ATOK2015のユーザーです。ヴァージョンやキーカスタマイズによって違う動きをするかもしれませんが二点ほど。

>>932
ブラウザのテキスト入力ボックスでブラウザの推測変換の表示の上にATOKの推測変換が重なって見えにくいというのであれば、
「入力中」の状態で「情報ウィンドウオープン/表示切替」という機能を割り当てられたキー(たぶん「End」キーか「Ctrl」+「End」キー)を押すと
一時的にATOKの推測変換の表示が一時的に消えて、ブラウザの推測変換にアクセスできます。

>>925
根本的な解決にはならないですが、ATOKの推測変換表示の「ON/OFF」が切り替えられます。
プロパティウィンドウから指定すれば、細かく制御できますが、おおざっぱで良ければキーカスタマイズでもできるようです。
ATOK2015の場合、この機能が割り当てられたキーはありませんので、適当なキーに割り当ててみてください。
その機能は「キーカスタマイズ」の中の「推測候補の自動表示(強)ON/OFF」というものです。
設定の方法は
1.ATOKプロパティ→入力・変換→推測変換→推測変換の自動表示を「しない」にする
2.「キー・ローマ字・色」→「キーカスタマイズ」で「推測候補の自動表示(強)ON/OFF」にお好みで「文字未入力」「入力中」あたりに適当なキーに割り当てる
3.ATOKで日本語入力をして割り当てたキーを押す。トグルで動作します。
※ATOK2015では「推測候補の自動表示(強)ON/OFF」は「(強)」というだけあって、一文字目の入力から推測変換が動作します。正直言って、これはこれで鬱陶しいw
>>925さんはATOK2017をお使いとのことなので、もう少し使いやすくなっているかもしれません。