Bluetoothのバージョン違いが原因だった。今回買ったマウス、キーボードは4.0、旧棒は3.0、新棒は4.1(no LE)。
つながったFireHD8, 10は4.1なので新棒ならいけそうな気はするが...。新棒でM585GPかK370s使えてる人いる?