皆さんありがとう。proxy2chだけでhttpsで読み書きできるようになりました。
今までできなかった原因は、proxy2chの-aオプションの引数のUAの両端に""を
忘れていたためでした。お騒がせしてすみません。

今はこうしています。（>>920のproxy2chと200530のJaneXenoを使用、HTMLモード）

proxy2ch.exeのアイコンをAltキーを押しながらドラッグして同じフォルダに
ショートカットを作り、名前を「proxy2ch.exe - ショートカット」から「proxy2ch」に変える

ショートカットのプロパティの「リンク先」を下記に書き換える(Xenoでポート8080を使っているので)
D:\blablabla\proxy2ch\Win32\proxy2ch.exe -s -p 8080 -a "Monazilla/1.00 JaneStyle/4.00 Windows/10.0.18363" --bbscgi-header "Accept: text/html"

AutoHotKeyをインストールして下記のスクリプトをテキストエディタで書いて
JaneXeno.ahkの名前で適当な場所に保存

;
; proxy2chを起動してからJaneXenoを起動し、JaneXenoを終了したらproxy2chも終了する
;
Run, "D:\blablabla\proxy2ch\Win32\proxy2ch.lnk", , Min
RunWait, "D:\blablabla\JaneXeno\Jane2ch.exe"
Winclose, ahk_exe proxy2ch.exe

このスクリプトもアイコンをドラッグして同じフォルダにショートカットを作り、
名前を「JaneXeno.ahk - ショートカット」から「JaneXeno」に変える

ショートカットのプロパティで「アイコンの変更」をクリックしてJaneXeno(jane2ch.exe)のアイコンを貼っておく

タスクバーに新規ツールバーでQuickLaunch
（"C:\Users\<yourname>\AppData\Roaming\Microsoft\Internet Explorer\Quick Launch"）
を作っておき、ショートカットのアイコンをドラッグして登録

これで一見JaneXenoだけを起動しているみたいに使えるようになりました。