えーーっと、gmailでIMAPを使ってK9mailを使えば
ほぼリアルタイムで受信できるよ

プッシュ接続のリフレッシュは接続を維持するための
ものでメールを同期するための設定ではない

http://fast-uploader.com/file/7082358420777/

読みにくいけどk9mailをgmailのimapで使うためのメモ書き
(1週間で消えるよ)

少し古めのk9mailでやった設定なので今のものでも同じかは
分からないけどk9mailの設定があっていなくてpush通知が
動かないって話が多いみたいだから上げとく

sylpheed云々ってのはPC側のメールの話なのでandroidには
関係ないけど、このメモに書いてないことはandroidで
Dozeとかのバッテリーセーブ機能からk9mailを除外
しろって話だけ(androidのバッテリーセーブ機能はすべて
アプリケーションを強制終了させるだけなので何をしても
リアルタイムな通知は受けられなくなるから)

これ見て色々試してみて
中身のこと一々聞かれても答えないけど