アドバイスありがとうございました。
ここ数年Firefoxはずっと「履歴を一切記憶させない」設定で使っていたのですが、どうもそれが影響しているみたいです。
念の為、アンインストール+ProgramFilesのMozillaFirefoxフォルダ削除→アドオン削除+規定設定で再インストールしてみて、その状態でのサイトでの正常動作確認後に「履歴を一切記憶させない」にすると現象が再現(※「記憶させる」にするとまた正常動作)する、という事が分かりました。
履歴の有無でクリックできるできないが変わる、というのも何か釈然としないのですが…