というか物理キーを押すからそちらが認識されてしまうわけで
AHKからのF13〜F20が認識されないわけじゃないんだよね？
GUIでF13〜F20ボタン作るとか（>715のFスクリーンキーボードかまさにそれだけど）
なんならMsgboxで「OKを押すとF13を送信します」とかでもいけるのでは