Gmail以外のメールサービスはGmailアプリじゃなくて他のメールアプリを使うべき
ドコモメール等でもプッシュ受信できるアプリはある
mymailとか

Gmailアプリは最短15分間隔のフェッチしか使えないから、リアルタイムを望むなら変えた方がいい