HLS配信の動画サイトからの動画のダウンロード（レジュームして）の話じゃないの？
良く分からんが そういう話ならhlsをレジュームして落とすことはできるはずなんだけど・・・

確かにレジュームて動画を落とす話なら

> キーが変わるから無理
> シークすりゃ続きから落とせるよ
> ffmpegが基本だろ～云々
> ストリームの機能にレジュームがあるかどうか

この辺の件はイミフだった？