むしろ本体がダメで良いのでデータだけ復旧したいんです・・・
http://androidlover.net/android-os/android-5-0-lollipop/nexus-update-lollipop-adb-sideload.html
今バージョンが6.0.1なんですが、このURLの方法で5.0にアップデート（ダウングレード）すれば治るって事はないでしょうか？

素人ですが、システムアップデートでコケたのであれば、それをapply update from ADB を使って無理矢理続行すればいいのではと思ったのです。
途中で止まったなら続行させようと。
ただ、今回はOSのバージョンアップではなく、セキュリティパッチの通知でのアップデートだったので、どうなのかなと思いますが…。

あと、パソコンショップに聞いたら同型のNexus5を用意してメモリを移植する、という方法も提案されたのですがどうでしょうか？