>>339
それだとなおさら「普通のメールアプリでできる」案件です
少なくともAqua、K-9、CosmoSiaでは可能です（初期状態がどうなっているかは別）

同期時にどの程度の数をキャッシュするかは各アプリで異なります。アプリによっては設定可能なものもあります。基本的にキャッシュ取得は最新順です
キャッシュ指定ですべてのメールと指定しない限り、未読のまま放置されたメールがあるとしてもそれがキャッシュ範囲より古いメールならば、どんなアプリでもキャッシュしません

この仕様を理解されていないだけでは？