系列であることを証明し
奇数番目の次元の和＝偶数番目の次元の和からD帰納法的にRiemann-Rochに至る。
641名無電力１４００１
2025/04/27(日) 17:17:35.66 曲面をX、その開被覆一つＷを定める。X上の層をＦとする。Ｆは
Xの部分領域で定義されている関数(関数チップ)の全部情報のことを言っていて
そのデータ型は領域⊂Xごとに関数加群を返すような広義関数である。
層において追加条件が2つありこれは使われる。実際の使用は(5)部分だが隠蔽されてる。
・開集合上の関数がどの部分集合においても0ならそれは0
・任意の開集合2つについてその共通部分集合で一致しているような関数はX全体で定義されている
(3-1)チェックコホモロジーCech cohomology
コホモロジーには番号nがありnの深まりが代数学的な構造展開を与えているが
チェック流では開被覆Ｗに対し、Ui∈Ｗのn+1個の共通部分集合で土俵を与える。
つまり Ui(1)∩…∩Ui(n+1) の形の集合それぞれを基底とした、有理整数Z係数の
ヒストグラム、これがものを考察する空間。
どんなものを持って来ても、有理整数Z係数のヒストグラムを考えると
足し引きなどの演算が考えられるようになる。これは数学的有効な方法。
幾何学の複体でも代数のテンソル積でもそういうことをしている。
(3-2) 上の空間でのnごとの関数のデータ型
n=0なら、任意のiについてUi∈Ｗ、そこで定義された任意の関数fi(u∈Ui)
n=1なら、任意のi,jについてUi,Uj∈Ｗ、Ui∩Ujで定義された任意の関数fij(u∈Ui∩Uj)
n=2なら、任意のi,j,kについてUi,Uj,Uk∈Ｗ、Ui∩Uj∩Ukで定義された任意の関数fijk(u∈Ui∩Uj∩Uk)
考察にはn=2までしか使わないのでこれで十分。何か簡単化されているとは思わず
そのままそれだけのデータ量を使って物事を表しているそれだけだと思ってほしい。
このシステムに実際に貼り合わせで一緒だからとか、それによる部分群を得て全体からの商とか
そういうことをして代数的に動かして行くもの。
Xの部分領域で定義されている関数(関数チップ)の全部情報のことを言っていて
そのデータ型は領域⊂Xごとに関数加群を返すような広義関数である。
層において追加条件が2つありこれは使われる。実際の使用は(5)部分だが隠蔽されてる。
・開集合上の関数がどの部分集合においても0ならそれは0
・任意の開集合2つについてその共通部分集合で一致しているような関数はX全体で定義されている
(3-1)チェックコホモロジーCech cohomology
コホモロジーには番号nがありnの深まりが代数学的な構造展開を与えているが
チェック流では開被覆Ｗに対し、Ui∈Ｗのn+1個の共通部分集合で土俵を与える。
つまり Ui(1)∩…∩Ui(n+1) の形の集合それぞれを基底とした、有理整数Z係数の
ヒストグラム、これがものを考察する空間。
どんなものを持って来ても、有理整数Z係数のヒストグラムを考えると
足し引きなどの演算が考えられるようになる。これは数学的有効な方法。
幾何学の複体でも代数のテンソル積でもそういうことをしている。
(3-2) 上の空間でのnごとの関数のデータ型
n=0なら、任意のiについてUi∈Ｗ、そこで定義された任意の関数fi(u∈Ui)
n=1なら、任意のi,jについてUi,Uj∈Ｗ、Ui∩Ujで定義された任意の関数fij(u∈Ui∩Uj)
n=2なら、任意のi,j,kについてUi,Uj,Uk∈Ｗ、Ui∩Uj∩Ukで定義された任意の関数fijk(u∈Ui∩Uj∩Uk)
考察にはn=2までしか使わないのでこれで十分。何か簡単化されているとは思わず
そのままそれだけのデータ量を使って物事を表しているそれだけだと思ってほしい。
このシステムに実際に貼り合わせで一緒だからとか、それによる部分群を得て全体からの商とか
そういうことをして代数的に動かして行くもの。
642名無電力１４００１
2025/04/27(日) 17:20:00.55 (3-3)層係数、層のの意味
層は開集合ごとにそこに取り得る関数を定めるのだった。
正則関数の層、連続関数の層、その他もっと図形構造に直結しているような条件を持たせて定めている層。
上定義で、fi∈Ｆ(Ui)、fij∈Ｆ(Ui∩Uj) とすべきである。
すると層情報はシステムの中に入って来ている。
(3-4)n→n+1への写像
n=0なら、全Uiでそれぞれ定義されている関数を引数に取り、全Ui∩Ujでそれぞれ定義されている関数を値として与える写像。
それはUi∩Ujに対し、fj - fiと取れば一つ与えられる。これのこと。
n=1なら、Ui∩Uj∩Ukに対し、fjk - fik + fijと取れば与えられる。
一般に、番号を1つ外し、するとnが1つ下の所で定義されているからその関数を持って来る。
外した番号がUi∩…の記述順での偶か奇番目かで-1のその乗を掛ける。
これがUi∩Uj∩Ukのちょっとした書き方差に整合なこと、n→n+1→n+2でどれも0になることは初等に確認される。
(3-5)実際のチェックコホモロジー
nごとのコチェインC(n)(3-2のデータをこう呼ぶのである)と、n→n+1への写像が定まった。
コチェインは加法は自然に定義されているし、体Kの要素による乗算を入れてもいい。(Z係数ではなくK係数のヒストグラムになる)
つまりベクトル空間や加群の次元が定まる対象になって来ている。
n→n+1で(ヒストグラム係数が全部)0になるものをZ(n)
n-1→nでn-1コチェインC(n-1)全部の像をB(n)。どちらもC(n)の部分集合。
B(n)⊂Z(n)は3-4内容のことで、Z(n)/B(n)はそれ以上は定まらない。
Z(n)/B(n)をn次のチェックコホモロジーと呼ぶ(正式な定義である)。
開被覆Ｗがあまり粗いと違う結果が現れ細かくする極限を最終定義的には取るが今の問題でその必要はない。
以上で導入された。他のコホモロジーはnを深める違う方法を取る。
コホモロジーは商群の形をしているが(外延)、そのことは忘れて群自体を見る(内包として次に使う)。
層は開集合ごとにそこに取り得る関数を定めるのだった。
正則関数の層、連続関数の層、その他もっと図形構造に直結しているような条件を持たせて定めている層。
上定義で、fi∈Ｆ(Ui)、fij∈Ｆ(Ui∩Uj) とすべきである。
すると層情報はシステムの中に入って来ている。
(3-4)n→n+1への写像
n=0なら、全Uiでそれぞれ定義されている関数を引数に取り、全Ui∩Ujでそれぞれ定義されている関数を値として与える写像。
それはUi∩Ujに対し、fj - fiと取れば一つ与えられる。これのこと。
n=1なら、Ui∩Uj∩Ukに対し、fjk - fik + fijと取れば与えられる。
一般に、番号を1つ外し、するとnが1つ下の所で定義されているからその関数を持って来る。
外した番号がUi∩…の記述順での偶か奇番目かで-1のその乗を掛ける。
これがUi∩Uj∩Ukのちょっとした書き方差に整合なこと、n→n+1→n+2でどれも0になることは初等に確認される。
(3-5)実際のチェックコホモロジー
nごとのコチェインC(n)(3-2のデータをこう呼ぶのである)と、n→n+1への写像が定まった。
コチェインは加法は自然に定義されているし、体Kの要素による乗算を入れてもいい。(Z係数ではなくK係数のヒストグラムになる)
つまりベクトル空間や加群の次元が定まる対象になって来ている。
n→n+1で(ヒストグラム係数が全部)0になるものをZ(n)
n-1→nでn-1コチェインC(n-1)全部の像をB(n)。どちらもC(n)の部分集合。
B(n)⊂Z(n)は3-4内容のことで、Z(n)/B(n)はそれ以上は定まらない。
Z(n)/B(n)をn次のチェックコホモロジーと呼ぶ(正式な定義である)。
開被覆Ｗがあまり粗いと違う結果が現れ細かくする極限を最終定義的には取るが今の問題でその必要はない。
以上で導入された。他のコホモロジーはnを深める違う方法を取る。
コホモロジーは商群の形をしているが(外延)、そのことは忘れて群自体を見る(内包として次に使う)。
643名無電力１４００１
2025/04/27(日) 17:23:01.17 (4) 0→R(D)→R(D+P)→R(C)→0 は完全系列
通常Oxなどと書くのだが0と混同するのでRと便宜的に書いておく。
これはトリビアルである。記号の意味をちゃんと取る。
Dは因子でR(D)はDで指定されるだけの分母が許容される任意の有理式。
Pは素数1点でだけDの値を増やしたものでD+PはDとはP一箇所だけでPの指数が1違う因子。Cは複素数1次元分の意味。
0→A→B→C→0が完全系列からは、A→Bが単射、B→Cが全射。
即ちAをBに部分集合として埋め込んだとき、余核がCと等しいという話。
因子がD+PならばPについて1つ深い許容度の関数を持ち得てその違いは複素数自由度にして1個分である。
で証明が終わっているが、正確には級数展開のどこまでで打ち切りでのような話でこのことを言う。
(5)コホモロジー長完全系列
0→R(A)→R(B)→R(C)→0が完全系列のとき、
0→H0(A)→H0(B)→H0(C)→H1(A)→H1(B)→H1(C)→H2(A)→H2(B)→… は長い完全系列。
これは重大定理というのはわかるだろう。一気に回答近くまでワープしてしまった。
引数は因子が入る。出て来た長系列の各項の個性を見て切り分け評価してRR定理にまで至る。RR=Riemann-Roch
図形の形も因子も層のことも置いて、この定理を示しておくと至る所に運用される。
チェックだけではなくコホモロジー候補の定義をして、アーベル圏の公理というのを満たすと
圏論がこの結果を出し、それが具体的な加群理論での定理となる。この重大定理は別機会。
(6) 0→H0(D)→H0(D+)→H0(C)→H1(D)→H1(D+)→H1(C)=0
単純に適用した。Dは任意の因子、D+はそれよりどこかが1大きい因子。Cは複素数1つだけ。
D=0から1つずつ増やして、D+をDの所に置いてという帰納法。
次元を小文字で表す。この時、h0(0)=1、h1(0)=g(種数)、h0(C)=1、h1(C)=0。
これらについて、それぞれチェックの設定から初等的に確認される。
D=0の場合6項の次数は(1,2,1,g,g,0)となる。h1(D+)値は長完全列の偶番と奇番の次元和同士が等しいことから。
RR定理はh0(D) - h1(D) = 1 - g + degD であり帰納的に成り立つことはわかるだろう。以上である。
通常Oxなどと書くのだが0と混同するのでRと便宜的に書いておく。
これはトリビアルである。記号の意味をちゃんと取る。
Dは因子でR(D)はDで指定されるだけの分母が許容される任意の有理式。
Pは素数1点でだけDの値を増やしたものでD+PはDとはP一箇所だけでPの指数が1違う因子。Cは複素数1次元分の意味。
0→A→B→C→0が完全系列からは、A→Bが単射、B→Cが全射。
即ちAをBに部分集合として埋め込んだとき、余核がCと等しいという話。
因子がD+PならばPについて1つ深い許容度の関数を持ち得てその違いは複素数自由度にして1個分である。
で証明が終わっているが、正確には級数展開のどこまでで打ち切りでのような話でこのことを言う。
(5)コホモロジー長完全系列
0→R(A)→R(B)→R(C)→0が完全系列のとき、
0→H0(A)→H0(B)→H0(C)→H1(A)→H1(B)→H1(C)→H2(A)→H2(B)→… は長い完全系列。
これは重大定理というのはわかるだろう。一気に回答近くまでワープしてしまった。
引数は因子が入る。出て来た長系列の各項の個性を見て切り分け評価してRR定理にまで至る。RR=Riemann-Roch
図形の形も因子も層のことも置いて、この定理を示しておくと至る所に運用される。
チェックだけではなくコホモロジー候補の定義をして、アーベル圏の公理というのを満たすと
圏論がこの結果を出し、それが具体的な加群理論での定理となる。この重大定理は別機会。
(6) 0→H0(D)→H0(D+)→H0(C)→H1(D)→H1(D+)→H1(C)=0
単純に適用した。Dは任意の因子、D+はそれよりどこかが1大きい因子。Cは複素数1つだけ。
D=0から1つずつ増やして、D+をDの所に置いてという帰納法。
次元を小文字で表す。この時、h0(0)=1、h1(0)=g(種数)、h0(C)=1、h1(C)=0。
これらについて、それぞれチェックの設定から初等的に確認される。
D=0の場合6項の次数は(1,2,1,g,g,0)となる。h1(D+)値は長完全列の偶番と奇番の次元和同士が等しいことから。
RR定理はh0(D) - h1(D) = 1 - g + degD であり帰納的に成り立つことはわかるだろう。以上である。
644名無電力１４００１
2025/05/04(日) 17:17:05.81 5/4代数的整数、11立体幾何、18建築、25CPU、6/1統計、6/8-29バイオ。
半端だけど類体論の証明の構成だけをしっかり書いてみるよ。
ふむふむ、細部を詰めればいいのか、とわかる。
来週は建築とか原子炉とかの立体感覚を磨くためにユークリッド立体幾何。
先週のリーマンロッホもしっかりしているけど実は、
茎の完全列と層の完全列は同じではないからそこまで綺麗には進まない
という事情はあるけれど取り組めば埋まる隙間で通常は前回のでいい。
では早速。代数的の言葉を外し整数環や数体と言う。
イデアルという言葉は長いからもっと要素的な語感のためにイデと呼ぶ。
整数環と数体は有理整数や有理数とほぼ同じ数学が成り立っている。
だから分数などは同じ感覚のまま推論が動くと考えていい。ずっとそう。
合同というのを分数について定義する。整数mを取り
a≡b mod m とは、数 a - b を通分して書いて
分母が mと共通する素因数を持たず、分子は通常のようにmの倍数のこと。
これを乗法合同という。a/b≡1 mod mに変形してもその意味
のまま成立(well-defined)のことは各自。
数体Kの拡大が数体Lとし、ガロア群をG = G(L/K) = Gal(L/K)と書く。
ガロア理論はそこそこ知っているとする。第1引数L/Kはしばしば省略。
ノルム写像というものを定義する。作用対象xの有る領域に少し関心を持って。
τ∈Gal(L/K)なるτを振って作用させてτについて全部足す。
Norm(L/K, x) = Σ[τ∈Gal(L/K)] act(τ,x)
ガロア理論ではx∈Lだが、我々はG加群Aというのを採りx∈Aとする。
だから作用の仕方もこれから定義する。
Lへの作用もLもG加群Aとも思えてそれのシームレスな一般化である。
半端だけど類体論の証明の構成だけをしっかり書いてみるよ。
ふむふむ、細部を詰めればいいのか、とわかる。
来週は建築とか原子炉とかの立体感覚を磨くためにユークリッド立体幾何。
先週のリーマンロッホもしっかりしているけど実は、
茎の完全列と層の完全列は同じではないからそこまで綺麗には進まない
という事情はあるけれど取り組めば埋まる隙間で通常は前回のでいい。
では早速。代数的の言葉を外し整数環や数体と言う。
イデアルという言葉は長いからもっと要素的な語感のためにイデと呼ぶ。
整数環と数体は有理整数や有理数とほぼ同じ数学が成り立っている。
だから分数などは同じ感覚のまま推論が動くと考えていい。ずっとそう。
合同というのを分数について定義する。整数mを取り
a≡b mod m とは、数 a - b を通分して書いて
分母が mと共通する素因数を持たず、分子は通常のようにmの倍数のこと。
これを乗法合同という。a/b≡1 mod mに変形してもその意味
のまま成立(well-defined)のことは各自。
数体Kの拡大が数体Lとし、ガロア群をG = G(L/K) = Gal(L/K)と書く。
ガロア理論はそこそこ知っているとする。第1引数L/Kはしばしば省略。
ノルム写像というものを定義する。作用対象xの有る領域に少し関心を持って。
τ∈Gal(L/K)なるτを振って作用させてτについて全部足す。
Norm(L/K, x) = Σ[τ∈Gal(L/K)] act(τ,x)
ガロア理論ではx∈Lだが、我々はG加群Aというのを採りx∈Aとする。
だから作用の仕方もこれから定義する。
Lへの作用もLもG加群Aとも思えてそれのシームレスな一般化である。
645名無電力１４００１
2025/05/04(日) 20:19:11.86 作用結果はどれも同じA内の値なためAの足し算として足せる。
違うんだな。掛け算として掛けれる。だからΣはΠのが適切。それがNormのΣの所の計算。
その手続きを集合の要素全部に対して行い結果を集合にまとめる。
Norm(L/K, A) = {Norm(L/K, x); x∈A}
第2引数が集合かその要素かは融通する。Gal(L/K)加群Aから形式的に作れた部分群。
invと言ったら何の略と思う？inverse、involution、invariant、全部使うんだな。
まあストーリーを略して書くから、現れなくてもそこんとこよろしくだけど。
さてA^Gというような右上に添え字っぽく付く記法が教科書に現れる。
Invariant(L/K, A) = {x; x∈A & (∀τ∈Gal(L/K). act(τ,x) = x)}
Gのどの元τによる作用でも不変なものの全部。
ところでNorm(L/K, A)は作用結果の集合だった。
NormKernel(L/K, A) = {x; x∈A & Norm(L/K, x) = 1}
これは新しい物でこういう物も使う。Aは乗法的G加群でそのため右辺は0でなく1。
可換群の構造定理により任意の可換群は巡回cyclic群の直積である。
類体論はGal(L/K)が可換commutative群の時のみを扱う。ということは
理論は相対拡大の一般論と、巡回群1つによる拡大だけを構築しておけばいい。
巡回群は生成元τだけで生成される。この仕組みが非可換群には無いから
類体論は非可換ガロア群のシチュエーションには使えない。
しかし可換群の半直積の系列な可解solvable群には理論をまだ進められる可能性がある。
Inertia(L/K, A) = {act(τ,x) - 1; x∈A} = {act(τ,x)/x; x∈A}
Gal(L/K)がτだけで生成される巡回群についてこういう集合も作れる。
中辺は群演算を加法適用の時、右辺は群演算を乗法に適用の時、右辺が正しい。
Norm, Invariant, NormKernel, Inertiaの4つは次リプ、群コホモロジーの登場人物である。
違うんだな。掛け算として掛けれる。だからΣはΠのが適切。それがNormのΣの所の計算。
その手続きを集合の要素全部に対して行い結果を集合にまとめる。
Norm(L/K, A) = {Norm(L/K, x); x∈A}
第2引数が集合かその要素かは融通する。Gal(L/K)加群Aから形式的に作れた部分群。
invと言ったら何の略と思う？inverse、involution、invariant、全部使うんだな。
まあストーリーを略して書くから、現れなくてもそこんとこよろしくだけど。
さてA^Gというような右上に添え字っぽく付く記法が教科書に現れる。
Invariant(L/K, A) = {x; x∈A & (∀τ∈Gal(L/K). act(τ,x) = x)}
Gのどの元τによる作用でも不変なものの全部。
ところでNorm(L/K, A)は作用結果の集合だった。
NormKernel(L/K, A) = {x; x∈A & Norm(L/K, x) = 1}
これは新しい物でこういう物も使う。Aは乗法的G加群でそのため右辺は0でなく1。
可換群の構造定理により任意の可換群は巡回cyclic群の直積である。
類体論はGal(L/K)が可換commutative群の時のみを扱う。ということは
理論は相対拡大の一般論と、巡回群1つによる拡大だけを構築しておけばいい。
巡回群は生成元τだけで生成される。この仕組みが非可換群には無いから
類体論は非可換ガロア群のシチュエーションには使えない。
しかし可換群の半直積の系列な可解solvable群には理論をまだ進められる可能性がある。
Inertia(L/K, A) = {act(τ,x) - 1; x∈A} = {act(τ,x)/x; x∈A}
Gal(L/K)がτだけで生成される巡回群についてこういう集合も作れる。
中辺は群演算を加法適用の時、右辺は群演算を乗法に適用の時、右辺が正しい。
Norm, Invariant, NormKernel, Inertiaの4つは次リプ、群コホモロジーの登場人物である。
646名無電力１４００１
2025/05/04(日) 22:00:28.18 G=Gal(L/K)が可換群Aに作用しているシステムを考えているのだった。
G加群Aの実際の形は局所類体論ではL-{0}を可換乗法群として見たもの。
大域類体論ではイデールidele(p進付値を並べた)群。
τ∈Gはτ:A→Aとも見れる。
このことはGの表現空間がAで、τ∈Gは行列表現されているとも見れる。
Aという新しい物を用意したことはガロア群の表現を考えていることに等しい。
類体論は表現論の1つである。
G=Gal(L/K)の、n+1個の列の全体を考える。
この全体をnチェイン(=鎖複体)と呼ぶ。Gの作用や直積としての群演算は自然に入っている。
nチェイン→n-1チェインの写像d(微分)を、0番目からn番目まで1個ずつ外し
(-1)^iを掛けて足したものと定義できる。足す→掛けるめんどくさいので混用。
G^(n+1)→Aな写像の全体を考える。これをnコチェイン(双対鎖複体)と呼ぶ。
また値Aにおける積で可換群の構造は自然に入る。
GのAへの作用、G^(n+1)での直積群演算とGからの作用もある体系。
写像G^n→Aがある時、d:G^(n+1)→G^nを先にしてからという合成で
写像G^(n+1)→Aが構成できる。これを双対微分δと言う。
双対鎖複体において (n+1に行って0(1)になるnの元の集合) / (n-1から像として作られたnの元の集合)
をn次の群同変コホモロジーと言い、H(n, Gal(L/K), A) と書く。
商加群として作られるが、そのことを忘れて抽象群として使う。
込み入った話だが前段落のを斉次型といい非斉次型というのに作り直す。
n個の列 [s1,…,sn] = (1, s1, s1 s2, …, s1 s2 … sn)
右辺はnチェイン型データ、左辺は非斉次nチェイン。
左辺を基底として右辺を展開形で表し、H(n, Gal(L/K), A)を左辺型を基底として再度求める。
この形において抽象定理を作る。今真ん中くらい。作り直す…はまっていればこういうことはできる。
G加群Aの実際の形は局所類体論ではL-{0}を可換乗法群として見たもの。
大域類体論ではイデールidele(p進付値を並べた)群。
τ∈Gはτ:A→Aとも見れる。
このことはGの表現空間がAで、τ∈Gは行列表現されているとも見れる。
Aという新しい物を用意したことはガロア群の表現を考えていることに等しい。
類体論は表現論の1つである。
G=Gal(L/K)の、n+1個の列の全体を考える。
この全体をnチェイン(=鎖複体)と呼ぶ。Gの作用や直積としての群演算は自然に入っている。
nチェイン→n-1チェインの写像d(微分)を、0番目からn番目まで1個ずつ外し
(-1)^iを掛けて足したものと定義できる。足す→掛けるめんどくさいので混用。
G^(n+1)→Aな写像の全体を考える。これをnコチェイン(双対鎖複体)と呼ぶ。
また値Aにおける積で可換群の構造は自然に入る。
GのAへの作用、G^(n+1)での直積群演算とGからの作用もある体系。
写像G^n→Aがある時、d:G^(n+1)→G^nを先にしてからという合成で
写像G^(n+1)→Aが構成できる。これを双対微分δと言う。
双対鎖複体において (n+1に行って0(1)になるnの元の集合) / (n-1から像として作られたnの元の集合)
をn次の群同変コホモロジーと言い、H(n, Gal(L/K), A) と書く。
商加群として作られるが、そのことを忘れて抽象群として使う。
込み入った話だが前段落のを斉次型といい非斉次型というのに作り直す。
n個の列 [s1,…,sn] = (1, s1, s1 s2, …, s1 s2 … sn)
右辺はnチェイン型データ、左辺は非斉次nチェイン。
左辺を基底として右辺を展開形で表し、H(n, Gal(L/K), A)を左辺型を基底として再度求める。
この形において抽象定理を作る。今真ん中くらい。作り直す…はまっていればこういうことはできる。
647名無電力１４００１
2025/05/04(日) 22:38:36.29 これでコホモロジーまでが定義されている。
それはGのn+1個の列(非斉次型に移りn個)とAを使いそれ以上のことは考えずに形式的に定義した。
こんな抽象的な所でもっと言えることあるのである。それが類体論の半分を言ってしまう。
ここからのシナリオ
・コホモロジーからの結果
・一般イデアル類群
・イデアル密度定理から不等式のもう半分
・定理の系で古典結果
まず前と前々リプの内容から、コホモロジーが定義されていて
その具体的な形の候補も用意されている。
コホモロジー？何？という人は前リプの内容の形式的に定義される物のことと思う。
またそれが圏論的な定義を充足していることは本当は確認。
Tate-Herbrandの定理というのにより、
H(0,G,A)=Z/nZ、H(1,G,A)={1}のとき、H(2,G,A) = H(0,G,A)。
これよりコホモロジーの有難みである長完全系列。
0→A→B→C→0が完全系列なら、H(0,A)→H(0,B)→H(0,C)→H(1,A)→H(1,B)→H(1,C)→H(2,A)→は
6項で循環するものになってしまう。
<一般イデアル類群と証明におけるその位置づけ>
G加群Aをidele群としてH(0,G,A)=Z/nZ、H(1,G,A)={1}を示して
長完全系列を得れば、その各項の次元を評価して類体論の半分を得る。
即ち Ide(K,m) / [(Norm(L/K, Ide(L,m)) Pri(K,m)] = [L:K]
というのが基本定理の本体式だが左≧右を得る。上式は次リプで語る。
一方イデアル密度定理という解析学的な考察をして左≦右を得る。
かくして高木基本定理は証明される。
もう一歩動的に進んで写像の形でそれを表しアルティン相互定理として仕上がる。
それはGのn+1個の列(非斉次型に移りn個)とAを使いそれ以上のことは考えずに形式的に定義した。
こんな抽象的な所でもっと言えることあるのである。それが類体論の半分を言ってしまう。
ここからのシナリオ
・コホモロジーからの結果
・一般イデアル類群
・イデアル密度定理から不等式のもう半分
・定理の系で古典結果
まず前と前々リプの内容から、コホモロジーが定義されていて
その具体的な形の候補も用意されている。
コホモロジー？何？という人は前リプの内容の形式的に定義される物のことと思う。
またそれが圏論的な定義を充足していることは本当は確認。
Tate-Herbrandの定理というのにより、
H(0,G,A)=Z/nZ、H(1,G,A)={1}のとき、H(2,G,A) = H(0,G,A)。
これよりコホモロジーの有難みである長完全系列。
0→A→B→C→0が完全系列なら、H(0,A)→H(0,B)→H(0,C)→H(1,A)→H(1,B)→H(1,C)→H(2,A)→は
6項で循環するものになってしまう。
<一般イデアル類群と証明におけるその位置づけ>
G加群Aをidele群としてH(0,G,A)=Z/nZ、H(1,G,A)={1}を示して
長完全系列を得れば、その各項の次元を評価して類体論の半分を得る。
即ち Ide(K,m) / [(Norm(L/K, Ide(L,m)) Pri(K,m)] = [L:K]
というのが基本定理の本体式だが左≧右を得る。上式は次リプで語る。
一方イデアル密度定理という解析学的な考察をして左≦右を得る。
かくして高木基本定理は証明される。
もう一歩動的に進んで写像の形でそれを表しアルティン相互定理として仕上がる。
648名無電力１４００１
2025/05/04(日) 23:10:10.04 列がどうとか数学として美味しくないと思う。話として美味しいのは
代数ならばイデアルなどが動き回っている姿だろう。
実際推論はコホモロジー長完全系列がやってくれるが、
その高速道路に乗るまたは証明装置に入れてボタンを押すためにはおいしい部分の考察をする。
またコホモロジー長完全系列は主要動力にはなるが、茎と層の時のように
地道な集合がこう動いてという考察が大抵は必要で、そうでなければ問題として残っていない。
Gal(L/K)の作用を受ける加群A。このAにはかなりの工夫が盛り込まれていくのである。
もう一方の密度定理の方は有理整数で言うところの素数定理であり、
リーマンゼータを代数的整数に拡張して、Σの分子を決まった周期で戻る整数セットにした
デデキントゼータ関数という題材にして、ミンコフスキー凸格子定理というのを通して証明する。
一般イデアル類群を以下の視点から構成する。=全イデアル群/単項放射イデアル群
イデアル=数のように代数的整数は見てよいのであった(本日初リプ)。
・整イデmによる制約を付ける
・整イデとは素因数分解したときに指数負な素因数は無いような数
・mとの共通素因数が正負どちらの指数にも無いようなイデだけの集合を重用する
・単項イデな状況
・これは通常のイデアル類群でもありイデアル類群の有限性という定理が先に準備される
・mには無限素イデという機能を乗せる
・それは1の約数にもなり得る代数的数への扱い
・これを無限素点と単数の対応といいその定理(完全系列の形)を準備する
・mをmodを取るのにも使い{x∈K; x≡1 mod m}という集合も考える
・この形式の集合が積で閉じていることは直ぐに確認され、意味のある定義である
・この形式の集合を放射類(Stral類)と言い、単項とは独立に現れる新しいイデアル類の形状である
・そのために新たなるmが登場したのである
代数ならばイデアルなどが動き回っている姿だろう。
実際推論はコホモロジー長完全系列がやってくれるが、
その高速道路に乗るまたは証明装置に入れてボタンを押すためにはおいしい部分の考察をする。
またコホモロジー長完全系列は主要動力にはなるが、茎と層の時のように
地道な集合がこう動いてという考察が大抵は必要で、そうでなければ問題として残っていない。
Gal(L/K)の作用を受ける加群A。このAにはかなりの工夫が盛り込まれていくのである。
もう一方の密度定理の方は有理整数で言うところの素数定理であり、
リーマンゼータを代数的整数に拡張して、Σの分子を決まった周期で戻る整数セットにした
デデキントゼータ関数という題材にして、ミンコフスキー凸格子定理というのを通して証明する。
一般イデアル類群を以下の視点から構成する。=全イデアル群/単項放射イデアル群
イデアル=数のように代数的整数は見てよいのであった(本日初リプ)。
・整イデmによる制約を付ける
・整イデとは素因数分解したときに指数負な素因数は無いような数
・mとの共通素因数が正負どちらの指数にも無いようなイデだけの集合を重用する
・単項イデな状況
・これは通常のイデアル類群でもありイデアル類群の有限性という定理が先に準備される
・mには無限素イデという機能を乗せる
・それは1の約数にもなり得る代数的数への扱い
・これを無限素点と単数の対応といいその定理(完全系列の形)を準備する
・mをmodを取るのにも使い{x∈K; x≡1 mod m}という集合も考える
・この形式の集合が積で閉じていることは直ぐに確認され、意味のある定義である
・この形式の集合を放射類(Stral類)と言い、単項とは独立に現れる新しいイデアル類の形状である
・そのために新たなるmが登場したのである
649名無電力１４００１
2025/05/11(日) 17:15:26.70 人類文明の場所として南極を開発する案を語ってみよう。
確かにそこでは原子力が使いやすいがそれは選ばない。使用した場合のシミュレーションはする。
古臭い条約で縛ってあるのだけれど、昔の人が正しいものでもない。
世界には何かをしたいけれど何をすればいいかわからないという人もいるように思う。
アメリカのお金持ちなどはそういう人間的空気を出している。
そこでこういう案。
・領土欲的な欲望の対象ではない
・1km^2を50億円で基本的には誰でも買って開発していける
・これより小さい単位は無く逆にこの単位なら小国でも実験場を持てる
・越冬やサバイバルさせて自国のヒーローにはなる
・当然ながら全生活者は危急がある時には助け合う
・過酷な環境なので人命安全には最大限の力を尽くすことは約束させる
・法人単位や個人有志でも買って持てる
・管理機関はこれから国際合意で作って公平そうな南アジアにでも本部を置く
・食料と暖房の技術と自給自足
・現地アクセスも様々な事業体で工夫していく
・しばらくした後に恒久的な1万人の町が作れれば
確かに南極は使いやすいというような場所ではないけれど
とてつもなく広い。様々な素敵な景色があるだろうし探検探索なども
放置したまま過ごしていくにはもったいがない。
過酷環境で培う技術は
・日常生活に戻って便利な道具を作る
・起きている問題の解決を与える
・さらに極限性の環境への進歩ももたらす
何か一つ仕上がりを見るまでこのテーマを扱ってみるのはいいと思いますね。
一個だけは備えの原子力発電所を動かしておいて、その配電送電管理も
電線をどうして変圧の在り方や通信など、やってみて仕上がりの形がわかることもある。
確かにそこでは原子力が使いやすいがそれは選ばない。使用した場合のシミュレーションはする。
古臭い条約で縛ってあるのだけれど、昔の人が正しいものでもない。
世界には何かをしたいけれど何をすればいいかわからないという人もいるように思う。
アメリカのお金持ちなどはそういう人間的空気を出している。
そこでこういう案。
・領土欲的な欲望の対象ではない
・1km^2を50億円で基本的には誰でも買って開発していける
・これより小さい単位は無く逆にこの単位なら小国でも実験場を持てる
・越冬やサバイバルさせて自国のヒーローにはなる
・当然ながら全生活者は危急がある時には助け合う
・過酷な環境なので人命安全には最大限の力を尽くすことは約束させる
・法人単位や個人有志でも買って持てる
・管理機関はこれから国際合意で作って公平そうな南アジアにでも本部を置く
・食料と暖房の技術と自給自足
・現地アクセスも様々な事業体で工夫していく
・しばらくした後に恒久的な1万人の町が作れれば
確かに南極は使いやすいというような場所ではないけれど
とてつもなく広い。様々な素敵な景色があるだろうし探検探索なども
放置したまま過ごしていくにはもったいがない。
過酷環境で培う技術は
・日常生活に戻って便利な道具を作る
・起きている問題の解決を与える
・さらに極限性の環境への進歩ももたらす
何か一つ仕上がりを見るまでこのテーマを扱ってみるのはいいと思いますね。
一個だけは備えの原子力発電所を動かしておいて、その配電送電管理も
電線をどうして変圧の在り方や通信など、やってみて仕上がりの形がわかることもある。
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