そのあたりはWebExtの制限でbackgroundからXMLHttpRequestを呼ぶときにメインコンテキスト扱いになっちゃうから
webRequestでリクエストのcookieヘッダを無理やり書き換えるという力技しかないみたい
https://discourse.mozilla.org/t/specify-context-container-ajax-or-fetch/29697
例えばFireMonkeyはこれをやってるように見えるが他のアドオンは知らん
クロスオリジンじゃなければ素のxhr/fetchをwindow内で呼べばいいけどクロスオリジンだからGM_を使ってるんだよね

xhrで直接コンテナIDを指定できるのはchrome権限限定だけど
WebExtでもできるようにする計画自体はあるっぽいhttps://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=1670278