>>467

c[n]=Σ[k=1,n](1/k)-log(n)

c[n]-c[n+1]=-1/(n+1)-log(n)+log(n+1)
ここで、x>=1 について、平均値の定理により
(log(x+1)-log(x))/((x+1)-x)
=log(x+1)-log(x)=1/c, x<c<x+1
なるcが存在し、
1/(x+1)<1/c<1/x が一般に成り立つので
1/(x+1)<log(x+1)-log(x)<1/x
よって、
-1/(n+1)-log(n)+log(n+1)>-1/(n+1)+1/(n+1)>0
つまり、c[n]-c[n+1]>0 より c[n]>c[n+1]

さらに、
c[n]-1/2=Σ[k=3,n](1/k)-log(n)+1
である。
ここで、f''(x)=1/x とすると、f''(x)=1/(2x^3) であるから、
x>=2 について f''(x)>0 であるから
f(x) は下に凸な関数である。よって、
(1/2)(1/k+1/(k+1))>∫[x=k,k+1]dx/x=log(k+1)-log(k)
この不等式について k=2,...,n を代入した式を辺々加えて
1/4+Σ[k=3,n](1/k)+1/(2(n+1))>log(n+1)-log(2)
つまり、
Σ[k=3,n](1/k)>log(n+1)-1/(2(n+1))-log(2)-1/4
よって、
c[n]-1/2>log(n+1)-1/(2(n+1))-log(2)-1/4-log(n)+1
である。
ここで、lim[n→∞](c[n]-1/2)=3/4-log(2)>3/4-7/10>0 であり、
(1)よりc[n]は単調減少数列であることから
c[n]-1/2>0 ⇔ c[n]>1/2 が示された。■

log(2)≒0.693 は物理ではよく出てくる定数なので
log(2)<7/10 は暗黙の了解としてよいと考えるが、
不安であれば
e^3>2.7^3>19>2^4 という関係式を使う。