337です。以下を確認してみました。
Fire HDの第８世代で作業してます。


・GPインストール前にSDカード設定しない
→GPインストール後に再起動テスト
（SDカード未使用）


・GPインストール前にSDカード設定しない
→GPインストール後にSDをポータブル設定して再起動テスト


・GPインストール前にSDカード設定しない
→GPインストール後にSDを内蔵設定にして再起動テスト
（アプリのデータはすべてSDに移動する設定）

いずれもログインできなくなる現象は再現しませんでした。
（再起動テストはそれぞれ2回実施して2回ともログイン可能なことを確認）