cubeの話で申し訳ないが、安いプロジェクターで4KやMAXだと赤外線登録が出来なかったけど、さっきcube(2nd)で試した所、学習させる項目が出てきて電源ボタンは反応するようになった。
だけどプロジェクターの電源がオフになると再び電源オンになるまで時間がかかるので違うアクションを割り当てた方が良いと思う。(使う機器の赤外線登録をしていなければどのFireTVシリーズでも可能)
もしかしたらリモコンが使えるモニターでも学習させて使えるかも知れないけど、対所得貧困底辺下民なので購入が出来ず試していません。

https://i.imgur.com/v2NF8am.png
https://i.imgur.com/atdL2eP.png