Fire7届いてLINEの通知を試しているけど、
画面オンのとき→すぐ通知出る
画面オフのとき→数分後に通知出る
という感じ

なぜ遅れるのかはわかってないけど、数分程度なら自分の運用上は問題なさそう
よかった